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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 So 12.12.2010 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Es seien U und W Unterraume eines endlichdimensionalen Vektorraumes V mit
dim V < dim U + dim W.
Zeige: Dann ist U [mm] \cap [/mm] W [mm] \not =\{0\}. [/mm] |
Das ist eine Aufgabe aus einem Übungsblatt. Allerdings bin ich davon überzeugt, dass die falsch ist. Denn:
Seien [mm] U_{1}=\{0\} [/mm] (Nullraum) und [mm] U_{2}=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2 | x=y\} [/mm] Unterräume des [mm] \IR^2.
[/mm]
(i) [mm] \Rightarrow U_{1} \cap U_{2} [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] dim V < dim [mm] U_{1} [/mm] + dim [mm] U_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
Habe ich da einen Denkfehler oder stimmt die Aufgabe nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Lippel |
> Es seien U und W Unterraume eines endlichdimensionalen
> Vektorraumes V mit
> dim V < dim U + dim W.
> Zeige: Dann ist U [mm]\cap[/mm] W [mm]\not =\{0\}.[/mm]
>
> Das ist eine Aufgabe aus einem Übungsblatt. Allerdings bin
> ich davon überzeugt, dass die falsch ist. Denn:
>
> Seien [mm]U_{1}=\{0\}[/mm] (Nullraum) und [mm]U_{2}=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2 | x=y\}[/mm]
> Unterräume des [mm]\IR^2.[/mm]
> (i) [mm]\Rightarrow U_{1} \cap U_{2}[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]
> (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] dim V < dim [mm]U_{1}[/mm] + dim [mm]U_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch!
>
> Habe ich da einen Denkfehler oder stimmt die Aufgabe nicht?
Du hast einen Denkfehler:
[mm] $dim(U_1) [/mm] = 0, [mm] dim(U_2) [/mm] = 1, [mm] dim(\IR^2)=2$ [/mm] damit gilt [mm]\Rightarrow[/mm] dim V < dim [mm]U_{1}[/mm] + dim [mm]U_{2}[/mm] nicht!
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:28 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Wäre U $ [mm] \cap [/mm] $ W $ [mm] =\{0\}, [/mm] $ so wäre $V=U [mm] \oplus [/mm] W$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Physy |
Kann mir noch jemand einen Tipp für die Aufgabe geben? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
stell dir ne Basis von U und W vor, wieviele Vektoren enthalten die beiden zusammen wenn dimU+dimW>dimV sein soll.?
wenns keine Basis ist wieviel lin unabh, Vektoren enthält der eine, wenn der andere k enhält und dimV=n ist ?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Physy |
Sei [mm] (U\capW)=\{0\} [/mm] und es gilt: dim(U)+dim(W)>dim(V) => die Summe U+W ist direkt und die Basen U und W sind folglich l.u., da jeder Vektor [mm] v\inV [/mm] eine eindeutige Darstellung mit v=u+w [mm] (u\inU, w\inW) [/mm] besitzt. Dann kann dim(U) + dim(W) aber maximal dim(V) sein. (Widerspruch!)
Kann man das so schreiben oder habe ich zu viel vorausgesetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, was du willst. du sagst mit U={0} kriegst du nen widerspruch . lu gibts doch nicht für Vektorrräume also versteh ich noch nicht mal das. aber selbst wenn du zu U={0} nen Widerspruch erzeugtest, was hast du dann?
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