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| Aufgabe | Prüfen Sie auf Unterraum:
[mm] M=\{x_{1},x_{2},x_{3} \in\IR | x_{2}=(x_{1}-3x_{3})^{2} \} [/mm] |
Hallo ihr,
ich zerbrich mir schon eine Zeit lang den Kopf darüber, wie man diese Aufgabe beweisen kann. Meine Ideen waren:
[mm] x=\vektor{x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3} \\ x_{3}}
[/mm]
[mm] \lambda*x=\lambda\vektor{x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3})^{2} \\ x_{3}}
[/mm]
[mm] \lambda*x=\vektor{\lambda*x_{1} \\ \lambda(x_{1}-3x_{3})^{2} \\ \lambda*x_{3}}
[/mm]
Wenn ich für x=1 und für [mm] \lambda=2 [/mm] einsetz, dann ergibt das ja
[mm] 2x=\vektor{2x_{1} \\ 2(x_{1}-3x_{3})^{2} \\ 2x_{3}}
[/mm]
[mm] 2x=\vektor{2 \\ 2(2-3*2)^{2} \\ 2}
[/mm]
[mm] 2x=\vektor{2 \\ 32 \\ 2}
[/mm]
Ich weiß, dass hier irgendwo der Fehler liegt. Ein Prof. hat mal das Beispiel durchgerechnet, und es folgend gelöst:
[mm] 2x=\vektor{2x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3})^{2} \\ 2x_{3}}
[/mm]
[mm] 2x=\vektor{2 \\ 16 \\ 2}
[/mm]
[mm] 2x=\vektor{2 \\ 8 \\ 2} \not= 2x=\vektor{2 \\ 16 \\ 2}
[/mm]
Und daher existiert kein Teilraum.
Wenn ich bei [mm] "x_{2}" [/mm] das Lamda weglass, dann kommt 8 raus. Aber ich muss ja jede Komponente mit Lambda multiplizieren, oder?
Freue mich auf eure Antworten.
Gruß, brauni
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 12.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Herr Braunstein!
> Prüfen Sie auf Unterraum:
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> [mm]M=\{x_{1},x_{2},x_{3} \in\IR | x_{2}=(x_{1}-3x_{3})^{2} \}[/mm]
>
> Hallo ihr,
>
> ich zerbrich mir schon eine Zeit lang den Kopf darüber, wie
> man diese Aufgabe beweisen kann. Meine Ideen waren:
>
> [mm]x=\vektor{x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3} \\ x_{3}}[/mm]
>
> [mm]\lambda*x=\lambda\vektor{x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3})^{2} \\ x_{3}}[/mm]
>
> [mm]\lambda*x=\vektor{\lambda*x_{1} \\ \lambda(x_{1}-3x_{3})^{2} \\ \lambda*x_{3}}[/mm]
>
> Wenn ich für x=1 und für [mm]\lambda=2[/mm] einsetz, dann ergibt das
> ja
Für x kannst du nicht 1 einsetzen, x ist ein Vektor (mit 3 Koordinaten). Du kannst nur für die Koordinaten Zahlen einsetzen, nämlich [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = 1. Das ergibt
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 4 \\ 1 }
[/mm]
und das ist dann das Gegenbeispiel.
> [mm]2x=\vektor{2x_{1} \\ 2(x_{1}-3x_{3})^{2} \\ 2x_{3}}[/mm]
>
> [mm]2x=\vektor{2 \\ 2(2-3*2)^{2} \\ 2}[/mm]
> [mm]2x=\vektor{2 \\ 32 \\ 2}[/mm]
>
> Ich weiß, dass hier irgendwo der Fehler liegt. Ein Prof.
> hat mal das Beispiel durchgerechnet, und es folgend gelöst:
>
> [mm]2x=\vektor{2x_{1} \\ (x_{1}-3x_{3})^{2} \\ 2x_{3}}[/mm]
>
> [mm]2x=\vektor{2 \\ 16 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]2x=\vektor{2 \\ 8 \\ 2} \not= 2x=\vektor{2 \\ 16 \\ 2}[/mm]
> Und
> daher existiert kein Teilraum.
In korrektem Mathe-Deutsch: Daher ist die gegebene Menge M kein Untervektorraum.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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