Untersuchen von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 03.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Seien a, b [mm]\in\IR[/mm] und F die Menge aller auf [mm]\IR[/mm] definierten reellwertigen Funktionen f : [a, b] [mm]\to\IR[/mm]. Für jede
Wahl von f und g aus F werde die Summe f+g : [a, b][mm]\to\IR[/mm] für jedes x[mm]\in\IR[/mm] gemäß (f+g)(x) := f(x)+g(x),
und für jedes [mm]\alpha\in\IR[/mm] ein [mm]\alpha[/mm] -faches [mm]\alpha[/mm]f von f als die Abbildung [mm]\alpha[/mm]f : [a, b][mm]\to\IR[/mm] gemäß ([mm]\alpha[/mm]f)(x) := [mm]\alpha[/mm] f(x)
definiert. Dann ist F mit der definierten Addition und Vielfachbildung ein [mm]\IR[/mm]-Vektorraum. Untersuchen
Sie, ob die Menge S aller stetigen Funktionen aus F einen [mm]\IR[/mm] Vektorraum bildet.
Hallo,
kann mir jemand helfen wie ich hier vorgehen soll? Weiß gerade garnicht was man von mir will.
Ich habe auch nicht das Gefühl das ich da etwas passendes aus meinem Hefter zuordnen kann.
Vielleicht bei (f+g)(x) := f(x)+g(x) as Assoziativgesetz nachweisen oder/und as inverse un das neutrale Element und die Abgeschlossenheit? Aber was soll ich dann damit ([mm]\alpha[/mm]f)(x) := [mm]\alpha[/mm] f(x)??
Hat von euch jemand eine Idee?
Schönen Abend noch
Maria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Maria,
> kann mir jemand helfen wie ich hier vorgehen soll? Weiß
> gerade garnicht was man von mir will.
Zunächst einmal ist da eine Menge F definiert. Sie besteht aus den Funktionen [mm] $[a,b]\to\IR$. [/mm] Zwei typische Elemente von F wären z.B.
[mm] $f\colon[a,b]\to\IR, f(x)=e^x$ [/mm] und
[mm] $g\colon[a,b]\to\IR, g(x)=\sin(x)$.
[/mm]
Dann ist zu je zwei Funktionen [mm] $f,g\in [/mm] F$ eine neue Funktion von $f+g$ definiert. Im obigen Beispiel wäre
[mm] $f+g\colon[a,b]\to\IR, (f+g)(x)=e^x+\sin(x)$.
[/mm]
Ebenso ist für [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] und [mm] $f\in [/mm] F$ eine neue Funktion [mm] $\alpha\cdot [/mm] f$ definiert. Für [mm] $\alpha=5$ [/mm] und $f$ wie im obigen Beispiel wäre z.B.
[mm] $\alpha\cdot f\colon[a,b]\to\IR, (\alpha\cdot f)(x)=5\cdot e^x$.
[/mm]
Nun soll gezeigt werden, dass F mit diesen beiden Festlegungen einen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] bildet. Die Vektoren dieses Vektorraumes sind also die Funktionen [mm] $[a,b]\to\IR$, [/mm] z.B. wären also obige Funktionen $f$ und $g$ Vektoren.
> Ich habe auch nicht das Gefühl das ich da etwas passendes
> aus meinem Hefter zuordnen kann.
Du benötigst die Definition eines [mm] $\IR$-Vektorraumes [/mm] (oder allgemeiner eines $K$-Vektorraumes).
> Vielleicht bei (f+g)(x) := f(x)+g(x) as Assoziativgesetz
> nachweisen oder/und as inverse un das neutrale Element und
> die Abgeschlossenheit?
Das gehört unter anderem dazu.
> Aber was soll ich dann damit
> ([mm]\alpha[/mm]f)(x) := [mm]\alpha[/mm]f(x)??
Gucke in der Definition eines Vektorraumes nach, welche Axiome ein Vektorraum genau erfüllen muss und poste sie hier mal. Dann gilt es, diese Axiome Axiom für Axiom durchzugehen und für $F$ nachzurechnen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 07.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo Danke schon mal für die Hilfe.
Ich jetzt geschaut, dass das Distributivgesetzt gilt, die Vielfachbildung gilt -> also somit die Abgeschlossenheit
-> das neutrale Element und das inverse Element gezeigt
reicht das?
Gruß Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mo 07.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass F ein VR ist steht ja schon da! das darfst du also benutzen. du sollst zeigen dass S ein VR ist. da S eine Teilmenge von F ist gelten die Ges. Wie Ass. und Distr. sowieso: also musst du doch nur noch das Inverse und das neutrale El. zeigen.und dabei die Eigenschaft - Stetigkeit- benutzen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 07.11.2011 | | Autor: | APinUSA |
Dankeschön, ich hab mir die Nachweise dazu mal rausgesucht.
Gruß Maria
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mo 07.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
danke an leduart für den Hinweis und ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") an Maria! Ich habe die Aufgabenstellung falsch verstanden.
Viele Grüße
Tobias
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