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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 So 28.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Betrachte [mm] M(n\times n,\mathbb{C}) [/mm] als reellen Vektorraum bzgl. Addition und Skalarmultiplikation.
(i) Beh.: Die Menge der hermiteschen Matrizen ist ein Unterraum. Geben Sie eine Basis an.
(ii)Geben Sie zwei hermitesche [mm] (2\times [/mm] 2)-Matrizen A,B an, sodass AB nicht hermitesch ist.
Folgern Sie daraus:
Die Menge der quadratischen hermiteschen Matrizen ist genau dann ein Unterring, wenn... |
Hallo,
(i) habe ich die Behauptung bereits gezeigt, indem ich überprüft habe:
[mm] =\in [/mm] H, [mm] A,B\in H\Rightarrow A+B\in [/mm] H und [mm] \lambda \in \mathb{R},A\in [/mm] H [mm] \Rightarrow \lambda A\in [/mm] H, wobei H die Menge der hermiteschen Matrizen sein soll. Das müsste so richtig sein oder?
Zur Basis: Das wäre dann ja wieder eine Basis aus [mm] n\times [/mm] n Matrizen. Aber was ist die kanonische Basis aus hermiteschen Matrizen? Für jede Basismatrix muss ja gelten: [mm] B^t=\overline{B}. [/mm] Müsste ich dann auch wieder [mm] n^2 [/mm] solcher Matrizen haben?
(ii) 2 Matrizen habe ich bereits gefunden.
Mit geht es lediglich um die Folgerung. Für einen Unterring muss die Multiplikation ja abgeschlossen sein, was ich für den Fall der [mm] 2\times [/mm] 2 Matrizen mit einem Gegenbeispiel wiederlegt habe.
Und irgendwie fände ich es sinnlos, die Aussage fortzusetzen mit ...die Das Produkt hermitescher Matrizen wieder eine hermitesche Matrix liefert. Oder ist das so?
Ich meine, die Abgeschlossenheit bzgl der Addition kann ich bereits aus (i) folgern.
Wie muss die Aussage sonst lauten?
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> Betrachte [mm]M(n\times n,\mathbb{C})[/mm] als reellen Vektorraum
> bzgl. Addition und Skalarmultiplikation.
> (i) Beh.: Die Menge der hermiteschen Matrizen ist ein
> Unterraum. Geben Sie eine Basis an.
> (ii)Geben Sie zwei hermitesche [mm](2\times[/mm] 2)-Matrizen A,B
> an, sodass AB nicht hermitesch ist.
> Folgern Sie daraus:
> Die Menge der quadratischen hermiteschen Matrizen ist
> genau dann ein Unterring, wenn...
> Hallo,
>
> (i) habe ich die Behauptung bereits gezeigt, indem ich
> überprüft habe:
> [mm]=\in[/mm] H, [mm]A,B\in H\Rightarrow A+B\in[/mm] H und [mm]\lambda \in \mathb{R},A\in[/mm]
> H [mm]\Rightarrow \lambda A\in[/mm] H, wobei H die Menge der
> hermiteschen Matrizen sein soll. Das müsste so richtig sein
> oder?
Hallo,
die Vorgehensweise ist richtig.
> Zur Basis: Das wäre dann ja wieder eine Basis aus [mm]n\times[/mm]
> n Matrizen.
Ja.
> Aber was ist die kanonische Basis aus
> hermiteschen Matrizen? Für jede Basismatrix muss ja gelten:
> [mm]B^t=\overline{B}.[/mm] Müsste ich dann auch wieder [mm]n^2[/mm] solcher
> Matrizen haben?
Bist Du Dir ganz sicher, daß [mm] n^2 [/mm] die Dimension Deines Raumes ist? Bedenke, daß hier von einem reellen VR die Rede ist, nicht von einem über [mm] \IC.
[/mm]
In dem kompletten Raum der Matrizen sind ja auch nichthermitesche drin, er ist also echt größer.
Daher ist die Dimension Deines Raumes sicher kleiner als die des Gesamtraumes.
Wie sieht eigentlich allgemein eine hermitesche 5x5-Matrix aus?
Auf diesem Wege kannst Du Dich Deiner Basis nähern.
>
> (ii) 2 Matrizen habe ich bereits gefunden.
> Mit geht es lediglich um die Folgerung. Für einen
> Unterring muss die Multiplikation ja abgeschlossen sein,
> was ich für den Fall der [mm]2\times[/mm] 2 Matrizen mit einem
> Gegenbeispiel wiederlegt habe.
>
> Und irgendwie fände ich es sinnlos, die Aussage
> fortzusetzen mit ...die Das Produkt hermitescher Matrizen
> wieder eine hermitesche Matrix liefert. Oder ist das so?
Ja, das ist schon so, aber das ist sicher nicht das, was man von Dir wissen will.
Du jetzt drüber nachdenken sollst, wie die hermiteschen mMatrizen aussehen müssen, damit das Produkt wieder eine hermitesche Matrix gibt.
Das gilt nur für solche einer bestimmten Machart.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 28.06.2009 | | Autor: | Unk |
hm ich probiere hier jetzt schon ziemlich lange rum und komme nicht so ganz an mein Ziel.
Erstmal zu der Basis: Also wobei ich mir ziemlich sicher bin, ist dass die Matrizen, mit [mm] a_{11}=1 [/mm] und sonst Nullen, und [mm] a_{nn}=1 [/mm] und sonst Nullen Basismatrizen sind. Über die anderen kann ich noch nicht viel sagen. Ich weiß nur, dass für hermitesche Matrizen gelten muss [mm] \overline{a_{12}}=a_{21} [/mm] usw.
Und zu dem Matrizenprodukt:
Ich dachte zunächst daran, dass die hermiteschen Matrizen dafür Diagonalmatrizen sein müssten, damit ihr Produkt wieder hermitsch ist. Aber irgendwie habe ich kein Beispiel gefunden, so dass es passt.
Müssen die Matrizeneinträge dafür nicht vielmehr [mm] \in \mathbb{R} [/mm] sein? Obwohl, dann wären es ja einfach symmetrische Matrizen.
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> hm ich probiere hier jetzt schon ziemlich lange rum und
> komme nicht so ganz an mein Ziel.
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> Erstmal zu der Basis: Also wobei ich mir ziemlich sicher
> bin, ist dass die Matrizen, mit [mm]a_{11}=1[/mm] und sonst Nullen,
> und [mm]a_{nn}=1[/mm] und sonst Nullen Basismatrizen sind. Über die
> anderen kann ich noch nicht viel sagen. Ich weiß nur, dass
> für hermitesche Matrizen gelten muss
> [mm]\overline{a_{12}}=a_{21}[/mm] usw.
Hallo,
ich finde, daß man sowas gut herausbekommt, wenn man sich das wirklich mal ausführlich aufschreibt - auch wenn's mühsam ist.
Ich mach's mal für eine 3x3-Matrix.
Eine hermitesche 3x3-Matrix sieht so aus: [mm] \pmat{a& b_1+ib_2& c_1+ic_2\\b_1-ib_2& d&e_1+ie_2\\c_1-ic_2& e_1-ie_2& f} [/mm] .
Vielleicht überlegst Du hiervon ausgehend mal eine Basis.
>
> Und zu dem Matrizenprodukt:
> Ich dachte zunächst daran, dass die hermiteschen Matrizen
> dafür Diagonalmatrizen sein müssten, damit ihr Produkt
> wieder hermitsch ist. Aber irgendwie habe ich kein Beispiel
> gefunden, so dass es passt.
??? Was paßt nicht? Ich weiß nicht, was Du meinst. Wenn man Diagonalmatrizen multipliziert, kommen Diagonalmatrizen heraus.
> Müssen die Matrizeneinträge dafür nicht vielmehr [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> sein? Obwohl, dann wären es ja einfach symmetrische
> Matrizen.
Die symmetrischen Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR [/mm] sind doch auch hermitesch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 28.06.2009 | | Autor: | Unk |
Das mit meiner Basis passt noch nicht recht. Ich mache das mal für die 3[mm]\times[/mm] 3 Matrix:
Dann müsste ich 6 Basismatrizen bekommen. Klar dass die Matrizen mit genau einer 1 auf der Hauptdiagonalen und sont nur Nullen Basismatrizen sind.
Dann hängen bei einer anderen basismatriz beispielsweise die Einträge [mm] a_{12} [/mm] und [mm] a_{21} [/mm] irgendwie zusammen. Aber woraus bestehen sie.
Es muss doch gelten:
[mm] (b_1+ib_2)\cdot \pmat{0 & x& 0 \\ x' & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}=\pmat{0 & b_1+ib_2 & 0 \\ b_1-ib_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Was ist jetzt aber x und was x'. Das geht doch so nicht oder?
Also was bei mir nicht passte war einfach nur, dass Diagonalmatrizen nur hermitsch sind, wenn ihre Diagonaleinträge reell sind und damit hätte man die Aufgabe doch auch einfach für symmetrische Matrizen stellen können.
Also meine Antwort wäre auf jeden Fall:
... genau dann ein Unterring, wenn alle hermiteschen Matrizen zugleich Diagonalmatrizen sind.
Richtig?
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> Das mit meiner Basis passt noch nicht recht. Ich mache das
> mal für die 3[mm]\times[/mm] 3 Matrix:
> Dann müsste ich 6 Basismatrizen bekommen. Klar dass die
> Matrizen mit genau einer 1 auf der Hauptdiagonalen und sont
> nur Nullen Basismatrizen sind.
> Dann hängen bei einer anderen basismatriz beispielsweise
> die Einträge [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{21}[/mm] irgendwie zusammen. Aber
> woraus bestehen sie.
>
> Es muss doch gelten:
> [mm] (b_1+ib_2)\cdot \pmat{0 & x& 0 \\ x' & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Hallo,
das ist Kokolores.
Du sollst die hermiteschen Matrizen doch als VR über [mm] \IR [/mm] betrachten. Da wird doch nur mit reellen Zahlen multipliziert!
Schauen wir nochmal $ [mm] \pmat{a& b_1+ib_2& c_1+ic_2\\b_1-ib_2& d&e_1+ie_2\\c_1-ic_2& e_1-ie_2& f} [/mm] $ an.
Es ist [mm] \pmat{a& b_1+ib_2& c_1+ic_2\\b_1-ib_2& d&e_1+ie_2\\c_1-ic_2& e_1-ie_2& f} =a*...+b_1*... [/mm] + [mm] b_2*... [/mm] + [mm] c_1*... [/mm] + usw.
[mm] =\pmat{0 & b_1+ib_2 & 0 \\ b_1-ib_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
>
> Was ist jetzt aber x und was x'. Das geht doch so nicht
> oder?
>
> Also was bei mir nicht passte war einfach nur, dass
> Diagonalmatrizen nur hermitsch sind, wenn ihre
> Diagonaleinträge reell sind und damit hätte man die Aufgabe
> doch auch einfach für symmetrische Matrizen stellen
> können.
Ich glaube, daß mir jetzt erst aufgegangen ist, worauf die 2.Aufgabe hinausläuft:
Du sollst da schreiben, daß die hermiteschen Matrizen genau dann einen Unterring bilden, wenn n=1 ist.
Mehr wollen die gar nicht wissen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 28.06.2009 | | Autor: | Unk |
> das ist Kokolores.
>
> Du sollst die hermiteschen Matrizen doch als VR über [mm]\IR[/mm]
> betrachten. Da wird doch nur mit reellen Zahlen
> multipliziert!
>
> Schauen wir nochmal [mm]\pmat{a& b_1+ib_2& c_1+ic_2\\b_1-ib_2& d&e_1+ie_2\\c_1-ic_2& e_1-ie_2& f}[/mm]
> an.
>
> Es ist [mm]\pmat{a& b_1+ib_2& c_1+ic_2\\b_1-ib_2& d&e_1+ie_2\\c_1-ic_2& e_1-ie_2& f} =a*...+b_1*...[/mm]
> + [mm]b_2*...[/mm] + [mm]c_1*...[/mm] + usw.
>
>
> [mm]=\pmat{0 & b_1+ib_2 & 0 \\ b_1-ib_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
Oh man, das hatte ich bei der ganzen Rechnerei vollkommen außer acht gelassen. Naja gut, damit ist die Basis dann ganz leicht gefunden. Wenn ich das recht sehe, erhalte ich dann aber doch 9 Basismatrizen, also [mm] n^2?
[/mm]
Also zusätzlich noch [mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&0} [/mm] und [mm] \pmat{0&i&0\\-i&0&0\\0&0&0} [/mm] usw.
> > Also was bei mir nicht passte war einfach nur, dass
> > Diagonalmatrizen nur hermitsch sind, wenn ihre
> > Diagonaleinträge reell sind und damit hätte man die Aufgabe
> > doch auch einfach für symmetrische Matrizen stellen
> > können.
>
> Ich glaube, daß mir jetzt erst aufgegangen ist, worauf die
> 2.Aufgabe hinausläuft:
>
> Du sollst da schreiben, daß die hermiteschen Matrizen genau
> dann einen Unterring bilden, wenn n=1 ist.
>
> Mehr wollen die gar nicht wissen.
>
> Gruß v. Angela
>
Ich glaube damit hast du recht. Das ist eigtl auch so ziemlich das Einzige, was man aus dem Teil folgern kann.
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> Naja gut, damit ist die Basis dann
> ganz leicht gefunden. Wenn ich das recht sehe, erhalte ich
> dann aber doch 9 Basismatrizen, also [mm]n^2?[/mm]
> Also zusätzlich noch [mm]\pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}[/mm] und
> [mm]\pmat{0&i&0\\-i&0&0\\0&0&0}[/mm] usw.
Hallo,
ja, genau
Meine Kritik an Deinem ersten Post hatte sich daran aufgehängt, daß ich den Eindruck hatte, Du wolltest dem Raum der Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IC [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] auch die Dimension [mm] n^2 [/mm] zuweisen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 13.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Hallo,ich wollte mal kurz fragen, wie man überhaupt die Basis eines VR aus Matrizen findet?? ZB würde hier auch
[mm] \pmat{ 1 & i & 0 \\ -i & 0 & i \\ 0 & -i & 1 } [/mm] gehen,die ist ja hermitesch?? Wir hatten mal in der Klausur eine Aufgabe, wo wir die Basis von schiefsymmetrischen Matrizen finden sollten und ich habe es leider nicht geschafft, auch nach dem durchlesen der Lösung ist mir das nicht klar geworden.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,ich wollte mal kurz fragen, wie man überhaupt die
> Basis eines VR aus Matrizen findet?? ZB würde hier auch
> [mm]\pmat{ 1 & i & 0 \\ -i & 0 & i \\ 0 & -i & 1 }[/mm] gehen,die
> ist ja hermitesch??
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die von Dir gepostete Matrix ist hermitesch, und nach dem Basisergänzungssatz kannst Du dies matrix durch geeignete Matrizen zu einer Basis des Raumes der hermiteschen [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen ergänzen.
Wie man eine Basis des fraglichen Raumes finden kann, hatte ich ja im Thread recht genau vorgemacht - falls dazu Fragen sind, stell' sie bitte ganz konkret.
> Wir hatten mal in der Klausur eine
> Aufgabe, wo wir die Basis von schiefsymmetrischen Matrizen
> finden sollten und ich habe es leider nicht geschafft, auch
> nach dem durchlesen der Lösung ist mir das nicht klar
> geworden.
Um Dir hier helfen zu können, solltest Du mal den genauen Text der Aufgabe posten.
Auf jeden Fall ist es kein Fehler, mal zu notieren, wie eine schiefsymmetrische Matrix allgemein aussieht.
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 14.07.2010 | | Autor: | jessi00 |
Dankeschön für deine Antwort.
Wie könnte ich denn meine Matrix zu einer Basis ergänzen? Einfach 8 weitere linear unabhängige hermitesche Matrizen dazupacken? Wie zB
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 } [/mm] ?? Wie kann ich überhaupt gucken, ob Matrizen linear unabhängig sind?? Ich nehme ja
u*A+v*B um zu gucken, ob A und B linear unabhängig sind. Dann habe ich doch aber mehr unbekannte als Gleichungen, weil A und B zB 2x2 Matrizen sind.
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> Dankeschön für deine Antwort.
> Wie könnte ich denn meine Matrix zu einer Basis
> ergänzen? Einfach 8 weitere linear unabhängige
> hermitesche Matrizen dazupacken?
Hallo,
ja.
Allerdings mußt Du dazu je erstmal wissen, daß der [mm] \IR-VR [/mm] der hermiteschen Matrizen die Dimension 9 hat.
> Wie zB
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 }[/mm] ?? Wie kann
> ich überhaupt gucken, ob Matrizen linear unabhängig
> sind?? Ich nehme ja
> u*A+v*B um zu gucken, ob A und B linear unabhängig sind.
> Dann habe ich doch aber mehr unbekannte als Gleichungen,
> weil A und B zB 2x2 Matrizen sind.
???
Du hast doch jetzt gerade [mm] 3\times3-Matrizen [/mm] am Wickel.
Wenn Du nun 9 solche Matrizen [mm] A_k [/mm] hast, von denen Du meinst, daß sie linear unabhängig sind, mußt Du schauen, welche Lösungen die Gleichung
[mm] a_1A_1+...+a_9A_9=Nullmatrix [/mm] hat.
Du hast hier ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und den Variablen [mm] a_1,..., a_9 [/mm] zu lösen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 29.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte [mm]M(n\times n,\mathbb{C})[/mm] als reellen Vektorraum
> bzgl. Addition und Skalarmultiplikation.
> (i) Beh.: Die Menge der hermiteschen Matrizen ist ein
> Unterraum. Geben Sie eine Basis an.
> (ii)Geben Sie zwei hermitesche [mm](2\times[/mm] 2)-Matrizen A,B
> an, sodass AB nicht hermitesch ist.
> Folgern Sie daraus:
> Die Menge der quadratischen hermiteschen Matrizen ist
> genau dann ein Unterring, wenn...
> Hallo,
>
> (i) habe ich die Behauptung bereits gezeigt, indem ich
> überprüft habe:
> [mm]=\in[/mm] H, [mm]A,B\in H\Rightarrow A+B\in[/mm] H und [mm]\lambda \in \mathb{R},A\in[/mm]
> H [mm]\Rightarrow \lambda A\in[/mm] H, wobei H die Menge der
> hermiteschen Matrizen sein soll. Das müsste so richtig sein
> oder?
> Zur Basis: Das wäre dann ja wieder eine Basis aus [mm]n\times[/mm]
> n Matrizen. Aber was ist die kanonische Basis aus
> hermiteschen Matrizen? Für jede Basismatrix muss ja gelten:
> [mm]B^t=\overline{B}.[/mm] Müsste ich dann auch wieder [mm]n^2[/mm] solcher
> Matrizen haben?
>
> (ii) 2 Matrizen habe ich bereits gefunden.
> Mit geht es lediglich um die Folgerung. Für einen
> Unterring muss die Multiplikation ja abgeschlossen sein,
> was ich für den Fall der [mm]2\times[/mm] 2 Matrizen mit einem
> Gegenbeispiel wiederlegt habe.
>
> Und irgendwie fände ich es sinnlos, die Aussage
> fortzusetzen mit ...die Das Produkt hermitescher Matrizen
> wieder eine hermitesche Matrix liefert. Oder ist das so?
> Ich meine, die Abgeschlossenheit bzgl der Addition kann
> ich bereits aus (i) folgern.
> Wie muss die Aussage sonst lauten?
Denk mal an Vertauschbarkeit ....
FRED
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