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| Aufgabe | Sei sei U:= [mm] {(x_{1}, x_{2},...,x_{n})\in R^n: \summe_{i=1}^{n x_{i} =0}} \subseteq R^n.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass U ein lineraren Unterraum des [mm] R^n [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis für U. Welche Dimension hat damit U? |
Hallo,
wenn wir einen Unteraum bestimmen müssen, müssen ja folgende 3 Axiome erfüllt sein:
i)zz 0 [mm] \in [/mm] U
0 [mm] \in [/mm] U, da [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] =0 [mm] x_{i} \in [/mm] U
(i= 1 => [mm] x_{i}=x_{1}=0) \in R^n
[/mm]
haben wir damit i) bewiesen?
wie geht ii) für alle x, x' [mm] \in [/mm] U => x+x' [mm] \in [/mm] U
und iii) [mm] \lambda \in [/mm] R, x [mm] \in [/mm] U => [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \in [/mm] U ?????
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo trivialesmathe,
das geht ziemlich direkt.
Schnappt euch [mm] $x=(x_1,.....,x_n), x'=(x_1',.....,x_n')\in [/mm] U$
Dh. [mm] $\sum\limits_{i=1}^nx_i=\sum\limits_{i=1}^nx_i'=0$
[/mm]
Weiter ist [mm] $x+x'=(x_1+x_1',......,x_n+x_n')$
[/mm]
Damit ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^nx_i+x_i'=\sum\limits_{i=1}^nx_i+\sum\limits_{i=1}^nx_i'=....$
[/mm]
(iii) geht analog, schreibt euch mal [mm] $\lambda\cdot{}x$ [/mm] hin und bildet die Summe.
Da kann man dann das [mm] \lambda [/mm] aus der Summe rausziehen
Gruß
schachuzipus
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Danke erstmal!
Aber ich habe trotzdem noch Fragen!!
[mm]\sum\limits_{i=1}^nx_i+x_i'=\sum\limits_{i=1}^nx_i+\sum\limits_{i=1}^nx_i'=....[/mm]
>
Muss ich hier noch weiter machen??? Oder warum hast du = ... geschrieben? Reicht das nicht aus?
Und was ist mit der b)? da weiß ich gar nicht, wie ich da anfangen soll...
Vielleicht kann mir ja jemand helfen...
Danke!
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Hallo nochmal,
> Danke erstmal!
> Aber ich habe trotzdem noch Fragen!!
>
> [mm]\sum\limits_{i=1}^nx_i+x_i'=\sum\limits_{i=1}^nx_i+\sum\limits_{i=1}^nx_i'=....[/mm]
> >
> Muss ich hier noch weiter machen??? Oder warum hast du =
> ... geschrieben? Reicht das nicht aus?
jein 
Damit [mm] $x+x'\in [/mm] U$ sind, muss ja [mm] $\sum\limits_{i=1}^n(x_i+x_i')=0$ [/mm] sein
schreibe also noch $...=0+0=0$ dazu, dann haste es komplett
> Und was ist mit der b)? da weiß ich gar nicht, wie ich da
> anfangen soll...
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen...
> Danke!
bei (b) würde ich mal heuristisch überlegen.
Nimm mal den [mm] $\IR^2$ [/mm] Dann ein [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2}\in\IR^2$
[/mm]
Damit [mm] $x\in U_2$ [/mm] ist, muss [mm] $x_1+x_2=0$ [/mm] sein.
Nimm an, du wählst [mm] x_2 [/mm] beliebig, sagen wir [mm] $x_2=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Dann muss [mm] $x_1=-t$ [/mm] sein, also lässt sich ein Vektor - wenn er in [mm] U_2 [/mm] ist, darstellen als [mm] $\vektor{-t\\t}=t\vektor{-1\\1}$
[/mm]
Damit wäre [mm] $\{\vektor{-1\\1}\}$ [/mm] eine Basis von [mm] U_2, [/mm] also [mm] $dim(U_2)=1$
[/mm]
So nun nimm mal an, wir sind im [mm] \IR^3, [/mm] also [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$
[/mm]
und du hast [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] beliebig, zB. [mm] $x_3=t,x_2=s$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann muss [mm] $x_1=-s-t$ [/mm] sein, damit [mm] $x\in U_3$ [/mm] ist
Also [mm] $x\in U_3\gdw x=\vektor{-s-t\\s\\t}=s\vektor{-1\\1\\0}+t\vektor{-1\\0\\1}$
[/mm]
Also ist [mm] \{\vektor{-1\\1\\0},\vektor{-1\\0\\1}\} [/mm] eine Basis von [mm] U_3
[/mm]
Also [mm] $dim(U_3)=2$
[/mm]
Das kannst du vielleicht als Ansatz weiterspinnen oder als Anregung nehmen
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal, also die Erklärung für b habe ich soweit verstanden.
Wenn ich jetzt für [mm] R^n [/mm] rechne, müsste das doch so ungefähr aussehen, oder?:
x= [mm] \vektor{x1 \\x2 \\... \\xn} \in R^n
[/mm]
x [mm] \in U_{n} [/mm] => [mm] x_{1} +x_{2}...x_{n}=0
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] beliebig: [mm] x_{n}=t [/mm] t [mm] \in [/mm] R
aber wie geht es jetzt weiter? Ich habe den Schritt mit dem -s und -t nich ganz verstanden. Wenn du so lieb wärst und es mir nocheinmal erklären könntest. Vielen Danke...
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Hallo,
im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit [mm] $x=\vektor{x_1\\x2\\\vdots{}\\x_n}$ [/mm] muss ja [mm] $x_1+x_2+....+x_n=0$ [/mm] sein, damit [mm] $x\in U_n$ [/mm] ist.
Wenn du die $n-1$ Komponenten [mm] $x_2,x_3,...x_n$ [/mm] beliebig hast, also zB.
[mm] $x_2=t_1,x_3=t_2,.....,x_n=t_{n-1}$ [/mm] mit [mm] $t_i\in\IR$ [/mm] für [mm] $i\in\{1,2,....,n-1\}$
[/mm]
Dann muss doch [mm] $x_1$ [/mm] wie aussehen, damit [mm] $\sum\limits_{i=1}^nx_1=0$ [/mm] ist?
Wie kann man dann einen beliebigen Vektor aus [mm] U_n [/mm] darstellen und wie sieht eine Basis von [mm] U_n [/mm] aus?
Und wie ist die Dimension von [mm] U_n?
[/mm]
Das geht ganz analog zu den obigen Bsp. im [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3
[/mm]
Mach's dir doch nochmal am [mm] \IR^4 [/mm] klar.
Gruß
schachuzipus
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