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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Unterräume und deren Schnitt
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Unterräume und deren Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Fr 14.04.2006
Autor: AriR

Aufgabe
Sei V ein K-Vektorraum, und seien [mm] U_1,...,U_n \subset [/mm] V Untervekotrräume.
Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivlant sind:
a)  Jedes [mm] v\in [/mm] V lässt sich eindeutig in der Form [mm] v=u_1,...,u_n [/mm] mit [mm] u_i\in U_i [/mm]
     für i=1,...,n schreiben
b) [mm] U_i \cap \summe_{j\not= i}U_j=0 [/mm] für alle i=1,...,n


(frabge zuvor nicht gestellt)

Hey leute, denke man kann dies am besten wieder durch [mm] a)\Rightarrow [/mm] b) und andersum machen.

für die erste inklusion:

Sei [mm] (u_{1,1},...,u_{1K1}) [/mm]   Basis von [mm] U_1 [/mm]
               [mm] \vdots [/mm]
      [mm] (u_{n,1},...,u_{n,Kn}) [/mm]  Basis von [mm] U_n [/mm]

Da jedes [mm] v\in [/mm] V eindeutig zu schreiben ist als [mm] v=u_1+...+u_n [/mm]
[mm] \Rightarrow (u_{1,1},....,u_{n,Kn} [/mm] sind Basis von V insbesondere sind sie
                    linear unabhängig
[mm] \Rightarrow \lambda_1*u_{i,1}+...+\lambda_{Ki}*u_{i,Ki}-\summe_{j\not= i}\mu_{j,1}*u_{j,1}+....+\mu{j,Kj}*u_{j,Kj}=0 [/mm]
nur für alle [mm] \lambda_1,...,\lambda_{K1},\mu{j,1},....\mu{j,Kj} [/mm] = 0 da dies eine Linearkkombination aus lin.unabh. Vektoren ist.
[mm] \Rightarrow U_i\cap \summe_{j\not= i}U_j=0 [/mm] für alle i=1,...,n


und die Rückrichtung:

mache ich noch fertig, poste ich dann auch hier rein (glaube aber dass man alle [mm] \Rightarrows [/mm] durch [mm] \gdw [/mm] erstezen kann und diese dann nciht mehr brauche oder?

danke schonmal im voraus :) Gruß Ari

        
Bezug
Unterräume und deren Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Sa 15.04.2006
Autor: felixf

Hallo Ari!

> Sei V ein K-Vektorraum, und seien [mm]U_1,...,U_n \subset[/mm] V
> Untervekotrräume.
>  Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivlant sind:
>  a)  Jedes [mm]v\in[/mm] V lässt sich eindeutig in der Form
> [mm]v=u_1,...,u_n[/mm] mit [mm]u_i\in U_i[/mm]
> für i=1,...,n schreiben
>  b) [mm]U_i \cap \summe_{j\not= i}U_j=0[/mm] für alle i=1,...,n
>  
>
> (frabge zuvor nicht gestellt)
>  
> Hey leute, denke man kann dies am besten wieder durch
> [mm]a)\Rightarrow[/mm] b) und andersum machen.

Wie auch sonst? ;-)

> für die erste inklusion:

Warum machst du das so kompliziert? Das geht doch mit der Eindeutigkeit viel schneller! Nimm dir einen Vektor $v [mm] \in U_i \cap \sum_{j\neq i} U_j$. [/mm] Dann ist $v = [mm] \sum_{j=1}^n v_j$ [/mm] mit [mm] $v_j [/mm] = 0$ fuer $j [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $v_i [/mm] = v$, und weiterhin und $v = [mm] \sum_{j\neq i} u_j [/mm] + 0$ mit [mm] $u_j \in U_j$, [/mm] $0 [mm] \in U_i$. [/mm]

So. Und die Eindeutigkeit sagt jetzt gerade, dass [mm] $u_j [/mm] = [mm] v_j$ [/mm] ist fuer $j [mm] \neq [/mm] i$ und [mm] $v_i [/mm] = 0$, also insgesamt $v = 0$.

Ist doch gleich viel einfacher, oder?

Fuer die Rueckrichtung nimm doch einfach mal an, es gibt ein $v [mm] \in [/mm] V$, welches du als $v = [mm] \sum_{i=1}^n v_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n u_i$ [/mm] darstellen kannst mit [mm] $u_i, v_i \in U_i$. [/mm] Und jetzt nimm an, dass [mm] $u_i \neq v_i$ [/mm] ist fuer ein $i$. Was gilt dann?

LG Felix


Bezug
                
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Unterräume und deren Schnitt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:22 Sa 15.04.2006
Autor: AriR

ich verstehe leider nicht ganz wo dieswe [mm] v_j [/mm] herkommen und was die [mm] \summe_{i=1}^nv_j [/mm] bedeuten soll, wenn [mm] v_j=0 [/mm] für [mm] j\not= [/mm] 0  dann ist die summme doch immer 0 oder nicht?

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Bezug
Unterräume und deren Schnitt: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Sa 15.04.2006
Autor: vanguard2k

Ich glaube man muss, damit diese Aussage gilt, klarerweise verlangen, dass die [mm]U_{i}[/mm] gemeinsam ganz V aufspannen.

Sonst wird man b) => a) wohl nicht zeigen können

Mfg

Michael

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Bezug
Unterräume und deren Schnitt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:26 So 16.04.2006
Autor: AriR

ich hab mal einen vorschlag für die rückrichtung, vielleicht stimmt die ja:

  [mm] \summe_{i\not= j}U_j=0 [/mm]
  [mm] \Rightarrow [/mm]     die Vereinigung F der Basen aller [mm] U_i [/mm]
                          [mm] 1\le i\le [/mm] n sind eine basis von V insbesondere lin.unabh.
                          [mm] F:=\{u_1_1, u_1_2,....,u_2_1,u_2_2,........,u_n_1,....,u_n_Kn\} [/mm]

   [mm] \Rightarrow [/mm]    jedes [mm] v\in [/mm] V ist darstellbar als
                         [mm] v=u_1+...+u_n=\lambda_1*u_1_1+\lambda_2*u_1_2+...+\lambda_n*u_n_n [/mm]

(hierbei stellt [mm] \lambda_1*a_1_1+...+\lambda_s*a_1_s, [/mm] das element [mm] a_1 [/mm] dar, wobei [mm] U_1 [/mm] die dimension s hat.)

eindeutig, da die Elemente aus F linear unabhängig sind.   qed.

ist das so richtig? :)

Bezug
                
Bezug
Unterräume und deren Schnitt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 20.04.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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