Unterschied Folge/Menge/Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 06.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
ich hätte mal eine allgemeine Frage zum Verstandnis von Folgen, Mengen und Reihen.
Also:
Eine Menge enthält ja Elemente, die nur 1x drin vorkommen und voneinander verschieden sein müssen.
Eine Folge kann als Abbildung (Funktion) angegeben werden und kann Elemente enthalten, die mehrfach vorkommen, z.B. (1,0,1,2,3,...)
Sowohl Folgen als auch Mengen können ka Supremum, Infimum, Schranken haben.
Meine Fragen nun:
- Kann man bei Mengen auch von Grenzwerten sprechen oder sind sie nur nach oben/unten beschränkt?
- Woran sieht man z.B. bei einem Ausdruck wie [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] ob es sich um eine Menge oder Folge handelt? Weil für mich erfüllt es irgendwie beide Kriterien
- Was genau unterscheidet eine Folge von einer Reihe?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanz!
Eine ![[]](/images/popup.gif) Reihe ist die Summe über die Glieder eine Folge.
Sei [mm] $\left< \ a_n \ \right>_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge und man summiert die einzelen Folgenglieder auf, dann erhält man eine Reihe [mm] $S_n$ [/mm] :
[mm] $$S_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2+a_3+...+a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich hätte mal eine allgemeine Frage zum Verstandnis von
> Folgen, Mengen und Reihen.
>
> Also:
> Eine Menge enthält ja Elemente, die nur 1x drin vorkommen
> und voneinander verschieden sein müssen.
nein, das stimmt so nicht. Ich kann auch schreiben: [mm] $\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,1,1,1,1,1\}\,.$ [/mm] Nur wird das Element $1$ hier nur einmal gezählt. Also mehrmaliges Auftreten des gleichen Elementes innerhalb einer Menge verändert die Menge nicht, könnte man so grob sagen. So ist z.B. [mm] $\{0,1,2\}=\{\text{Rest von der Division }z \text{ durch 3}: z \in \IZ \}\,.$ [/mm] Die rechte Menge erscheint zunächst (da [mm] $\IZ$ [/mm] ja unendlich viele Elemente hat) eigentlich eine unendliche zu sein, aber die obige Mengengleichheit widerlegt diese Vermutung, auf die man kommen könnte.
> Eine Folge kann als Abbildung (Funktion) angegeben werden
> und kann Elemente enthalten, die mehrfach vorkommen, z.B.
> (1,0,1,2,3,...)
Ja, eine reellwertige Folge kann man als Abbildung [mm] $\IN \to \IR$ [/mm] auffassen (es ginge auch [mm] $\IZ \to \IR$ [/mm] oder [mm] $\IQ \to \IR\;$ [/mm] wichtig ist eigentlich, dass der Definitionsbereich gleichmächtig zu [mm] $\IN$ [/mm] ist, falls Dir das schon was sagen sollte).
Wichtig ist halt, dass hier quasi die "Stelle" des Auftretens wichtig ist. Man kann sich das auch als ein unendliches Tupel (mit [mm] "$\IN$" [/mm] "Koordinaten") vorstellen. Die Folge $(1,2,1,2,1,2,...)$ ist dann was anderes als die Folge $(2,1,2,1,2,1,...)$ (das erste wäre quasi die Folge [mm] $a_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}\,,$ [/mm] das zweite die Folge [mm] $b_n=\begin{cases} 2, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}\,,$). [/mm] Wenn man nun aber folgende Mengen bildet:
[mm] $A:=\{a_n: n \in \IN\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{b_n: n \in \IN\}\,,$ [/mm] so gilt [mm] $A=B\,.$
[/mm]
Und dann erkennst Du auch:
Nehmen wir an, zwei Folgen unterscheiden sich an mindestens einer Stelle. Dann sind sie schon nicht mehr gleich. Aber die Mengen der zugehörigen Folgeglieder können dann (aber müssen natürlich nicht) gleich sein.
> Sowohl Folgen als auch Mengen können ka Supremum, Infimum,
> Schranken haben.
Was heißt ka? Naja, bei nach oben beschränkten Folgen gibt es den Limsup, bei nach unten beschränkten den Liminf etc. Da gibt es aber durchaus auch Zusammenhänge mit entsprechenden Mengen von Folgegliedern.
> Meine Fragen nun:
> - Kann man bei Mengen auch von Grenzwerten sprechen oder
> sind sie nur nach oben/unten beschränkt?
Das gibt es auch, sowas findest Du in der Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. insbesondere in der Maßtheorie. Aber auch in der Analysis braucht man das an manchen Stellen. Näheres dazu: Siehe Wiki. Aber ich denke, dass Dir das im Laufe des Studiums (vermutlich) nochmal über den Weg laufen wird und Du Dich auch erst dann wirklich damit auseinandersetzen solltest. Wenn die obigen Begriffe noch unklar sind, dann würde ich Dir empfehlen, erst diese mal zu verinnerlichen.
> - Woran sieht man z.B. bei einem Ausdruck wie [mm]\bruch{1}{n},[/mm]
> ob es sich um eine Menge oder Folge handelt? Weil für mich
> erfüllt es irgendwie beide Kriterien
Bei Mengen stehen normalerweise Mengenklammer drumherum und bei der Folge steht auch meist sowas: Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] die Folge gegeben durch [mm] $a_n=\frac{1}{n}\,.$ [/mm] Wenn [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] nur so da steht, dann ist das für mich erstmal ein Bruch [mm] $\frac{1}{n}\,.$ [/mm] Aber normalerweise sollte sich aus dem Kontext ergeben, was gemeint ist:
Wenn da steht:
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] gegen $0$ konvergiert.
So meint das: Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] (für alle $n [mm] \in \IN$), [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$ strebt.
Wenn da steht:
Zeigen Sie, dass $0$ ein Häufungspunkt von [mm] $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ [/mm] ist.
So ist das nur eine Abkürzung für:
Zeigen Sie, dass $0$ ein Häufungspunkt für [mm] $\left\{\frac{1}{n}:\;n \in \IN\right\}$ [/mm] ist.
Ich selber vermeide aber solche "abkürzenden" Schreibweisen, und die meisten Autoren würden auch nicht [mm] $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ [/mm] schreiben (weil man das auch als einelementige Menge missinterpretieren könnte), sondern wirklich [mm] $\left\{\frac{1}{n}: n \in \IN\right\}\,.$
[/mm]
> - Was genau unterscheidet eine Folge von einer Reihe?
Bei einer Reihe summiert man die Folgenglieder einer Folge. Allerdings ist Deine Frage, strenggenommen, etwas schwer zu beantworten:
Denn jede Reihe läßt sich auch als Folge schreiben und umgekehrt. Nichtsdestotrotz ist die Theorie für Reihen doch schon wieder ein wenig anders, worüber Du Dich nun wundern könntest, da ich ja vorher gesagt habe, dass sich Reihen als Folgen und Folgen als Reihen darstellen lassen. Man muss sich halt mal mit Folgen und Reihen auseiandersetzen, und dann erkennt man aber, wo sich gewisse Dinge übertragen lassen und wo nicht und warum es dann dennoch Aussagen für Reihen gibt, wo es kein "Analogon" für Folgen gibt. (Es gibt z.B. ein Wurzelkriterium für Reihen, aber keines für Folgen. Zumindest kenne ich keinen Satz, der "Wurzelkriterium für Folgen" heißt. Andererseits ist eine Reihe ja auch erstmal die Folge ihrer Partialsummen; also eine Reihe ist "prinzipiell" auch erstmal eine Folge und im Falle der Konvergenz.... Naja, wie Du siehst, da muss man sich mit den ganzen Begriffen mal auseinandergesetzt haben und sie verinnerlicht haben  .)
Gruß,
Marcel
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