Unterräume des K-Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:19 Fr 13.01.2006 | | Autor: | tom.bg |
| Aufgabe | Es seien U; U' Unterräume des K-Vektorraums V . Man beweise eine der folgenden Aussagen:
(U + U')=U ist isomorph zu U'/(U [mm] \cap [/mm] U').
Falls U' [mm] \subset [/mm] U, dann ist (V/U')/(U/U') isomorph zu V/U. |
Einfach nur...HILFE!!
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Hallo und guten Morgen,
die erste Aussage scheint mir zweifelhaft - um nicht zu sagen: falsch, denn U' ist dann
ja Unterraum von U, und der Quotient sollte somit der Nullraum sein.
Zur zweiten Aussage:
Du kannst einfach einen Isomorphismus angeben:
Bezeichnen wir die Aequivalenzklassen von [mm] V\slash [/mm] U mit [mm] [v]_U, [/mm] die von
[mm] V\slash [/mm] U' mit [mm] [v]_{U'} [/mm] und dann die von [mm] (V\slash U')\slash (U\slash [/mm] U')
mit [mm] [\: [v]_{U'}\: ]_{U\slash U'}
[/mm]
Nimm dann die Abbildung
[mm] (V\slash U')\slash (U\slash [/mm] U') [mm] \rightarrow V\slash [/mm] U
[mm] [\: [v]_{U'}\: ]_{U\slash U'} \mapsto [v]_U
[/mm]
Du musst nun Wohldefiniertheit zeigen:
dass naemlich, wenn Du zwei Klassen [mm] [v]_{U'}, [u]_{U'} [/mm] von [mm] V\slash [/mm] U' hast, die
aequivalent bzg. [mm] U\slash [/mm] U' sind, dass dann für alle Paare von Elementen dieser
beiden Klassen v',u' auch [mm] [v']_U=[u']_U [/mm] gilt.
Aequivalenz heisst aber doch per def. , dass [mm] [v]_{U'}-[u]_{U'} [/mm] in [mm] U\slash [/mm] U ist, und
diese Differenz ist definiert als
[mm] [v-u]_{U'}
[/mm]
Zu zeigen ist also, dass aus [mm] [v-u]_{U'} \in U\slash [/mm] U' , [mm] v-v'\in [/mm] U' und [mm] u-u'\in [/mm] U'
auch [mm] v'-u'\in [/mm] U' folgt.
[mm] [v-u]_{U'}\in U\slash [/mm] U' heisst, dass es [mm] z\in [/mm] U gibt mit [mm] v-u-z\in [/mm] U'. Da U' Unterraum von U ist, muss sogar bereits [mm] v-u\in [/mm] U' sein.
Dann ist
v'-u'= (v'-v) + (v-u) +(u-u') als Summe von Vektoren in U; auch in U'.
Hat man nun die Wohldef., so muss man die Bijektivitaet zeigen, aber es gibt ja die Umkehrabbildung (s.o.). Vertraeglichkeit mit den rechenoperationen geht
dann analog.
Eine allgemeine Bemerkung:
Hatte ich es bereits irgendwo im Forum erwaehnt, dass dieser Isomorphiesatz
nur ein Spezialfall eines Isomorphiesatzes fuer allgemeine algebraische Strukturen
ist, der zB aehnlich fuer Gruppen mit Normalteilern, Ringen mit Idealen etc. gilt ?
Schaut mal in die Universelle Algebra......
Gruss,
Mathias
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