Untersuchen auf Injektivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 31.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie $f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x, x+y, y)$, auf Surjektivität und Injektivität. |
Hallo,
Die Abbildung ist schonmal nicht Surjektiv, aber Injektiv.
Für die Injektivität müssen ja alle Elemente aus [mm] \IR^{2} [/mm] einem Element aus [mm] \IR^{3} [/mm] zugeordnet sein. In meinen Augen geht x+y einfach leer aus, also ohne Urbild.
Nur wie gehe ich mit dem x+y in meinem Beweis um?
|
|
| |
|
Hallo,
> Untersuchen Sie [mm]f: \IR^{2} \to \IR^{3}, (x,y) \mapsto (x, x+y, y)[/mm],
> auf Surjektivität und Injektivität.
> Hallo,
> Die Abbildung ist schonmal nicht Surjektiv, aber Injektiv.
> Für die Injektivität müssen ja alle Elemente aus
> [mm]\IR^{2}[/mm] einem Element aus [mm]\IR^{3}[/mm] zugeordnet sein. In
> meinen Augen geht x+y einfach leer aus, also ohne Urbild.
> Nur wie gehe ich mit dem x+y in meinem Beweis um?
Ganz offensichtlich hast du die Definition der drei Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität noch nicht verstanden (was kein Vorwurf sein soll, das geht vielen Studienanfängern so).
Vielleicht liegt es auch an einer mangelhaften Vorstellung über den Begriff der Funktion. Da muss man insbesondere die üblichen Vorstellungen aus der Schulzeit über Bord werfen.
Also, was haben wir? Eine Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR^3, [/mm] die ganz offensichtlich auf dem gesamten [mm] \IR^2 [/mm] definiert ist.
Unter Injektivität versteht man die Eigenschaft, dass für zwei unterschiedliche Elemente der Urbildmenge die entsprechenden Funktionswerte (also die zugehörigen Werte aus dem Bild der Funktion f) ebenfalls unterschiedlich sind. Kurz:
[mm]x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)[/mm]
Du musst also hier prüfen, ob für zwei unterschiedliche Wertepaare (x,y) und (u,v) auch die Funktionswerte unter allen Umständen unterschiedlich sind. Das geht hier sehr einfach, indem man die obige Definition logisch umkehrt (man nennt das Kontraposition):
[mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm]
ist gleichbedeutend zur üblichen Definition der Injektivität. Setze also die Bilder von (x,y) und (u,v) gleich und ziehe deine Schlüsse daraus.
Unter Surjektivität versteht man die Eigenschaft, dass jedes Element der Zielmenge (hier der [mm] \IR^3) [/mm] mindestens einmal 'getroffen' wird. Da braucht es nur ein ganz klein wenig Phantasie, um durch einmal scharfes Hinsehen darauf zu kommen, dass das hier nicht der Fall sein kann. Wenn man das mal gesehen hat, dann reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels aus!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 31.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
> [mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm]
>
> ist gleichbedeutend zur üblichen Definition der
> Injektivität. Setze also die Bilder von (x,y) und (u,v)
> gleich und ziehe deine Schlüsse daraus.
Seien [mm] \IR^{2} [/mm] und [mm] \IR^{3} [/mm] Mengen und $f: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3}, [/mm] (x,y) (u,v) [mm] \in \IR^{2}$
[/mm]
$f(x,y) = f(u,v) [mm] \Rightarrow [/mm] (x,y)=(u,v)$
Seihen $(x,y) und (u,v) [mm] \in \IR^2$ [/mm] beliebig
Daraus folgt
$f(x,y) = (x,x+y,y) = f(u,v) = (u,u+v,v)$
[mm] \Rightarrow [/mm] $x=u$
[mm] \Rightarrow [/mm] $y=v$
[mm] \Rightarrow [/mm] $x+y = u+v [mm] \Rightarrow [/mm] x+v = x+v [mm] \Rightarrow [/mm] u+y= u+y$
bei dem letzen bin ich mir nicht sicher ob man das so machen darf.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > [mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm]
> >
> > ist gleichbedeutend zur üblichen Definition der
> > Injektivität. Setze also die Bilder von (x,y) und (u,v)
> > gleich und ziehe deine Schlüsse daraus.
>
> Seien [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]\IR^{3}[/mm] Mengen und [mm]f: \IR^{2} \to \IR^{3}, (x,y) (u,v) \in \IR^{2}[/mm]
>
> [mm]f(x,y) = f(u,v) \Rightarrow (x,y)=(u,v)[/mm]
> Seihen [mm](x,y) und (u,v) \in \IR^2[/mm]
> beliebig
>
> Daraus folgt
> [mm]f(x,y) = (x,x+y,y) = f(u,v) = (u,u+v,v)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x=u[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]y=v[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x+y = u+v \Rightarrow x+v = x+v \Rightarrow u+y= u+y[/mm]
>
> bei dem letzen bin ich mir nicht sicher ob man das so
> machen darf.
> Gruß
Du gehst viel zu kompliziert vor. Wenn x=u und y=v gelten, muss man nicht mehr extra x+u=y+v begründen.
Also (ich schreibe die Funktionswerte mal als Spaltenvektoren):
[mm]\begin{aligned}
f(x,y)&=f(u,v) \gdw\\
\\
\vektor{x\\x+y\\y}&=\vektor{u\\u+v\\v}\Rightarrow x=u \wedge y=v
\end{aligned}[/mm]
Also ist f injektiv.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 31.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
Ist es denn Grundsätzlich falsch was ich geschrieben habe oder muss ich den 3ten schritt einfach weglassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 31.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Ist es denn Grundsätzlich falsch was ich geschrieben habe
> oder muss ich den 3ten schritt einfach weglassen?
Ich habe es mir angesehen und einige Bemerkungen dazu geschrieben, allerdings angehängt an die vorherige Frage (so konnte ich besser zitieren).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo nochmals,
deinem Wunsch nach Korrektur komme ich aus technischen Gründen hier nach.
>
> Seien [mm]\IR^{2}[/mm] und [mm]\IR^{3}[/mm] Mengen
Das macht überhaupt keinen Sinn. Was [mm] \IR^n [/mm] bedeutet ist allgemein bekannt und muss weder definiert noch irgendwie anders beschrieben werden.
und [mm]f: \IR^{2} \to \IR^{3}, (x,y) (u,v) \in \IR^{2}[/mm]
Der Funktionstyp steht schon in der Aufgabenstellung, die Definition der beiden Zahlenpaare ist dagegen richtig (und wichtig).
> [mm]f(x,y) = f(u,v) \Rightarrow (x,y)=(u,v)[/mm]
> Seihen [mm](x,y) und (u,v) \in \IR^2[/mm]
> beliebig
Das steht doch oben schon, da wiederholst du dich. Und was du machen möchtest (also aus der Gleichheit zweier Funktionswerte auf die Gleichheit der Urbilder zu schließen), das würde ich hier wenn überhaupt an den Anfang setzen.
>
> Daraus folgt
Hier folgt noch gar nichts, das ist keine gute Formulierung.
> [mm]f(x,y) = (x,x+y,y) = f(u,v) = (u,u+v,v)[/mm]
Da gefällt mir die Reihenfolge der Gleichheiten nicht, aber falsch ist es nicht. Ich würde es (wenn man es denn als Gleichungskette schreiben möchte) so machen:
f(x,y)=(x,x+y,y)=(u,u+v,v)=f(u,v)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x=u[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]y=v[/mm]
Ja. Das könnte man zu einer Aussage x=u [mm] \wedge [/mm] y=v zusammenfassen, auf jeden Fall bist du hier fertig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x+y = u+v \Rightarrow x+v = x+v \Rightarrow u+y= u+y[/mm]
>
Das ist wie gesagt redundant. Aber die Aussage, dass jetzt die Injektivität von f gezeigt ist, könnte man noch in der einen oder anderen Form unterbringen.
Nimm mal folgende Anregung mit: was man in der Mathematik so aufschreibt, also diese ganzen tollen Notationen und Symbole, wird oftmals völlig überbewertet. Erst einmal ist wichtig, was man sich denkt, wie man vorgeht. Das Aufschreiben dient ja nur der Kommunikation, damit also deine Gedanken bei irgendjemand anders ankommen. Und klar, dafür gibt es Konventionen, damit man sich nicht missversteht. Nimmt man aber die Notationen in der Mathematik zu ernst, dann entsteht oft die fatale Fehleinschätzung, dass das korrekte Aufschreiben von mathematischen Überlegungen schon eine Art von Automatismus ist, der einem garantiert, dass man alles richtig macht. In der Logik gibt es das, zumindest ein Stück weit. Aber allgemein - wie schon gesagt - sollte erst die zielführende Überlegung stehen und dann kommt die Frage, wie man diese zu Papier bzw. auf den Monitor bringt. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 31.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
> sollte
> erst die zielführende Überlegung stehen und dann kommt
> die Frage, wie man diese zu Papier bzw. auf den Monitor
> bringt.
Ich verusch es mal,
Meine (hoffentlich richtige) Zielführende Überlegung für die Surjektivität ist folgende:
Jedes Elemente aus der Zielmenge [mm] \IR^{3} [/mm] ist einem Element aus der Definitionsmenge [mm] \IR^{2} [/mm] zugeordnet. so sollte es zumindest sein.
Aber
[mm] \IR^{3} [/mm] hat (a),(b),(c) und [mm] \IR^{2} [/mm] nur (a),(b)
offensichtlich bleibt (c) "über" und ist somit nicht in der Bildmenge der Funktionsvorschrift.
Wenn das jetzt richtig ist, überleg Ich wie man es aufs Papier schreibt.
Danke und Gruß
LeFlair
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > sollte
> > erst die zielführende Überlegung stehen und dann kommt
> > die Frage, wie man diese zu Papier bzw. auf den Monitor
> > bringt.
> Ich verusch es mal,
> Meine (hoffentlich richtige) Zielführende Überlegung
> für die Surjektivität ist folgende:
>
> Jedes Elemente aus der Zielmenge [mm]\IR^{3}[/mm] ist einem Element
> aus der Definitionsmenge [mm]\IR^{2}[/mm] zugeordnet. so sollte es
> zumindest sein.
> Aber
> [mm]\IR^{3}[/mm] hat (a),(b),(c) und [mm]\IR^{2}[/mm] nur (a),(b)
> offensichtlich bleibt (c) "über" und ist somit nicht in
> der Bildmenge der Funktionsvorschrift.
>
> Wenn das jetzt richtig ist, überleg Ich wie man es aufs
> Papier schreibt.
Nein, das ist völlig falsch. Du darfst auch die Elemente a,b und c nicht getrennt betrachten, ich glaube da hast du auch große Schwierigkeiten. [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] kann man sich doch wunderbar in Form von kartesischen Koordinatensystemen entsprechender Dimension veranschaulichen. In beiden Fällen sind die Elemente Punkte, im Fall der Ebene [mm] (\IR^2) [/mm] eben Zahlenpaare, im räumlichen Fall [mm] (\IR^3) [/mm] Tripel.
So, und nun zurück zur Ausgangsproblematik. Es ist bis auf eine Ausnahme ganz offensichtlich unmöglich, dass deine Funktion Werte der Form f(x,y)=(a,a,a) annimmt. Das klappt für f(0,0)=(0,0,0), jedoch in keinem weiteren Fall. Also ist etwa das Tripel (1,1,1) ein Gegenbeispiel, da es kein Zahlenpaar (x,y) gibt, so dass f(x,y)=(1,1,1). Das kannst du nun selbst leicht nachrechnen!
Und wie gesagt: dieses eine Gegenbeispiel reicht aus für den Nachweis, dass die Funktion f nicht surjektiv ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 01.02.2018 | | Autor: | LeFlair |
> Nein, das ist völlig falsch. Du darfst auch die Elemente
> a,b und c nicht getrennt betrachten, ich glaube da hast du
> auch große Schwierigkeiten. [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm] kann man sich
> doch wunderbar in Form von kartesischen Koordinatensystemen
> entsprechender Dimension veranschaulichen. In beiden
> Fällen sind die Elemente Punkte, im Fall der Ebene [mm](\IR^2)[/mm]
> eben Zahlenpaare, im räumlichen Fall [mm](\IR^3)[/mm] Tripel.
Ich habe genau das mal versucht, da ich das Thema endlich voll verstehen möchte. Fang ich mal ganz vorne an und beschreibe wie ich das verstehe. Ich hoffe das geht nicht zu weit.
[mm] \IR^{2} [/mm] ist ja [mm] \IR [/mm] * [mm] \IR [/mm] und besteht somit aus z.b den Elementen (x,y) (2 Dimensional)
[mm] \IR^{3} [/mm] ist ja dann [mm] \IR [/mm] * [mm] \IR [/mm] * [mm] \IR [/mm] und hat z.b die Elemente (x,y,z) (3 Dimensional)
Dann gibts da die Abbildungsvorschrift f die mir beschreibt was mit den (x,y) aus [mm] \IR^{2} [/mm] passiert, dass die sogenannte Bildmenge in [mm] \IR^{3} [/mm] entsteht. Die Elemente in der Bildmenge sind dann andere, ich nenn sie mal (u,v,w)
Ich wende das mal für die in der Aufgabe gegebene Vorschrift (x,x+y,y) an:
Für die Zahl x nehme ich die 2 und für y die 3. dann sagt mir die Bildungsvorschrift folgendes: (2,5,3)
Dies wäre doch auch ein Gegenbeispiel das keine Surjektivität besteht richtig?
Ich Übertrag das nochmal auf die Mengen:
[mm] \IR^{2} [/mm] hat die Elemente (2,3)
[mm] \IR^{3} [/mm] hat die Elemente (2,3,5)
also 2 Elemente (2,3) sind gleich, aber die 5 taucht in der Definitionsmenge nicht auf. Ist somit auch nicht Teil der Bildmenge in [mm] \IR^{3} [/mm] .
Gefühlt habe ich es beim Aufschreiben jetzt selbst verstanden. Aber dafür müsste es richtig erklärt sein.
Ist es das?
Wie gesagt, ich hoffe ich Spreng hier grad nicht den Rahmen und den Zweck des im Forum Zulässigen..
Lieben Gruß
LeFlair
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Do 01.02.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Nein, das ist völlig falsch. Du darfst auch die Elemente
> > a,b und c nicht getrennt betrachten, ich glaube da hast du
> > auch große Schwierigkeiten. [mm]\IR^2[/mm] und [mm]\IR^3[/mm] kann man sich
> > doch wunderbar in Form von kartesischen Koordinatensystemen
> > entsprechender Dimension veranschaulichen. In beiden
> > Fällen sind die Elemente Punkte, im Fall der Ebene [mm](\IR^2)[/mm]
> > eben Zahlenpaare, im räumlichen Fall [mm](\IR^3)[/mm] Tripel.
>
> Ich habe genau das mal versucht, da ich das Thema endlich
> voll verstehen möchte. Fang ich mal ganz vorne an und
> beschreibe wie ich das verstehe. Ich hoffe das geht nicht
> zu weit.
> [mm]\IR^{2}[/mm] ist ja [mm]\IR[/mm] * [mm]\IR[/mm]
Nein. [mm] $\IR^2 [/mm] = [mm] \IR \times \IR$ [/mm] (kartesisches Produkt)
> und besteht somit aus z.b den
> Elementen (x,y) (2 Dimensional)
> [mm]\IR^{3}[/mm] ist ja dann [mm]\IR[/mm] * [mm]\IR[/mm] * [mm]\IR[/mm]
Nein. [mm] $\IR^3 [/mm] = [mm] \IR \times \IR \times \IR$ [/mm] (kartesisches Produkt)
> und hat z.b die
> Elemente (x,y,z) (3 Dimensional)
> Dann gibts da die Abbildungsvorschrift f die mir
> beschreibt was mit den (x,y) aus [mm]\IR^{2}[/mm] passiert, dass die
> sogenannte Bildmenge in [mm]\IR^{3}[/mm] entsteht. Die Elemente in
> der Bildmenge sind dann andere, ich nenn sie mal (u,v,w)
> Ich wende das mal für die in der Aufgabe gegebene
> Vorschrift (x,x+y,y) an:
> Für die Zahl x nehme ich die 2 und für y die 3. dann
> sagt mir die Bildungsvorschrift folgendes: (2,5,3)
Ja, das stimmt, es ist f(2,3)=(2,5,3).
> Dies wäre doch auch ein Gegenbeispiel das keine
> Surjektivität besteht richtig?
Wie kommst Du denn darauf ???
Surjektivität bedeutet in Deinem Fall:
zu jedem (u,v,w) [mm] \in \IR^3 [/mm] gibt es ein (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit f(x,y)=(u,v,w).
Nun wissen wr ja seit ein paar Tagen schon, dass obiges f nicht surjektiv ist, denn Diophant hat jede Menge Tripel (u,v,w) ausfindig gemacht, die nicht als Funktionswerte von f vorkommen, z:B. (1,1,1).
> Ich Übertrag das nochmal auf die Mengen:
> [mm]\IR^{2}[/mm] hat die Elemente (2,3)
Das is ein Element im [mm] \IR^2, \IR^2 [/mm] hat noch saumäßig viele mehr.
> [mm]\IR^{3}[/mm] hat die Elemente (2,3,5)
s.o.
> also 2 Elemente (2,3) sind gleich, aber die 5 taucht in der
> Definitionsmenge nicht auf. Ist somit auch nicht Teil der
> Bildmenge in [mm]\IR^{3}[/mm] .
Puh ! Es stimmt zwar, dass (2,3,5) nicht zur Bildmenge gehört, aber Deine Begründung hat nix mit Mathematik zu tun.
Wäre (2,3,5) in der Bildmenge von f , so müsste es ein (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] geben mit
f(x,y)=(2,3,5), also mit (x,x+y,y)=(2,3,5).
Dann wäre aber x=2, y=5 und x+y=3, was aber Quatsch ist.
> Gefühlt habe ich es beim Aufschreiben jetzt selbst
> verstanden.
Nicht böse sein, aber ich habe nicht den Eindruck, dass Du es verstanden hast.
> Aber dafür müsste es richtig erklärt sein.
> Ist es das?
Nein.
>
> Wie gesagt, ich hoffe ich Spreng hier grad nicht den Rahmen
> und den Zweck des im Forum Zulässigen..
keine Bange, alles ist gut
>
> Lieben Gruß
> LeFlair
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 01.02.2018 | | Autor: | LeFlair |
> > also 2 Elemente (2,3) sind gleich, aber die 5 taucht in der
> > Definitionsmenge nicht auf. Ist somit auch nicht Teil der
> > Bildmenge in [mm]\IR^{3}[/mm] .
>
>
> Puh ! Es stimmt zwar, dass (2,3,5) nicht zur Bildmenge
> gehört, aber Deine Begründung hat nix mit Mathematik zu
> tun.
Okay da hab ich mich Falsch ausgedrückt Ich meinte (2,5,3) und wollte drauf hinaus das die 5 nicht in der Definitionmenge ist.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > > also 2 Elemente (2,3) sind gleich, aber die 5 taucht in der
> > > Definitionsmenge nicht auf. Ist somit auch nicht Teil der
> > > Bildmenge in [mm]\IR^{3}[/mm] .
> >
> >
> > Puh ! Es stimmt zwar, dass (2,3,5) nicht zur Bildmenge
> > gehört, aber Deine Begründung hat nix mit Mathematik zu
> > tun.
> Okay da hab ich mich Falsch ausgedrückt Ich meinte
> (2,5,3) und wollte drauf hinaus das die 5 nicht in der
> Definitionmenge ist.
Wie soll sie auch. Die Elemente der Definitionsmenge sind Zahlenpaare, keine Zahlen. Es kann also schon von daher keine einzige reelle Zahl Element der Menge [mm] \IR^2 [/mm] sein!
Aber: das hat mit deinen begrifflichen Schwierigkeiten noch nicht wirklich zu tun. Du verquickst bzw. vergleichst irgendwie Definitions- und Zielmenge, und das ist offensichtlich der Kardinalfehler.
Nehmen wir mal ein Beispiel. Es sei
F:={rot, grün, blau}
die Menge der sog. Grundfarben bzg. der additiven Farbmischung. Jetzt betrachten wir eine Funktion f: [mm] \IN\to [/mm] F mit
[mm]f(n)=\begin{cases} \text{rot}, & \textrm{für n ist Primzahl} \\ \text{grün}, & \textrm{für n ist gerade und größer als 2}\\ \text{blau}, & \textrm{n ist ungerade aber keine Primzahl} \end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist nicht injektiv, da man sich leicht klarmacht, dass alle Farbwerte unendlich oft auftreten. Aber sie ist surjektiv, denn jeder der drei Farbwerte kommt auch tatsächlich als Funktionswert vor. Diese Funktion besitzt übrigens keinerlei Sinn, ich habe sie mir gerade ausgedacht. Sie ist einfach nur surjektiv und es besteht hier offensichtlich keinerlei Möglichkeit, Definitions- und Zielmenge durcheinander zu bringen.
Für deine ursprüngliche Funktion bedeutet das: mache dir irgendwie klar, weshalb deine Funktionsvorschrift
f(x,x)=(x,x+y,y)
nicht jedes beliebige reelle Zahlentripel (a,b,c) zurückliefern kann. Wie, das habe ich dir ja schon geschrieben.
Fassen wir nochmals zusammen: wenn f surjektiv wäre, dann müsste sich für jedes beliebige Zahlentripel (a,b,c) mindestens ein Zahlenpaar (x,y) finden lassen, so dass
f(x,y)=(a,b,c)
gilt.
Abschließend nochmal ein Beispiel. Hier kannst du dir jetzt versuchen klarzumachen, ob du es jetzt verstanden hast. Wir betrachten im folgenden durchgehend [mm] x\mapsto{x^2} [/mm] als Funktionsvorschrift:
i). [mm] f_1: \IR\to\IR
[/mm]
Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv
ii). [mm] f_2: \IR_{\ge 0}\to\IR
[/mm]
Diese Funktion ist injektiv aber nicht surjektiv
iii). [mm] f_3: \IR\to\IR_{\ge 0}
[/mm]
Diese Funktion ist nicht injektiv, aber surjektiv
iv). [mm] f_4: \IR_{\ge 0}\to\IR_{\ge 0}
[/mm]
Diese Funktion ist injektiv und surjektiv, und das nennt man dann per Definition bijektiv.
Nur die letzte Funktion ist umkehrbar, alle anderen nicht (das ganz nebenbei).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Do 01.02.2018 | | Autor: | LeFlair |
> So, und nun zurück zur Ausgangsproblematik. Es ist bis auf
> eine Ausnahme ganz offensichtlich unmöglich, dass deine
> Funktion Werte der Form f(x,y)=(a,a,a) annimmt. Das klappt
> für f(0,0)=(0,0,0), jedoch in keinem weiteren Fall. Also
> ist etwa das Tripel (1,1,1) ein Gegenbeispiel, da es kein
> Zahlenpaar (x,y) gibt, so dass f(x,y)=(1,1,1). Das kannst
> du nun selbst leicht nachrechnen!
Surjektiv:
$(1,1) [mm] \in \IR^{2}$
[/mm]
$(1,1,1)$ [mm] \in \IR^{3}
[/mm]
$f(1,1)=(1,1,1)$
$f(1,1)=(1,2,1) =(1,1,1)$
[mm] \Rightarrow [/mm] $1=1$
[mm] \Rightarrow [/mm] $2 [mm] \not= [/mm] 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] $1 = 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] Erfüllt nicht die Bedingung, nicht Surjektiv
Kann Ich das so beweisen? Wenn ein gegenbeispiel reicht!?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > So, und nun zurück zur Ausgangsproblematik. Es ist bis auf
> > eine Ausnahme ganz offensichtlich unmöglich, dass deine
> > Funktion Werte der Form f(x,y)=(a,a,a) annimmt. Das klappt
> > für f(0,0)=(0,0,0), jedoch in keinem weiteren Fall. Also
> > ist etwa das Tripel (1,1,1) ein Gegenbeispiel, da es kein
> > Zahlenpaar (x,y) gibt, so dass f(x,y)=(1,1,1). Das kannst
> > du nun selbst leicht nachrechnen!
> Surjektiv:
> [mm](1,1) \in \IR^{2}[/mm]
> [mm](1,1,1)[/mm] [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> [mm]f(1,1)=(1,1,1)[/mm]
> [mm]f(1,1)=(1,2,1) =(1,1,1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]1=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]2 \not= 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]1 = 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Erfüllt nicht die Bedingung, nicht Surjektiv
> Kann Ich das so beweisen? Wenn ein gegenbeispiel reicht!?
nicht wirklich. Du kannst ja nicht einfach von einem Element des Urbilds ausgehen.
Wir vermuten also, dass (1,1,1) nicht im Bild von f liegt. Das prüfen wir mit dem folgenden LGS:
[mm]\begin{aligned}
x=1\\
x+y=1\\
y=1\\
\end{aligned}[/mm]
Man braucht ja hier gar nichts zu rechnen: die Lösungsmenge dieses LGS ist leer, weil mit x=y=1 die zweite Gleichung nicht erfüllt ist. Es gibt also kein Paar (x,y) mit f(x,y)=(1,1,1) - fertig.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 31.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie [mm]f: \IR^{2} \to \IR^{3}, (x,y) \mapsto (x, x+y, y)[/mm],
> auf Surjektivität und Injektivität.
> Hallo,
> Die Abbildung ist schonmal nicht Surjektiv, aber Injektiv.
> Für die Injektivität müssen ja alle Elemente aus
> [mm]\IR^{2}[/mm] einem Element aus [mm]\IR^{3}[/mm] zugeordnet sein. In
> meinen Augen geht x+y einfach leer aus, also ohne Urbild.
> Nur wie gehe ich mit dem x+y in meinem Beweis um?
Wie mein Vorredner schon bemerkt hat, ist Deine Vorstellung von Injektivität völlig falsch.
Wenn Du lineare Algebra verwenden darfst, kannst du es so machen:
f ist eine lineare Abbildung.
Wenn der Kern von f nur aus dem Nullvektor besteht, ist f injektiv. Zeige, dass dem so ist.
Mit dem Rangsatz kannst du dann leicht zeigen, dass f nicht surjektiv ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 31.01.2018 | | Autor: | LeFlair |
Bis zu Lineare Algebra ist der Prof mit dem Skript nicht gekommen. Somit fällt es weg.
|
|
|
|
