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Sei V endlichdimensional und F:V [mm] \to [/mm] V gegeben mit F [mm] \circ [/mm] F=F.
Zeige, dass es Unterräume U,W [mm] \subset [/mm] V gibt mit V=U [mm] \oplus [/mm] W und F(u+w)=u für jedes u [mm] \in [/mm] U und jedes [mm] w\in [/mm] W.
Ein kleiner Hinweis habe ich: Man soll Kern und Bild von F betrachten.
Dann müsste man doch die Definition vom Kern ( [mm] ker(F)={v\inV:F(v)=0} [/mm] ) und die vom Bild ( [mm] Bild(F)={v\inV:F(v)=v für v_{0} \in V} [/mm] irgendwie verwenden können. Wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo nix-blicker!
Nix blicken ist okay, aber nix bemühen ist ziemlich daneben. ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]") Und das beobachten wir bei dir seit mehreren Tagen. Bist du sicher, dass du wirklich Mathe studieren willst und dafür geeignet bist? Was machst du eigentlich später als Lehrer, wenn deine Schüler ihre Hausaufgaben immer von ihren Eltern lösen lassen? Erinnerst du dich dann an das Jahr 2004 zurück und sagst: Klar, kein Problem, ich habe das im Studium ja auch immer gemacht?
Naja, zur Aufgabe:
Definiere:
$W:=Kern(F)$ und $U=Bild(F)$.
Behauptung: [mm] $W\cap [/mm] U = [mm] \{0\}$
[/mm]
Beweis
Ist $v [mm] \in [/mm] W [mm] \cap [/mm] U$, also insbesondere $v [mm] \in [/mm] Bild(F)$, so gibt es ein $v' [mm] \in [/mm] V$ mit
$F(v') = v$.
Wegen $v [mm] \in [/mm] Kern(F)$ und $F [mm] \circ [/mm] F=F$ folgt:
$0 = F(v) = F(F(v')) = F(v') = v$,
also:
$v=0$.
Aus dem Dimensionssatz [mm] $(\dim(V) [/mm] = [mm] \dim(Kern(F)) [/mm] + [mm] \dim(Bild(F))$ [/mm] folgt dann die erste Teilbehauptung:
$V = Kern(F) [mm] \oplus [/mm] Bild(F) = U [mm] \oplus [/mm] W$.
Ist nun $u [mm] \in [/mm] U$ und $w [mm] \in [/mm] W$ beliebig gewählt, so gibt es ein $u' [mm] \in [/mm] V$ mit $F(u')=u$, und es folgt wegen $F= F [mm] \circ [/mm] F$:
$F(u+w) = F(F(u')) + F(w) = F(u') + 0 = u$,
wie behauptet.
Viele Grüße
Julius
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Es ist unfair von dir zu behaupten, dass ich mich nicht bemühe. Bei mir liegt das Problem beim Lösen der Aufgaben darin, dass ich zwar weiß was ich beweisen muss, aber ich nicht weiß wie ganu ich dies tun muss.
Auch wenn du nicht davon überzeugt bist, dass ich mir Mühe gebe:
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich werd mir nun in aller Ruhe alles anschauen. Mal sehn vielleicht blick ich's ja jetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Dann ist mir dein Bemühen eben bisher verborgen geblieben. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich erwarte ja nur, dass du dann später an deine Schüler die gleichen Maßstäbe anlegst wie jetzt an dich selbst. Wenn also ein Kind in die Schule kommt und sagt: "Ich habe mich bemüht, konnte aber nichts, daher haben meine Eltern die Hausaufgaben erledigt", musst du ihm sagen: "Das ist überhaupt kein Problem" und ihm für den Fall, dass diese richtig sind, eine glatte 1 geben. Ansonsten wärest du ja inkonsequent.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julius und nix-blicker!
> Hallo!
>
> Dann ist mir dein Bemühen eben bisher verborgen geblieben.
>
Naja, wenn man sich die Beiträge/Fragen mal durchguckt:
https://matheraum.de/mragent?filterauthor=nix-blicker&maxalter=alle&limit=alle&default=1&filterforen=alle
so kann man ja auch kein Bemühen erkennen.
@nix-blicker:
Falls du der Meinung bist, dass es unfair sei, dass Julius denke, dass du dich nicht bemühst:
Dann ändere das in einfacher Weise:
Bitte poste in Zukunft eigene Ideen (siehe auch https://matheraum.de/codex#loesungsansaetze [mm] ($\leftarrow$ Punkt 6!)) zu deinen Aufgaben mit.
Und sei es nur, dass du eine Vermutung hast, mit welchem Satz man denn die Behauptung vielleicht nachweisen könnte, es dir damit aber nicht gelingt.
Wenn du schon eine Vermutung hast, womit man die Behauptung beweisen könnte, dann schreibe doch bitte alles auf bis zu der Stelle, an der du nicht mehr weiterkommst. Erstens erkennen wir dann, welche Fehler du machst und können dich darauf hinweisen (und du lernst, deine eigenen Fehler zu sehen und zu vermeiden!), und zweitens können wir, im Falle, dass deine Idee richtig, dir dann den Weg zeigen, wie es weitergeht. Solltest du total daneben liegen, so ist das auch nicht schlimm, dann sagen wir halt: "Nein, so bekommst du das nicht hin, weil..." und geben dir dann, falls wir die Aufgabe lösen können/konnten, Hinweise, was du zum Beweis der Aussage benutzen könntest/solltest.
Mathematik zu lernen ist i.A. kein einfacher Prozeß, und du wirst nur merken, dass du Fortschritte machst, wenn du versuchst, die Aufgaben zu lösen. Je mehr du nach und nach (alleine oder mit kleiner Hilfestellung) lösen kannst, desto mehr hast du gelernt.
Das soll keine Kritik sein (ist es aber leider doch irgendwie...), sondern eher ein Ansporn, dich zu motivieren, uns zu unterstützen, so dass wir dir sinnvoll helfen können!
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich hab versucht die Aufgabe zu lösen. Weiß aber nicht, ob man das so machen darf, frag deshalb einfach mal.
Wir haben ne Proposition aufgeschrieben:
Sei V endlich-dimensional.
[mm] U_{1},...,U_{m}
[/mm]
mit V = [mm] U_{1}+...+U_{m} [/mm] und dim V = dim [mm] U_{1}+...+dim U_{m},
[/mm]
dann V = [mm] U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{m}
[/mm]
Dann könnte ich doch zeigen:
1) V = U+W= Bild(F)+Kern(F)
2) dim U+dim W = dim V
2) Ist ja sofort gezeigt: da Dimensionsformel:
dim V= dim Kern(F) + dim Bild(F)
1) Bei dieser Funktion ist doch Kern(f) = 0, da F injektiv (folgt ja daraus, da F bijektiv sein muss, da F [mm] \circ [/mm] F = F, oder??)
Da F ja dann auch surjektiv ist, folgt daraus, dass jedes Elemant in V getroffen wird --> Bild(F) ist V,
oder ist das ne vollkommen falsche Schlussfolgerung????
--> Kern(F) + Bild (F) = 0+V = V
(Aber wenn Kern(F)= 0 könnte man ja jeden beliebigen Unterraum W=0 nehmen und die Behauptung wäre immer erfüllt)
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gilt: V = U [mm] \oplus [/mm] W
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Annette!
Ich habe die Aufgabe zwar schon bewiesen, aber dieser Ansatz ist eleganter, daher machen wir es noch einmal. (Allerdings ist deine Argumentation völlig falsch.)
> Wir haben ne Proposition aufgeschrieben:
> Sei V endlich-dimensional.
> [mm]U_{1},...,U_{m}
[/mm]
> mit V = [mm]U_{1}+...+U_{m}[/mm] und dim V = dim [mm]U_{1}+...+dim U_{m},
[/mm]
>
> dann V = [mm]U_{1} \oplus[/mm] ... [mm]\oplus U_{m}
[/mm]
>
> Dann könnte ich doch zeigen:
> 1) V = U+W= Bild(F)+Kern(F)
> 2) dim U+dim W = dim V
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) Ist ja sofort gezeigt: da Dimensionsformel:
> dim V= dim Kern(F) + dim Bild(F)
Bis dahin stimmt also noch alles. Der Rest ist falsch, denn $F$ ist nicht injektiv.
Aber man kann es so machen:
Zu zeigen ist, dass sich jedes $v [mm] \in [/mm] V$ in der Form
$v=u+w$
mit [mm] $u\in [/mm] U=Bild(F)$ und $w [mm] \in [/mm] W=Kern(F)$ darstellen lässt,
Wir setzen nun:
$u:=F(v)$,
$w:=v-F(v)$.
Dann gilt:
$v=F(v) + v - F(v) = u+w$
und trivialerweise $u=F(v) [mm] \in [/mm] (=Bild(F)$, aber auch $w = v-F(v) [mm] \in [/mm] Kern(F)$ wegen
$F(w) = F(v-F(v)) = F(v) - F(F(v)) = F(v) - F(v) = 0$.
Damit ist alles gezeigt.
Jetzt sollte aber doch alles klar sein, oder?
Liebe Grüße
Julius
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tut mir leid, hab mich verdrückt.
ich denke schon dass alles stimmt. wollte eigentlich nur ne antwort schreiben.
also:
wenn F linear ist, dass ist f injektiv. Denn ich habe einen Satz gefunden, der sagt, wenn V endlichdimensional und F:V [mm] \to [/mm] V, dann ist F injektiv (surjektiv und bijektiv)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Natürlich stimmt der zuletzt von dir zitierte Satz nicht, denn die Nullabbildung ist auch linear und nun wirklich alles andere als injektiv.  Auch hier in dem Beispiel ist $F$ i.A. nicht injektiv.
Vielmehr gilt:
Ist $V$ endlichdimensional, dass ist die Abbildung $F:V [mm] \to [/mm] V$ genau dann injektiv, wenn $F$ surjektiv ist.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Danke, dass du dir Zeit genommen hast für meine "falsche" Lösung. Hab jetzt glaub ich verstanden, warum ich das nicht machen darf.
Also noch mal Vielen Dank.
Viele Grüße
Annette
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