Unterraum beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ob Menge U ein Unterraum von V ist.
[mm] V=\IR^\IR
[/mm]
U={ [mm] f\in \IR^\IR [/mm] | f(3)=2*f(1) } |
Hallo zusammen,
wollte die Aufgabe mal lösen aber ich weiß nicht wie ich hier beweisen soll, dass das wirklich ein Unterraum von V ist...das weiß ich nämlich schon aber wie wende ich hier die 3 Unterraumkritieren an.
wie zeige ich denn z.B. am besten, dass [mm] u_1, u_2 \in [/mm] U dann auch [mm] u_1+u_2 \in [/mm] U?
wär nett wenn mir das jmd mal vormachen könnte...
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Hallo Peter,
> Bestimmen Sie ob Menge U ein Unterraum von V ist.
>
> [mm] $V=\IR^{\IR}$
[/mm]
> [mm] $U=\{f\in \IR^{\IR} \mid f(3)=2\cdot{}f(1) \}$
[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wollte die Aufgabe mal lösen aber ich weiß nicht wie ich
> hier beweisen soll, dass das wirklich ein Unterraum von V
> ist...das weiß ich nämlich schon aber wie wende ich hier
> die 3 Unterraumkritieren an.
>
> wie zeige ich denn z.B. am besten, dass [mm]u_1, u_2 \in[/mm] U dann
> auch [mm]u_1+u_2 \in[/mm] U?
> wär nett wenn mir das jmd mal vormachen könnte...
Na, wie ist denn die Addition von Funktionen definiert?
Doch argumentweise, also
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
Das musst du hier benutzen.
Du nimmst dir 2 bel. Funktionen [mm] $f,g\in [/mm] U$ her, dh. es gilt:
$f(3)=2f(1)$ und auch $g(3)=2g(1)$
Nun ist zu zeigen, dass auch die Funktion [mm] $(f+g)\in [/mm] U$ ist.
Es gilt also nachzurechnen, dass gefälligst $(f+g)(3)=2(f+g)(1)$ ist.
Das mache nun mal mit dem oben Gesagten ...
Die anderen beiden Kriterien hast du hinbekommen?
Die sind recht einfach, wenn du dieses verstehst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 16.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay danke schonmal
so hab das jetzt weitergeführt...
(f+g)(3)=2(f+g)(1)
f(3) + g(3) = 2[f(1) + g(1)]
f(3) + g(3) = 2f(1) + 2g(1)
is das richtig so? kann man da noch irgendwas vereinfachen?
so hab jetzt mal das andere kriterium versucht:
[mm] \lambda \in [/mm] K bel. und f [mm] \in [/mm] U
[mm] (\lambda *f)(3)=2[(\lambda*f)(1)]
[/mm]
[mm] \lambda(f(3))= 2\lambda(f(1))
[/mm]
aber wie zeige ich denn, dass 0 [mm] \in [/mm] U ist?
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Hallo,
> okay danke schonmal
>
> so hab das jetzt weitergeführt...
> (f+g)(3)=2(f+g)(1)
> f(3) + g(3) = 2[f(1) + g(1)]
> f(3) + g(3) = 2f(1) + 2g(1)
>
> is das richtig so? kann man da noch irgendwas
> vereinfachen?
Ja, bringe alles auf die linke Seite, und bedenke, dass zB. mit $f(3)=2f(1)$ gilt: $f(3)-2f(1)=...$
Und mache überall Äquivalenzpfeile, du gehst ja von der zu zeigenden Beh. aus.
Das ist sonst brandgefährlich
Ich empfehle immer, die eine Seite der Gleichung herzunehmen und umzuformen, bis die andere Seite dasteht, sonst verzwickelt man sich allzu leicht in Äquivalenzumformungen:
Hier dachte ich mir das so:
$(f+g)(3)=f(3)+g(3)=2f(1)+2g(1)$, da [mm] $f,g\in [/mm] U$
$=2(f(1)+g(1))$ Distributivgesetz in [mm] $\IR$
[/mm]
$=2((f+g)(1))$ Addition von Funktionen
Fertig, also [mm] $f+g\in [/mm] U$
>
> so hab jetzt mal das andere kriterium versucht:
>
> [mm]\lambda \in[/mm] K bel. und f [mm]\in[/mm] U
> [mm](\lambda *f)(3)=2[(\lambda*f)(1)][/mm]
Du gehst wieder von dem aus, was zu zeigen ist, musst also konsequent Äquivalenzumformungen machen ...
> [mm]\lambda(f(3))= 2\lambda(f(1))[/mm]
Begründung? Und wie geht's weiter?
Ich würde es so machen:
[mm] $(\lambda\cdot{}f)(3)=\lambda\cdot{}(f(3))$ [/mm] wieso?
[mm] $=\lambda\cdot{}(2f(1))=2(\lambda\cdot{}f(1))$ [/mm] wieso?
[mm] $=2((\lambda\cdot{}f)(1))$ [/mm] wieso?
Also [mm] $(\lambda\cdot{}f)\in [/mm] U$
Begründe mir mal kurz die "wieso"-Stellen!
>
> aber wie zeige ich denn, dass 0 [mm]\in[/mm] U ist?
Was ist denn der Nullvektor, wenn man von Funktionen spricht?
Doch die Nullfunktion, hier [mm] $n:\IR\to\IR$ [/mm] mit $n(x)=0$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Ist die [mm] $\in [/mm] U$?
Rechne es geradeheraus nach (und hier vor)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 17.02.2010 | | Autor: | peeetaaa |
achso okay das sieht schon anders aus..
aber ich das so wie ich das gemacht hab völlig falsch?
also das erste und zweite wieso gilt doch wegen dem Assoziationgesetz oder?
aber beim dritten bin ich mir da nicht so sicher...
hätte zuerst gedacht, dass [mm] "2((\lambda\cdot{}f)(1))" [/mm] das ergebnis verfälscht!
aber das mit der Nullfunktion versteh ich noch nicht so...
muss ich das so machen:
n(x)+f(3)= n(x)+ 2f(1)
> 0 + f(3)= 0 + 2f(1)
>f(3)=2f(1)
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 17.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter,
> achso okay das sieht schon anders aus..
> aber ich das so wie ich das gemacht hab völlig falsch?
Naja, sagen wir mal unkonventionell. Es ist sehr ungewöhnlich, wenn auch nicht falsch, mit dem zu Zeigenden zu beginnen und es dann per Äquivalenzumformungen zu einer als wahr erkennbaren Aussage zu gelangen. In einer Klausur würde ich dir empfehlen, dann zumindest "zu zeigen:" vor das zu Zeigende zu schreiben und Äquivalenzpfeile zu machen, da ich sonst die Gefahr sehe, dass der Korrigierende den Weg nicht versteht.
Bei deinem Beweis für die Unterraumeigenschaft mit der Addition vermisse ich noch eine Begründung, warum die letzte erhaltene Aussage (f(3) + g(3) = 2f(1) + 2g(1)) wahr ist. Für die Unterraumeigenschaft mit der skalaren Multiplikation habe ich bei dir bisher nur einen ersten Schritt gesehen.
Einfacher ist es sicherlich, wenn du dich auf die übliche Vorgehensweise einlässt: Wenn eine Gleichung zu zeigen ist, starte mit einer der beiden Seiten und mach so lange überschaubare Umformungen, bis du bei der anderen Seite der Gleichung angekommen bist.
> also das erste und zweite wieso gilt doch wegen dem
> Assoziationgesetz oder?
Beim zweiten fließt in der Tat das Assoziativgesetz (hat mit Assoziationen nichts zu tun  ) der Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] ein; außerdem das entsprechende Kommutativgesetz.
Beim ersten Schritt tauchen dagegen gar keine drei Faktoren auf, auf die ein Assoziativgesetz anwendbar wäre! Hier wird schlichtweg die Definition von [mm] $\lambda*f$, [/mm] also der skalaren Multiplikation in V angewendet.
Warum gilt (zwischen den ersten beiden "wieso-Stellen" benutzt) [mm] $\lambda*(f(3))=\lambda*(2f(1))$?
[/mm]
> aber beim dritten bin ich mir da nicht so sicher...
Was ist denn [mm] $(\lambda*f)(1)$? [/mm] Dazu musst du die Definition der skalaren Multiplikation in V anwenden. Wenn du die nicht weißt: nachschlagen.
> hätte zuerst gedacht, dass [mm]"2((\lambda\cdot{}f)(1))"[/mm] das
> ergebnis verfälscht!
???
> aber das mit der Nullfunktion versteh ich noch nicht so...
> muss ich das so machen:
>
> n(x)+f(3)= n(x)+ 2f(1)
> > 0 + f(3)= 0 + 2f(1)
> >f(3)=2f(1)
> ?
Was tust du da? Was soll f hier sein?
Du musst ja [mm] $n\in [/mm] U$ zeigen. Was bedeutet das denn eigentlich (Definition von U anwenden)?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 23.02.2010 | | Autor: | Sakina |
und wie zeigt man denn nun dass 0 in U enthalten ist?
Den Rest hab ich jetzt nachvollziehen können und auch verstanden. Aber wie ist das mit der 0?
Wäre dankbar für Antwort. Ich benutze diese Aufgabe die gestellt wurde als Beispiel, um mir das mit dem Unterraum-Zeigen verständlich zu machen.
LG
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Hallo Sakina,
> und wie zeigt man denn nun dass 0 in U enthalten ist?
>
> Den Rest hab ich jetzt nachvollziehen können und auch
> verstanden. Aber wie ist das mit der 0?
Ist dir klar, dass die 0 hier die Nullfunktion [mm] $n:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist?
Dann rechne es einfach nach.
Du musst ja zeigen, dass [mm] $n(3)=2\cdot{}n(1)$ [/mm] ist.
Ja, und was ist $n(1)$ und was $n(3)$ ??
>
> Wäre dankbar für Antwort. Ich benutze diese Aufgabe die
> gestellt wurde als Beispiel, um mir das mit dem
> Unterraum-Zeigen verständlich zu machen.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 23.02.2010 | | Autor: | Sakina |
achsoo.. hehe wie blöd..
Eine Nullfunktion ist ja an jeder Stelle = 0.
d.h. die 0 ist darin enthalten und der Beweis abgeschlossen  .
danke
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