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Unterräume - Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:18 So 20.12.2009
Autor: loot_00

Aufgabe
a) Es seien V und W Vektorräume über K und T: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Weiter seien
        
     [mm] Kern(T)=\{ v \in V | Tv = 0 \} [/mm]  und  [mm] Bild(T)=\{w \in W | \exists v \in V: Tv = w\} [/mm]

Zeigen sie, dass Kern(T) ein Unterraum von V und Bild(T) ein Unterraum von W ist.

b) Es seien V,W,Z Vektorräume und T: V [mm] \to [/mm] W und Q: W [mm] \to [/mm] Z Isomorphismen. Zeigen Sie, dass Q [mm] \circ [/mm] T: V [mm] \to [/mm] Z mit (Q [mm] \circ [/mm] T)(v)=Q(Tv) ebenfalls ein Isomorphismus ist.

Ich tue mich bei solchen Aufgaben immer schwer. Vielleicht kann einer helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

LG

        
Bezug
Unterräume - Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:36 So 20.12.2009
Autor: Fulla

Hallo loot_00,

> a) Es seien V und W Vektorräume über K und T: V [mm]\to[/mm] W
> eine lineare Abbildung. Weiter seien
>          
> [mm]Kern(T)=\{ v \in V | Tv = 0 \}[/mm]  und  [mm]Bild(T)=\{w \in W | \exists v \in V: Tv = w\}[/mm]
>  
> Zeigen sie, dass Kern(T) ein Unterraum von V und Bild(T)
> ein Unterraum von W ist.

Was musst du denn hier genau zeigen? Welche Bedingungen müssen gelten, damit [mm] $\operatorname{ker}(T)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{im}(T)$ [/mm] Untervektorräume von W sind?
Z.B. muss gelten [mm] $0\in\operatorname{ker}(T)$. [/mm] Offensichtlich ist für $v=0$ auch [mm] $Tv=T\cdot 0=0\in\operatorname{ker}(T)$ [/mm] (denn [mm] $0\in [/mm] V$, da V ein Vektorraum ist). Für die anderen Bedingungen wähle dir Elemente aus dem Kern und zeige die geforderten Eigenschaften.
  

> b) Es seien V,W,Z Vektorräume und T: V [mm]\to[/mm] W und Q: W [mm]\to[/mm]
> Z Isomorphismen. Zeigen Sie, dass Q [mm]\circ[/mm] T: V [mm]\to[/mm] Z mit (Q
> [mm]\circ[/mm] T)(v)=Q(Tv) ebenfalls ein Isomorphismus ist.

Hier dasselbe: Was genau musst du zeigen? Welche Eigenschaften müssen muss [mm] $Q\circ [/mm] T$ haben, damit es ein Isomorphismus ist? Wähle dir wieder Elemente aus V bzw. W und zeige das Geforderte.

> Ich tue mich bei solchen Aufgaben immer schwer. Vielleicht
> kann einer helfen?

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> LG


Lieben Gruß,
Fulla

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