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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Di 24.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Gegeben sei V = [mm] \IR^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und U [mm] \subset [/mm] V. Sind die folgenden Mengen
U Unterräume von V? Begründen Sie Ihre Antwort!
i) V = [mm] \IR, [/mm] U = [-1,1]
ii) V = [mm] \IR^{3}, [/mm] U = { [mm] (x,y,z)^{T} \in \IR^{3} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} \le [/mm] 49 }
iii) V = [mm] \IR^{2}, [/mm] U = { [mm] \overrightarrow{x} \in \IR^{2} [/mm] : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] (1,1)^{T} [/mm] + [mm] t*(1,1)^{T}, [/mm] t [mm] \le [/mm] -1 } |
Hallo,
also ich verstehe nicht wie ich es genau Begründen soll, ob es stimmt oder nicht.
Ich weiß nur, dass für zwei Elemente des Unterraums gilt, dass Addition dieser
wieder ein Element aus dem Unterraum ergibt und das Multiplikation mit einer
reellen Zahl wieder ein Element des Unterraums ergibt.
Wenn ich das nun auf i) anwende, dann müssten die Elemente ja die Zahlen sein und
damit müssten doch zwei Zahlen addiert wieder ein Element des Unterraums ergeben.
Also hätte ich z.B. 0.5+0.6 = 1.1 und die ist nicht in der Menge U als ist es doch
kein Unterraum. Bei den anderen beiden Aufgaben habe ich keine Idee, wie ich da
vorgehen soll.
Kann mir jemand weiter helfen?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei V = [mm]\IR^{n},[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] und U [mm]\subset[/mm] V. Sind
> die folgenden Mengen
> U Unterräume von V? Begründen Sie Ihre Antwort!
>
> i) V = [mm]\IR,[/mm] U = [-1,1]
> ii) V = [mm]\IR^{3},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = { [mm](x,y,z)^{T} \in \IR^{3}[/mm] : [mm]x^{2}[/mm] +
> [mm]y^{2}[/mm] + [mm]z^{2} \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
49 }
> iii) V = [mm]\IR^{2},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = { [mm]\overrightarrow{x} \in \IR^{2}[/mm] :
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm](1,1)^{T}[/mm] + [mm]t*(1,1)^{T},[/mm] t [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 }
>
>
> Hallo,
>
> also ich verstehe nicht wie ich es genau Begründen soll,
> ob es stimmt oder nicht.
> Ich weiß nur, dass für zwei Elemente des Unterraums
> gilt, dass Addition dieser
> wieder ein Element aus dem Unterraum ergibt und das
> Multiplikation mit einer
> reellen Zahl wieder ein Element des Unterraums ergibt.
Genau
> Wenn ich das nun auf i) anwende, dann müssten die
> Elemente ja die Zahlen sein und
> damit müssten doch zwei Zahlen addiert wieder ein Element
> des Unterraums ergeben.
> Also hätte ich z.B. 0.5+0.6 = 1.1 und die ist nicht in
> der Menge U als ist es doch
> kein Unterraum.
Richtig
> Bei den anderen beiden Aufgaben habe ich
> keine Idee, wie ich da
> vorgehen soll.
> Kann mir jemand weiter helfen?
Zu ii) Es ist $(7,0,0)^T \in U$ . Ist auch $2*(7,0,0)^T \in U$ ?
Zu iii) Das machst Du jetzt mal selbst: suche ein [mm]\overrightarrow{x}[/mm] aus U und ein s [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm]s * \overrightarrow{x} \notin U[/mm]
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Di 24.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Hallo,
also zu (i):
Eigentlich würde 2 * [mm] (7,0,0)^{T} [/mm] ja zur Menge gehören, wenn die Bedingung für die
Menge nicht so wäre. Da [mm] 49^{2} [/mm] + 0 + 0 [mm] \ge [/mm] 49 und daher würde ich sagen es ist
kein Unterraum.
zu (iii)
Sobald ich die Gerade der Form [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] t(1,2)^{T} [/mm] + [mm] (2,4)^{T} [/mm] mit
irgendeinem Skalar s multipliziere, ändert sich der Stützvektor und der darf sich
nach der Bedingung für die Menge nicht ändern (nur der Richtungsvektor) also ist
das U kein Unterraum von V.
Stimmt das?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du meinst vielleicht das richtige, schreibst es aber sehr schlecht bis falsch auf.
nimm konkret einen Vektor v in derMenge, ein konkretes t und zeige, dass t*v nicht in der Menge liegt. ein Gegenbeispiel reicht aus, um zu zeigen, dass m kein UVR ist.
bei ii stet z. b was falsches.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:16 Di 24.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, ich versuche mal das richtig zu schreiben.
zu (ii)
V = [mm] \IR^{3} [/mm] , U = { [mm] (x,y,z)^{T} \in \IR^{3} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} \le [/mm] 49 }
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \overrightarrow{y} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] + [mm] \overrightarrow{y} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] U
[mm] s\overrightarrow{x} [/mm] = 3* [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist kein UR von V, da [mm] 9^{2} [/mm] + [mm] 0^{2} [/mm] + [mm] 0^{2} \ge [/mm] 49
zu (iii)
V = [mm] \IR^{2} [/mm] , U = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] (1,1)^{T} [/mm] + [mm] t(1,1)^{T}, [/mm] t [mm] \le [/mm] -1 }
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] (1,1)^{T} [/mm] + [mm] (-1)(1,1)^{T} \in [/mm] U
[mm] s\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] s(1,1)^{T} [/mm] + [mm] s(-1)(1,1)^{T} [/mm] , mit s = -1
= [mm] (-1)(1,1)^{T} [/mm] + [mm] (-1)(-1)(1,1)^{T}
[/mm]
= [mm] (-1)(1,1)^{T} [/mm] + [mm] (-1)(-1)(1,1)^{T}
[/mm]
= [mm] (-1,-1)^{T} [/mm] + [mm] (1,1)^{T} \not\in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist kein UR von V
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 26.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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