Unterraum von Ebene < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jodelixx |
| Aufgabe | Sei A der folgende Unterraum der Ebene:
[mm] A=\{(x,y)\in \IR | 0
(1) Ist A kompakt? Ist A Häufungspunktkompakt? Ist A folgerichtig kompakt (d.h. jede Folge hat eine konvergente Teilfolge)
(2) Was ist die Einpunktkompaktifizierung von A? Was ist die Einpunktkompaktifizierung von dem Kreis
[mm] S^{1}=\{(x,y)\in \IR | x^{2}+y^{2}=1\}?
[/mm]
(3) Ist A homöomorphisch mit [mm] S^{1}?
[/mm]
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Kann jemand bitte helfen?
In (2) meine ich schon herausgefunden zu haben, dass die Einpunktkompaktifizierung von [mm] S^{1} \: \IR [/mm] ist.
In (1) habe ich dass A nicht kompakt ist, aber Häufungspunktkompakt, richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei A der folgende Unterraum der Ebene:
> [mm]A=\{(x,y)\in \IR | 0
wohl eher
[mm] $$A=\{(x,y)\in \IR^{\blue{2}} | 0
Mach' Dir ruhig mal 'ne Skizze von [mm] $A\,.$ [/mm]
> (1) Ist A
> kompakt? Ist A Häufungspunktkompakt? Ist A folgerichtig
> kompakt (d.h. jede Folge hat eine konvergente Teilfolge)
Ich kenne da den Begriff Folgenkompakt, der wohl öfter verwendet wird (die von Dir erwähnte Bezeichnung habe ich - ehrlich gesagt - noch nie gehört).
> (2) Was ist die Einpunktkompaktifizierung von A? Was ist
> die Einpunktkompaktifizierung von dem Kreis
> [mm]S^{1}=\{(x,y)\in \IR | x^{2}+y^{2}=1\}?[/mm]
> (3) Ist A
> homöomorphisch mit [mm]S^{1}?[/mm]
>
> Kann jemand bitte helfen?
>
> In (2) meine ich schon herausgefunden zu haben, dass die
> Einpunktkompaktifizierung von [mm]S^{1} \: \IR[/mm] ist.
> In (1) habe ich dass A nicht kompakt ist, aber
> Häufungspunktkompakt, richtig?
Dass [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht kompakt ist, erkennt man schon daran, dass [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht abgeschlossen ist (Erinnerung: ![[]](/images/popup.gif) Heine-Borel.) (Beachte: [mm] $(0,\;0)$ [/mm] ist ein Häufungspunkt von [mm] $\black{A}$, [/mm] der nicht zu [mm] $\black{A}$ [/mm] gehört. Daher kann [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht abgeschlossen sein.)
Ich hoffe mal, dass ich die Begriffe korrekt verstehe:
[mm] $\black{A}$ [/mm] ist genau dann Häufungspunktkompakt, wenn jede unendliche Teilmenge [mm] $\black{A}'$ [/mm] von [mm] $\black{A}$ [/mm] einen Häufungspunkt hat, der in [mm] $\black{A}$ [/mm] liegt.
Dazu betrachte ich nun mal einfach [mm] $\black{A}':=\{(0,\;1/n): n \in \IN\}$ [/mm] und behaupte, dass das eine unendliche Teilmenge von [mm] $\black{A}$ [/mm] ist, die aber (in [mm] $(\IR^2,d_{\|.\|_2})$) [/mm] keinen Häufungspunkt hat, der in [mm] $\black{A}$ [/mm] liegt. Demnach ist [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht Häufungspunktkompakt.
[mm] $\black{A}$ [/mm] ist auch nicht Folgenkompakt:
Dazu betrachte einfach die Folge [mm] $((0,\;1/n))_{n \in \IN} \in A^\IN\,.$ [/mm] Jede Teilfolge davon konvergiert (wie die Folge selbst) gegen $(0,0) [mm] \in \IR^2 \setminus A\,.$
[/mm]
Eine jede Teilfolge der oben erwähnten Folge konvergiert also nicht in [mm] $\black{A}$. [/mm]
Übrigens:
Hier betrachtet man ja [mm] $\black{A}$ [/mm] ja als Teilmenge des [mm] $(\IR^2,d_2)$, [/mm] wobei [mm] $d_2=d_{\|.\|_2}$, [/mm] also die euklidische Metrik ist. Das heißt, dass [mm] $d_2$ [/mm] die durch die eukidische Norm induzierte Metrik ist, welche daher durch [mm] $d_2(x,y)=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}$ ($\forall x=(x_1,\;x_2),y=(y_1,\;y_2) \in \IR^2$) [/mm] gegeben ist.
Die Eigenschaften kompakt, Folgenkompakt und Häufungspunktkompakt sind hier äquivalent, da der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der oben versehenen Metrik ein metrischer Raum ist (siehe Satz 11.4). Von daher kann es nicht sein, dass Du sagst: [mm] $\black{A}$ [/mm] ist kompakt, aber nicht Häufungspunktkompakt. Das letzte stimmt, und das impliziert aber auch schon, dass [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht kompakt sein kann. Dafür gibt es aber durchaus auch weitere Argumente.
So, und wenn Du (2) schon so schön behauptest, dann möchte ich auch eine Begründung dazu hören, wie Du zu dieser Behauptung gelangst. Es ist ja [mm] $S^1=\partial \overline{A}$ [/mm] (der Rand von [mm] $\overline{A}$), [/mm] wobei [mm] $\overline{A}=\{(x,y) \in \IR^2:\;x^2+y^2 \le 1\}$, [/mm] also den Abschluss von [mm] $\black{A}$ [/mm] bezeichne.
Also: [mm] $S^1$ [/mm] ist die Kreislinie. Diese Menge ist selbst ja schon beschränkt und abgeschlossen...
Zur Einpunktkompaktifizierung von [mm] $\black{A}$:
[/mm]
Bedenke $A [mm] \overset{d}{\cup}\{(0,\;0)\}=\overline{A}\,.$ [/mm]
(Das [mm] $\overset{d}{\cup}$ [/mm] bedeutet: disjunkt vereinigt mit...)
So, und nun Deine weiteren Vorschläge und bitte auch Begründungen mitliefern. Du gelangst ja hoffentlich nicht nur durch raten zu Deinen Ergebnissen 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jodelixx |
Ok, danke für die Antworten.
(1) Also, dann haben wir erstmal, dass A nicht kompakt ist, weil A seinen eigenen Rand nicht enthält; (0,0) liegt am Rand aber nicht in A?
Ok, sorry, ich hatte wohl die falsche Definition gelesen. Dachte, der Grenzpunkt durfte ausserhalb A liegen.
Die Definition von Häufungspunktkompakt ist dann wenn jede undendliche Teilmenge von A einen Häufungspunkt hat. Aber sie sagt nicht, dass der Grenzpunkt in A liegen muss, dann kann man Deine Methode nicht verwenden oder?
Aber den Satz über die Äquivalenz von den beiden Begriffen hab ich auch jetzt gefunden, stimmt. Aber dann reicht es ja zu zeigen, dass weil A nicht Folgenkompakt ist, ist A auch nicht Häufungspunktkompakt? Die Definition von Folgenkompakt ist, dass jede Folge von Punkten eine konvergente Teilfolge hat und das kann man ja so zeigen wie Du schreibst?
(2) Hier;
http://de.wikipedia.org/wiki/Einpunktkompaktifizierung
steht das mit Einpunktkompaktifizierung und [mm] \IR. [/mm] Hab ich das nicht richtig verstanden?
Und das macht dann, dass [mm] S^{1} [/mm] die Einpunktkompaktifizierung von A ist, weil [mm] S^{1}-A=(0,0) [/mm] (also d.h.: ein einziger Punkt?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke für die Antworten.
>
> (1) Also, dann haben wir erstmal, dass A nicht kompakt ist,
> weil A seinen eigenen Rand nicht enthält; (0,0) liegt am
> Rand aber nicht in A?
so kann man in der Tat argumentieren.
> Ok, sorry, ich hatte wohl die falsche Definition gelesen.
> Dachte, der Grenzpunkt durfte ausserhalb A liegen.
> Die Definition von Häufungspunktkompakt ist dann wenn jede
> undendliche Teilmenge von A einen Häufungspunkt hat. Aber
> sie sagt nicht, dass der Grenzpunkt in A liegen muss, dann
> kann man Deine Methode nicht verwenden oder?
Nein, da liegt ein Missverständnis Deinerseits vor. Die Aussage: Jede unendliche Teilmenge von [mm] $\black{A}$ [/mm] hat einen Häufungspunkt... beinhaltet insbesondere, dass dieser Häufungspunkt, nennen wir den mal, im Falle der Existenz, HP, auch in der Menge [mm] $\black{A}$ [/mm] liegt. Das liegt daran, weil man [mm] $\black{A}'$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\black{A}$ [/mm] betrachtet und daher auch die Häufungspunkte von [mm] $\black{A}'$ [/mm] bzgl. [mm] $\black{A}$ [/mm] gemeint sind.
Leider ist das ein Standardfehler, dass man das in dieser Formulierung, genauso wie Du es getan hast, übersieht. Deswegen benutze ich auch immer die Formulierung: ... einen Häufungspunkt in der Menge [mm] $\black{A}$ [/mm] hat. Hier ist es unwahrscheinlicher, dass man überliest, dass der/ein (mögliche(r)) Häufungspunkt auch in [mm] $\black{A}$ [/mm] liegen soll.
Wäre die obige Formulierung anders gemeint:
Dann betrachte ich einfach das linksoffene Intervall $(0,1]$ in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Die Menge ist in [mm] $\IR$ [/mm] nicht kompakt (da nicht abgeschlossen), aber jede unendliche Teilmenge von $(0,1]$ hat einen Häufungspunkt in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Denn die Häufungspunkte von $(0,1]$ bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] ist ja gerade nichts anderes als [mm] $[0,1]\,.$
[/mm]
> Aber den Satz über die Äquivalenz von den beiden Begriffen
> hab ich auch jetzt gefunden, stimmt. Aber dann reicht es ja
> zu zeigen,
1.) Zeige, dass [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht Folgenkompakt ist.
> dass weil A nicht Folgenkompakt ist, ist A auch
> nicht Häufungspunktkompakt?
2.) Du meinst das jetzt so: [mm] $\black{A}$ [/mm] ist (wenn 1.) bewiesen worden ist) nicht Folgenkompakt, daher kann [mm] $\black{A}$ [/mm] (als Teilmenge eines metrischen Raumes, dort) auch nicht Häufungspunktkompakt sein. Weiter kann [mm] $\black{A}$ [/mm] hier nun auch nicht kompakt sein.
> Die Definition von
> Folgenkompakt ist, dass jede Folge von Punkten eine
> konvergente Teilfolge hat und das kann man ja so zeigen wie
> Du schreibst?
Ja.
> (2) Hier;
> http://de.wikipedia.org/wiki/Einpunktkompaktifizierung
> steht das mit Einpunktkompaktifizierung und [mm]\IR.[/mm] Hab ich
> das nicht richtig verstanden?
Dort steht, dass man den [mm] $\IR$ [/mm] mit einer Einpunktkompaktifizierung so kompakt machen kann, dass er die Struktur des [mm] $S^1$ [/mm] hat.
> Und das macht dann, dass [mm]S^{1}[/mm] die
> Einpunktkompaktifizierung von A ist, weil [mm]S^{1}-A=(0,0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (also d.h.: ein einziger Punkt?)
Das stimmt nicht. Es ist doch $S^1 \subset A$ und damit $S^1 \setminus A=\emptyset\,.$ Meintest Du vielleicht $\blue{\overline{A}} \setminus A=\blue{\{}(0,\;0)\blue{\}}$?
Nein, zunächst wurde nach einer Einpunktkompaktifizierung von $S^1$ gefragt. Ich selbst frage mich gerade nach dem Sinn davon, da $S^1$, die Kreislinie (dass ist der Abschluss von $\black{A}$ ohne das Innere von $\overline{A}$) selbst schon kompakt ist.
(Es ist $S^1$ die Kreislinie im $\IR^2$, also alle Punkte auf dem Rand des Kreises um $(0,\;0)$ mit Radius $\black{1}\,.$)
Ich kenne mich nur wenig mit der Einpunktkompaktifizierung aus. Wenn ich das falsch verstehe, vielleicht weiß ja jemand anderes noch etwas dazu zu sagen. (Natürlich kann man auch jeden Punkt von $S^1$ wieder zu $S^1$ hinzunehmen, nur bleibt $S^1$ damit die gleiche Menge und damit auch kompakt. Es ist vielleicht die Frage, ob man auch einen anderen Punkt zu $S^1$ so hinzunehmen kann, dass diese neue Menge dann kompakt ist. Insgesamt wird es wohl darauf hinauslaufen, dass für jedes $x \in \IR^2$ die Menge $S^1 \cup\{x\}$ kompakt ist?!)
Wenn man $\black{A}$ betrachtet, so ist dies ja gerade der geschlossene Einheitskreis, der allerdings den Punkt $(0,\;0)$ nicht enthält.
($A=\overline{A}\setminus\{(0,\;0)\}},.$)
Wenn man $A$ kompaktifizieren will, so muss diese Kompaktifizierte Menge mit Sicherheit $\overline{A}$ enthalten. Also muss dort der Punkt $(0,\;0)$ hinzugenommen werden. $A \overset{d}{\cup}\{(0,\;0)\}$
ist aber gerade $\overline{A}$, und $\overline{A}$ ist abgeschlossen, und man erkennt insbesondere auch, dass $\overline{A}$ beschränkt ist, also kompakt. Also:
Um $\black{A}$ "kompakt zu machen", ist es notwendig, den Punkt $\{(0,\;0)\}$ aufzunehmen. Wenn man das getan hat, dann ist aber $\black{A}$ auch schon kompakt. Und das geschah genau durch die Hinzunahme des (einzig) möglichen Punktes $(0,\;0)$ (man darf bei der Einpunktkompaktifizierung ja nur einen Punkt aufnehmen, und wir müssen hier schonmal den Punkt $(0,\;0)$ aufnehmen, also ist dieser auch der einzig mögliche), so dass wir $\black{A}$ durch die Hinzunahme diese Punktes kompaktifiziert haben.
Edit: Bei dem Begriff der Einpunktkompaktifizierung steht ja in Wiki insbesondere etwas von der Hinzunahme eines unendlich weit entfernten Punktes dabei (was ich eigentlich nicht beachte). Von daher kann es hier gut sein, dass ich etwas missverstehe und daher Unfug erzähle. (Der Punkt $(0,\;0)$, würde man den zu $\black{A}$ aufnehmen, sollte dann zu jedem $x \in A$ wohl auch den Abstand $\infty$ haben, und nicht so, wie bei mir?!) Jemand, der sich etwas besser damit auskennt, korrigiere ggf. diesen Unfug meinerseits, sollte da welcher vorhanden sein.
Das eben rotgeschriebene scheint sich erledigt zu haben, da nun eine Definition des Begriffes Einpunktkompaktifizierung nachgeliefert wurde, so dass wohl alles doch mit der obigen Argumentation machbar ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jodelixx |
Hallo wieder
> Wenn man [mm]A[/mm] kompaktifizieren will, so muss diese
> Kompaktifizierte Menge mit Sicherheit [mm]\overline{A}[/mm]
> enthalten. Also muss dort der Punkt [mm](0,\;0)[/mm] hinzugenommen
> werden. [mm]A \overset{d}{\cup}\{(0,\;0)\}[/mm]
> ist aber gerade
> [mm]\overline{A}[/mm], und [mm]\overline{A}[/mm] ist abgeschlossen, und man
> erkennt insbesondere auch, dass [mm]\overline{A}[/mm] beschränkt
> ist, also kompakt. Also:
> Um [mm]\black{A}[/mm] "kompakt zu machen", ist es notwendig, den
> Punkt [mm]\{(0,\;0)\}[/mm] aufzunehmen. Wenn man das getan hat, dann
> ist aber [mm]\black{A}[/mm] auch schon kompakt. Und das geschah
> genau durch die Hinzunahme des (einzig) möglichen Punktes
> [mm](0,\;0)[/mm] (man darf bei der Einpunktkompaktifizierung ja nur
> einen Punkt aufnehmen, und wir müssen hier schonmal den
> Punkt [mm](0,\;0)[/mm] aufnehmen, also ist dieser auch der einzig
> mögliche), so dass wir [mm]\black{A}[/mm] durch die Hinzunahme diese
> Punktes kompaktifiziert haben.
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, das hört sich gut an. In einem Buch hab ich jetzt auch gelesen, Y sei die Einpunktkompaktifizierung von X, wenn Y - X = (einziger Punkt)
So, das heisst; [mm] \overline{A}=A\cup{(0,0)} [/mm] ist die Einpunktkompaktifizierung von A, weil [mm] \overline{A}-A={(0,0)}
[/mm]
Aber das mit [mm] S^{1}: [/mm] Das würde bedeuten, dass die Einpunktkompaktifizierung von [mm] S^{1} [/mm] ist: [mm] S^{1}\cup{isolierter Punkt}, [/mm] weil die Subtraktion mit [mm] S^{1} [/mm] einen einzigen Punkt ergibt. Aber was für ein Punkt dann? Könnte man einfach wählen [mm] (x,y)\not\in S^{1}?
[/mm]
zu (3): jemand hat mir eben gesagt, die beiden seien nicht homöomorphisch, aber das Argument kapierte ich nicht ganz. Also A enthält ja mehr Punkte als [mm] S^{1} [/mm] oder? Dann kann es ja keine Bijektion zwischen ihnen geben?
MfG
jodelixx
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 31.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo wieder
>
> > Wenn man [mm]A[/mm] kompaktifizieren will, so muss diese
> > Kompaktifizierte Menge mit Sicherheit [mm]\overline{A}[/mm]
> > enthalten. Also muss dort der Punkt [mm](0,\;0)[/mm] hinzugenommen
> > werden. [mm]A \overset{d}{\cup}\{(0,\;0)\}[/mm]
> > ist aber
> gerade
> > [mm]\overline{A}[/mm], und [mm]\overline{A}[/mm] ist abgeschlossen, und man
> > erkennt insbesondere auch, dass [mm]\overline{A}[/mm] beschränkt
> > ist, also kompakt. Also:
> > Um [mm]\black{A}[/mm] "kompakt zu machen", ist es notwendig, den
> > Punkt [mm]\{(0,\;0)\}[/mm] aufzunehmen. Wenn man das getan hat, dann
> > ist aber [mm]\black{A}[/mm] auch schon kompakt. Und das geschah
> > genau durch die Hinzunahme des (einzig) möglichen Punktes
> > [mm](0,\;0)[/mm] (man darf bei der Einpunktkompaktifizierung ja nur
> > einen Punkt aufnehmen, und wir müssen hier schonmal den
> > Punkt [mm](0,\;0)[/mm] aufnehmen, also ist dieser auch der einzig
> > mögliche), so dass wir [mm]\black{A}[/mm] durch die Hinzunahme diese
> > Punktes kompaktifiziert haben.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, das hört sich gut an. In einem Buch hab ich jetzt auch
> gelesen, Y sei die Einpunktkompaktifizierung von X, wenn Y
> - X = (einziger Punkt)
> So, das heisst; [mm]\overline{A}=A\cup{(0,0)}[/mm] ist die
> Einpunktkompaktifizierung von A, weil
> [mm]\overline{A}-A={(0,0)}[/mm]
>
> Aber das mit [mm]S^{1}:[/mm] Das würde bedeuten, dass die
> Einpunktkompaktifizierung von [mm]S^{1}[/mm] ist:
> [mm]S^{1}\cup{isolierter Punkt},[/mm] weil die Subtraktion mit [mm]S^{1}[/mm]
> einen einzigen Punkt ergibt. Aber was für ein Punkt dann?
> Könnte man einfach wählen [mm](x,y)\not\in S^{1}?[/mm]
>
> zu (3): jemand hat mir eben gesagt, die beiden seien nicht
> homöomorphisch, aber das Argument kapierte ich nicht ganz.
> Also A enthält ja mehr Punkte als [mm]S^{1}[/mm] oder? Dann kann es
> ja keine Bijektion zwischen ihnen geben?
Das ist doch kein Argument. [mm] \IR [/mm] enthält auch "mehr" Punkte als das Intervall [mm] (-\pi/2, \pi/2), [/mm] dennoch bildt die Funktion x--> tanx diese Intervall bijektiv auf [mm] \IR [/mm] ab
FRED
>
> MfG
> jodelixx
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo wieder
>
> > Wenn man [mm]A[/mm] kompaktifizieren will, so muss diese
> > Kompaktifizierte Menge mit Sicherheit [mm]\overline{A}[/mm]
> > enthalten. Also muss dort der Punkt [mm](0,\;0)[/mm] hinzugenommen
> > werden. [mm]A \overset{d}{\cup}\{(0,\;0)\}[/mm]
> > ist aber
> gerade
> > [mm]\overline{A}[/mm], und [mm]\overline{A}[/mm] ist abgeschlossen, und man
> > erkennt insbesondere auch, dass [mm]\overline{A}[/mm] beschränkt
> > ist, also kompakt. Also:
> > Um [mm]\black{A}[/mm] "kompakt zu machen", ist es notwendig, den
> > Punkt [mm]\{(0,\;0)\}[/mm] aufzunehmen. Wenn man das getan hat, dann
> > ist aber [mm]\black{A}[/mm] auch schon kompakt. Und das geschah
> > genau durch die Hinzunahme des (einzig) möglichen Punktes
> > [mm](0,\;0)[/mm] (man darf bei der Einpunktkompaktifizierung ja nur
> > einen Punkt aufnehmen, und wir müssen hier schonmal den
> > Punkt [mm](0,\;0)[/mm] aufnehmen, also ist dieser auch der einzig
> > mögliche), so dass wir [mm]\black{A}[/mm] durch die Hinzunahme diese
> > Punktes kompaktifiziert haben.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ja, das hört sich gut an. In einem Buch hab ich jetzt auch
> gelesen, Y sei die Einpunktkompaktifizierung von X, wenn Y
> - X = (einziger Punkt)
> So, das heisst; [mm]\overline{A}=A\cup{(0,0)}[/mm] ist die
> Einpunktkompaktifizierung von A, weil
> [mm]\overline{A}-A={(0,0)}[/mm]
>
> Aber das mit [mm]S^{1}:[/mm] Das würde bedeuten, dass die
> Einpunktkompaktifizierung von [mm]S^{1}[/mm] ist:
> [mm]S^{1}\cup{isolierter Punkt},[/mm] weil die Subtraktion mit [mm]S^{1}[/mm]
> einen einzigen Punkt ergibt. Aber was für ein Punkt dann?
> Könnte man einfach wählen [mm](x,y)\not\in S^{1}?[/mm]
soweit ich das richtig verstehe, gibt es hier unendlich viele Einpunktkompaktifizierungsmöglichkeiten. Nach Deiner Definition kann man allerdings keinen Punkt aus [mm] $S^1$ [/mm] selbst hinzunehmen.
Aber in der Tat:
Betrachtest Du für $x [mm] \in \IR^2 \setminus S^1$ [/mm] die Menge [mm] $\tilde{S}=S \cup \{x\}$, [/mm] so ist das dann eine Einpunktkompaktifizierung.
Wobei: Vielleicht sollte man nur $x [mm] \notin S^1$ [/mm] und gar nicht $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] fordern. Das $x [mm] \in \IR^2 \setminus S^1$ [/mm] ist ja (hier) eigentlich eher ein Spezialfall...
P.S.:
Zum Formeleditor:
[mm] $\{x\}$ [/mm] schreibt man als [mm] [nomm]$\{x\}$[/nomm]. [/mm] Um die Mengenklammern erscheinen zu lassen, setze also einfach einen Backslash davor. Du solltest eh so nach und nach versuchen, Latex zu erlernen
Und diese Doppel-m's kannst Du auch umgehen, indem Du bei jeder Formel vorher und nachher ein Dollarzeichen (Shift+4) tippst.
Gruß,
Marcel
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Ok, vielen dank, ich glaube ich hab ihn jetzt.
Ich schreibe einfach das mit [mm] (x,y)\not\in S^{1} [/mm] und finde raus ob es richtig ist.
Aber das mit homöomorphie: Hier steht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Hom%C3%B6omorphie
das 2 Räume nicht homöomorphisch sein können, wenn sie nicht dieselben Eigenschaften haben, z.B. ist der eine kompakt, dann ist der andere auch.
[mm] S^{1} [/mm] ist kompakt, dehalb können sie nicht homöomophisch sein, richtig?
Ich kenne mich mit Latex schon aus, benutze es aber nicht so häufig ^^
MfG
jodelixx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 So 02.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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