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Unterraum beweisen: Unterraum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Mi 03.12.2008
Autor: ZodiacXP

Aufgabe
a, b, c [mm] \in \IR [/mm]

Zeige L = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | ax + by = c}
ist Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] wenn c = 0.

Selbst diese einfache Aufgabe schaffe ich nicht mehr und es läuft grad zu gut im Studium um wegen solchen Aufgaben alles zu gefährden ;)

Würde mich über etwas Hilfe freuen.

        
Bezug
Unterraum beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mi 03.12.2008
Autor: angela.h.b.


> a, b, c [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Zeige L = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| ax + by = c}

>  ist Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm] wenn c = 0.
>  Selbst diese einfache Aufgabe schaffe ich nicht mehr und
> es läuft grad zu gut im Studium um wegen solchen Aufgaben
> alles zu gefährden ;)
>  
> Würde mich über etwas Hilfe freuen.

hallo,

Stichwort: Unterraumkriterien.

Zeig, daß es für c=0 ein Unterraum ist, und zeig, daß es ür [mm] c\not=0 [/mm] kein Unterraum ist (Abgeschlossenheit.)

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Unterraum beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Mi 03.12.2008
Autor: ZodiacXP

In Ordnung.

Zu Zeigen:
L [mm] \not= \emptyset [/mm]
a, b [mm] \in [/mm] L : a+b in L
[mm] \lambda, [/mm] a [mm] \in [/mm] L : [mm] \lambda \* [/mm] a [mm] \in [/mm] L

Zuerst: L [mm] \not= \emptyset [/mm]
Dies gilt sicherlich, da L = (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] und [mm] \IR \not= \emptyset [/mm] und somit auch L [mm] \not= \emptyset [/mm]

(Hier weis ich jetzt schon das dies dem Tutor nicht als Beweis ausreicht, weil es ihm immer noch zu viel Text ist :P - der ist so)

oder: Sei L = ( [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \emptyset [/mm] ) ist ( [mm] \emptyset [/mm] , [mm] \emptyset [/mm] ) [mm] \in \IR^{2} [/mm] , was ein Widerspruch ist.

Danach: a, b [mm] \in [/mm] L : a+b in L
Ähm ja... keine Ahnung ^^

Bezug
                        
Bezug
Unterraum beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Mi 03.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Zodiak,

> In Ordnung.
>
> Zu Zeigen:
>  L [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  a, b [mm]\in[/mm] L : a+b in L
>  [mm]\lambda,[/mm] a [mm]\in[/mm] L : [mm]\lambda \*[/mm] a [mm]\in[/mm] L
>  
> Zuerst: L [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  Dies gilt sicherlich, da L =
> (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] und [mm]\IR \not= \emptyset[/mm] und somit auch L
> [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  
> (Hier weis ich jetzt schon das dies dem Tutor nicht als
> Beweis ausreicht, weil es ihm immer noch zu viel Text ist
> :P - der ist so)

Hier wird er nicht wegen des Textes meckern, sondern weil deine Begründung Unsinn ist.

Deiner Begründung nach wäre auch die Menge [mm] $S=\{(x,y)\in\IR^2\mid (x+y)^2=-1\}$ [/mm] nicht leer ...

Du musst die Argumentation schon mit der Eigenschaft, die L definiert, führen

Gib einfach ein Element aus der Menge $L$ an!

Da du weißt, dass jeder Vektorraum (und damit auch jeder UVR) den Nullvektor enthalten muss, prüfe nach, ob [mm] $(x,y)=(0,0)\in [/mm] L$ ist ...

>  
> oder: Sei L = ( [mm]\emptyset[/mm] , [mm]\emptyset[/mm] )

[haee]

was heißt denn das? $L$ ist doch eine Menge von Tupeln $(x,y)$, wobei die "Einträge" $x$ und $y$ reelle Zahlen sind, du schreibst hier ein Tupel von Mengen hin [mm] $(\emptyset,\emptyset)$ [/mm]

Das ist sicher kein Element von L (von [mm] $\IR^2$ [/mm] auch nicht!)

> ist ( [mm]\emptyset[/mm] ,
> [mm]\emptyset[/mm] ) [mm]\in \IR^{2}[/mm] , was ein Widerspruch ist.
>  
> Danach: a, b [mm]\in[/mm] L : a+b in L
>  Ähm ja... keine Ahnung ^^  


Wieder mit der definierenden Eigenschaft von L argumentieren, das ist immer dasselbe Schema

Nimm dir ein Paar [mm] $(x,y)\in [/mm] L$ her, dann weißt du aufgrund der Definition von $L$, dass $ax+by=0$ gilt.

Dann nimm dir ein beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und schaue, ob [mm] $\lambda(x,y)\in [/mm] L$ liegt

Wegen $ax+by=0$ ist sicher auch [mm] $\lambda(ax+by)=\lambda\cdot{}0$, [/mm] also [mm] $\lambda ax+\lambda [/mm] ay=0$, also [mm] $a(\lambda x)+b(\lambda [/mm] y)=0$, also [mm] $(\lambda x,\lambda y)=\lambda(x,y)\in [/mm] L$


Nun mache dich mal an die Abgeschlossenheit bzgl. "+"

Nimm dir $(x,y), [mm] (r,s)\in [/mm] L$ her, dh. .....

Dann ist $(x,y)+(r,s)=(x+r,y+s)$

Teste, ob das in L liegt ...


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Unterraum beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Do 04.12.2008
Autor: ZodiacXP

Ok. L = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | ax+by=c } c=0
Habs mal abgekürzt.

Für Addition :
Es sei c,d,e,f [mm] \in \IR [/mm] ; x, y [mm] \in [/mm] L ; x=(c,d) und y=(e,f) . So gilt nach Definition (ac+bd) + (ae+bf) = 0 + 0 [mm] \gdw [/mm] ac+bd+ae+bf = 0 [mm] \gdw [/mm] a(c+e)+b(d+f) = 0. Also ist (c,d)+(e,f) = (c+e, d+f) [mm] \in [/mm] L und somit abgeschlossen Bezüglich der Addition q.e.d.

Das schaut ja schon viel besser aus ;) ... hoffe nur richtig :P aber jetz wirds bunt:

Für L [mm] \not= [/mm] 0 :
Es sei a,b,x,y [mm] \in \IR [/mm] mit ax+by = 0 . Dies trifft nur auf (0,0) [mm] \in [/mm] L zu , womit L [mm] \not= \emptyset[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Unterraum beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Do 04.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Ok. L = [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} | ax+by=c \} [/mm] c=0
>  Habs mal abgekürzt.
>  
> Für Addition :
>  Es sei c,d,e,f [mm]\in \IR[/mm] ; x, y [mm]\in[/mm] L ; x=(c,d) und y=(e,f)
> . So gilt nach Definition (ac+bd) + (ae+bf) = 0 + 0 [mm]\gdw[/mm]
> ac+bd+ae+bf = 0 [mm]\gdw[/mm] a(c+e)+b(d+f) = 0. Also ist
> (c,d)+(e,f) = (c+e, d+f) [mm]\in[/mm] L und somit abgeschlossen
> Bezüglich der Addition q.e.d.

Aha! Sehr gut!

>  
> Das schaut ja schon viel besser aus ;) ... hoffe nur
> richtig :P aber jetz wirds bunt:
>  
> Für L [mm]\not=[/mm] 0 :
>  Es sei a,b,x,y [mm]\in \IR[/mm] mit ax+by = 0 . Dies trifft nur auf
> (0,0) [mm]\in[/mm] L zu , womit L [mm]\not= \emptyset[/mm]  

Nein, andersherum argumentieren!

Es gilt insbesondere für den Nullvektor $(x,y)=(0,0)$, denn [mm] $a\cdot{}0+b\cdot{}0=0$, [/mm] also [mm] $(0,0)\in [/mm] L$, also [mm] $L\neq\emptyset$ [/mm]


Wenn die Bedingung $ax+by=0$ "nur" für den Nullvektor gelten würde, bestünde der Unterraum $L$ nur aus dem Nullvektor, das wäre ein bisschen wenig ;-)

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
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Unterraum beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 Do 04.12.2008
Autor: ZodiacXP

Vielen Dank.
Die einfache Lösung hab ich mir selbst schwer gemacht. :P
Und nächste Woche der Test... Mal gucken wie das wird.

thx

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