Unterräume, Dimension + Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Di 20.12.2005 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Seien U = <(2,1,4,-1),(1,1,3,-1),(-1,-1,-3,1)> und
W = <(3,0,3,0),(1,-1,2,-2),(1,1,0,2)>
Unterräume von [mm] \IR^{4}
[/mm]
(i) Bestimme die Dimension von U, W, U+W und U [mm] \cap [/mm] W
(ii) Gebe eine Basis von U + W und U [mm] \cap [/mm] W an |
Hallo!
Ich habe zu obiger Aufgabe eine Frage, weil es bei mir irgendwie noch ein wenig an den Grundbegriffen hapert ... wahrscheinlich gehört das eher in den Bereich Oberstufe, aber naja ... ;)
Also, die Dimension von U und W habe ich bestimmt, indem ich zuerst untersucht habe, ob die gegebenen Vektoren linear (un)abhängig sind. Klar ist z.B., dass (1,1,3,-1) [u2] ein skalares Vielfaches von (-1,-1,-3,1) [u3] ist, die 3 Vektoren also linear abhängig sind. Somit kann ich u3 wegstreichen und "behalte" 2 linear unabhängige Vektoren. (Muss ich natürlich nachweisen.) Diese bilden dann eine Basis von U, und die Dimension ist folglich = 2.
Bei W funktioniert das genauso, d.h. ich untersuche, auf lineare (Un)Abhängigkeit und kann ggfs. die Dimension bestimmen, indem ich die entsprechende Matrix auf Zeilenstufenform bringe und die Nullzeilen ablese. Kurzum, auch dim W ist 2.
Mir ist auch einigermaßen klar, was U + W ist, nur nicht so ganz, wie ich nun die Dimension oder eine Basis bestimmen kann ...?
Ach so, die Dimensionsformel dim (U [mm] \cap [/mm] W) + dim (U + W) = dim U + dim W ist auch klar, mir fehlt nur gerade eine Idee, wie ich U + W bzw. U [mm] \cap [/mm] W aus den ermittelten (konkreten) Basen ermittle.
Wäre nett, wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte.
Das Forum hier ist übrigens spitze :)
Gruß,
smee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Carsten,
U+W wird von der Vereinigung der beiden Basen von U und W erzeugt, so dass Du
zur Bestimmung seiner Dim. nur schauen musst, was die max. Zahl lin. unabh. Vektoren
aus dieser Menge von 6 Vektoren ist.
Dann kannst Du anschliessend dim [mm] (U\cap [/mm] W) berechnen, oder Du bestimmst zB
fuer (benutzen wir mal abk. Bezeichnungen) die Erzeugendenmengen
[mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] von U , [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] von W das LGS
[mm] \sum_i \alpha_i u_i [/mm] = [mm] \sum_i \lambda_i v_i [/mm] und bestimmst die Dim. des Loesungsraumes (der Vektoren
[mm] (\alpha_1,..,\alpha_3,\lambda_1,..,\lambda_3), [/mm] die das LGS erfuellen).
Gruss,
Mathias
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