Unters. auf Konv. od. Diverg. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Also, ich soll folgende Reihen auf Konvergenz oder Divergenz untersuchen:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^{n}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\bruch{n+1}{n}
[/mm]
(d) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+4}{n^{3}-3n+1}
[/mm]
(e) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} (\bruch{1}{\wurzel{n-1}}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}})
[/mm]
(f) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}
[/mm]
und weiß erstmal gar nicht, wie ich anfangen soll.Möchte das gern mit sowenig Hilfe wie nötig schaffen, weil irgendwann muss ich dass ja auch ganz allein hinbekommen. Wie fange ich also an, eine Reihe auf oben genannte Sachverhalte zu untersuchen? Dann könnte ich wenigstens anfangen nach Lösungen dafür zu suchen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo limeswissengegen0,
Welche Konvergenzkriterien kennst Du denn?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Gorky |
hi! Cauchy-Kriterium, Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Leibniz-Kriterium sind Konvergenzkriterien für unendlichen Reihen. ;)
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Hallo Gorky,
Die notwendige Bedingung [mm] \lim_{n \to \infty} a_n=0 [/mm] macht sich für Aufgabe c) auch ganz praktisch 
gruß
mathemaduenn
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Danke erstmal!
Ich glaube, die hab ich irgendwo im Hefter stehen. Fange gleich mal an. Wenn ich dann wieder nicht weiterkomme, meld ich mich.
MfG
Limes
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Okay, also ich raffe es nicht!
Ich weiss nicht welches Kriterium ich auf welche Aufgabe anwenden muss, wie kann man das erkennen? Schau ich, ob die Reihe so ähnlich aussieht wie im Kriterium, dann müsste ich bei (c) das Leibnitzsche Konv.Kriter. anwenden. [mm] a_{n} [/mm] geht aber nicht gegen null, oder? Kann mir da jetzt bitte jemand weiter helfen, die Lösung für diese sechs Aufgaben zu finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 20.11.2004 | | Autor: | jmk |
Dann wollen wir mal ein paar erweiterte Tipps zu den einzelnen Reihen geben
Ich habe die Rechnungen absichtlich nicht bis zum Schluss ausgeführt, da es einerseits noch eine Menge Schreibarbeit mehr gewesen wäre und die Tipps ausreichen sollten, damit du selbstständig den Rest erledigen kannst.
> (a) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] $
Wenn man hier auch das Wurzelkriterium anwendet, so muss man zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^{n}}}
Wenn man sich anguckt wie sich das für große n verhält, so sieht man, dass a=1/2 sein könnte.
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n!}{n^{n}}}<1/2 [/mm] ist aber gleichbedeutend mit
[mm] \bruch{n!}{n^{n}}<(1/2)^n [/mm] und dies kann man mit vollständiger Induktion sowie dem Binomischen Lehrsatz zeigen.
> (b) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel[n]{n}-1)^{n} [/mm] $
Hier hat man einen Summe mit einem Summanden der Art [mm] f(n)^n, [/mm] wobei [mm] f(n)=(\wurzel[n]{n}-1).
[/mm]
Diese Art schreit förmlich nach dem Wurzel-Kriterium, d.h. wir müssen zeigen dass [mm] limsup_{n=\infty} f(n)
(Die Wurzel aus dem Wurzelkriterium und die n-te Potenz heben sich hier weg)
Nun kann man aber zeigen, dass [mm] \wurzel[n]{n} \to [/mm] 1 und damit f(n) [mm] \to [/mm] 0<1/2<1 geht.
Es langt auch schon, dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] < 3/2 und dies folgt sehr leicht indem man einfach mit n potenziert und sich dass ganze als Folge umschreibt und dann guckt was für ein Grenzwert die hat und ob der die Ungleichung erfüllt die man da stehen hat (falls das nicht in der Vorlesung war, geht das glaube ich auch mit vollständiger Induktion, ist aber ein bisschen aufwendig).
Eine andere Möglichkeit wäre [mm] ln(\wurzel[n]{n})=1/n*ln(n) [/mm] was gegen 0 konvergiert, d.h. wegen der Monotonie des Logarithmus muss [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 gehen.
> (c) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\bruch{n+1}{n} [/mm] $
Die Antwort ob diese Reihe konvergiert hast du dir selber schon gegeben.
> (d) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+4}{n^{3}-3n+1} [/mm] $
Nun, wenn man sich den Bruch ein wenig genauer ansieht wird man feststellen, dass er ungefähr sich für große n verhält wie [mm] 1/n^2. [/mm] Das lässt auf eine Majorante hoffen, da man ja weiß, das [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert. Dies ist allerdings keine Majorante wie man durch ein bisschen nachrechnen leicht sieht. Allerdings scheitert dies nur fast und zwar an einem konstanten Faktor und schon hat man seine Majorante.
Der Trick ist einfach ein bisschen mit Ungleichungen rumzuspielen, man kann ja einfach mal hinschreiben
[mm] $\bruch{n+4}{n^{3}-3n+1}<\bruch{1}{n^{2}}$ [/mm] und gucken was dabei rauskommt (es ist falsch für große n) und dementsprechend die rechte Seite modifizieren.
Wenn man die Majorante gefunden hat, muss man die Ungleichungen natürlich in der anderen Reihenfolge aufschreiben (d.h. von etwas sicher richtigem zu der eigentlichen Behauptung), sonst macht man die Abschätzungen in die falsche Richtung
Tipp bei der Majorante: Wenn ein Reihe konvergiert, konvergiert natürlich auch ein konstantes Vielfaches dieser Reihe.
> (e) $ [mm] \summe_{n=2}^{\infty} (\bruch{1}{\wurzel{n-1}}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}}) [/mm] $
Dies ist eigentlich eine ziemlich fiese Reihe, wenn man nicht auf den kleinen Trick kommt, das ganze zu erweitern mit [mm] (\bruch{1}{\wurzel{n-1}}-\bruch{1}{\wurzel{n+1}})/(\bruch{1}{\wurzel{n-1}}-\bruch{1}{\wurzel{n+1}})
[/mm]
um auf die 3. binomische Formel zu kommen.
Dann kann man eine schöne Minorante dazu finden.
Ein kleiner allgemeiner Tipp zu Minoranten/Majoranten (gilt auch für die Aufgabe darüber): Man sollte immer gucken wie schnell etwas konvergiert, d.h. was der bestimmende Faktor ist und den Rest ignorieren, so ist z.B. bei [mm] (n^{20}+15*n^{18}-4*n+15)/(e^n-n^{100}+1) [/mm] im Zähler nur n^20 wichtig und im Nenner nur [mm] e^n, [/mm] und so ähnlich kann man das dann auch bei Wurzeln, etc. machen.
> (f) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!} [/mm] $
Dies geht ganz einfach mit dem Quotientenkriterium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 20.11.2004 | | Autor: | maria |
Du hast dir ja echt viel Mühe gegeben. Dafür müsstest du von Limeswissengegen0 drei Küsschen und vom Matheraum drei Sternchen bekommen. Wollt ich nur mal so gesagt haben, denn es ist ja keine Selbstverständlichkeit, dass manche Menschen freiwillig soviel Mühe und Zeit reinstecken um anderen zu helfen. Das gilt auch für matux, stefan, Bastiane, marc und den vielen anderen, die hier immer fleißig helfen!!!
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Also, ich weiss wieviel Zeit man in solche Aufgaben investieren kann, daher kann ich den Dank und Respekt von Maria nur verdoppeln! Das Forum hier ist eine echte Hilfe! Vielmehr die Autoren...
Ich hoffe ich werde irgendwann auch mal eine Hilfe sein können um ein wenig wieder gut zu machen. Weiter so! Ihr seid alle echt klasse!
MfG
Uwe
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[mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] < [mm] (1/2)^{n} [/mm] ??????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 So 21.11.2004 | | Autor: | jmk |
Also ein wenig Taschenrechnerbenutzung zeigt, dass diese Formel für große n auf jeden Fall richtig ist, ein wenig mehr Benutzung zeigt, dass sie ab n=6 richtig ist.
Machen wir also ein bisschen vollständige Induktion.
IA: n=6 stimmt, so weit, so gut.
IS: Gelte [mm] $\frac{n!}{n^n}<(\frac{1}{2})^n$ [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}<(\frac{1}{2})^{n+1}$
[/mm]
[mm] $\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n+1}{n+1}\frac{n!}{(n+1)^n}$ [/mm] Mit dem binomischen Lehrsatz erhält man
[mm] $=\frac{n!}{\sum_{k=0}^{n}(n^{n-k}*1^k)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n!}{n^{n-0}+n*n^{n-1}+ \vektor{n \\ 2}*n^{n-2}+\ldots+1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n!}{n^{n}+n^{n}+ \vektor{n \\ 2}*n^{n-2}+\ldots+1}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{n!}{2*n^{n}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*\frac{n!}{n^n}$ [/mm] Aus der Induktionsvoraussetzung folgt nun
[mm] $\le \frac{1}{2}*(\frac{1}{2})^n$
[/mm]
[mm] $=(\frac{1}{2})^{n+1}$
[/mm]
Und fertig sind wir.
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