Untersuchung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Beckx |
| Aufgabe | Welche der folgenden Summen sind konvergent?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}
[/mm]
B) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{ln(n!)}{n^{2}} [/mm] |
Hallo,
durch krankheitsbedingten Ausfall habe ich leider einige Vorlesungen an der Uni verpasst und habe nun arge Probleme bei dieser Aufgabe.
Kann mir jemand einen Tip geben wie ich sie lösen könnte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Beckx |
Hallo,
erstmal danke für die Antwort.
Mit dem Quotientenkriterium habe ich es probiert bevor ich die Frage hier in das Forum geschrieben habe. Aber auf diesem Weg kam ich auf kein Ergebnis was mir weitergeholfen hätte.
Beispiel Aufgabe a) mit Quotientenkriterium:
[mm] \vmat{ \bruch{x_{n+1}}{x_{n}}} \le [/mm] q < 1
Eingesetzt und umgeformt komm ich auf das hier:
[mm] \bruch{((n+1)!)^{2} * (2n)!}{(2(n+1)!) * (n!)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!* (2n)!}{2* (n!)^{2}}
[/mm]
(korrigier mich bitte wenn das falsch ist)
Hier komm ich nicht weiter, da ich nicht sehe wo ich den Term noch weiter kürzen könnte.
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Hallo,
den Bruch
> [mm]\bruch{((n+1)!)^{2} * (2n)!}{(2(n+1)!) * (n!)^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!* (2n)!}{2* (n!)^{2}}[/mm]
kann man schon noch kürzen. Beispielsweise ist (n+1)!=(n+1)n! und schon kann man wieder kürzen. Ob der Quotient dann größer oder kleiner Null ist, kann man leicht überschauen.
Viel Erfolg noch,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Beckx |
Ok danke erstmal, Aufgabe a) hat sich nun erledigt
Aber nun hänge ich an Aufgabe b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{ln(n!)}{n^{2}}
[/mm]
Mit dem Wurzel und Quotientenkriterium komme ich auf keine passende Lösung. Hat jemand einen Ansatz?
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Hallo,
ich würde wieder das Quotientenkriterium benutzen. Den Logarithmus eines Produktes (was ja die Fakultät ist) kann man auch als Summe der Logarithmen schreiben. Dann noch die Summen so schreiben, dass sie gleiche Grenzen haben und schon kann man wieder kürzen. Mal in Formeln:
[mm] \(\ln(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}\ln(i)=\ln(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\ln(i)\)
[/mm]
Viel Erfolg,
Roland.
PS: Bei mir konvergiert die Folge gegen 1. Weiß aber nicht genau, ob ich einen Fehler gemacht habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Beckx |
Ok ich muss ehrlich sagen das ich dir nicht ganz folgen kann.
> Den Logarithmus eines Produktes (was ja die Fakultät ist) kann
> man auch als Summe der Logarithmen schreiben.
Das versteh ich.
> [mm]\(\ln(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}\ln(i)=\ln(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\ln(i)\)[/mm]
Das versteh ich nicht mehr.
Wie setzt du das in die Gleichung der Aufgabe ein? Und was kürzt du da?
mfg Beckx
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Hallo,
dann nochmal etwas ausführlicher: Quotientenkriterium
[mm] \(\frac{\ln((n+1)!)*n^2}{(n+1)^2*\ln(n!)\}\)
[/mm]
Dann den Logarithmus der Fakultäten ersetzen:
[mm] \(\frac{\left(\ln(n+1)+\sum_{i=1}^{n}\ln(i)\right)*n^2}{(n+1)^2*\sum_{i=1}^{n}\ln(i)}\)
[/mm]
Nun die Klammer auflösen:
[mm] \(\frac{n^2*\ln(n+1)+n^2*\sum_{i=1}^{n}\ln(i)}{(n+1)^2*\sum_{i=1}^{n}\ln(i)}\)
[/mm]
Das kann man als Summe von zwei Brüchen mit dem gleichen Nenner schreiben und dann kürzen.
Viel Erfolg dabei,
Roland.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:02 Mo 30.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe meine Mitteilung
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 30.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm]\bruch{((n+1)!)^{2} * (2n)!}{(2(n+1)!) * (n!)^{2}}[/mm] =
[mm]\bruch{(n+1)!* (2n)!}{2* (n!)^{2}}[/mm]
stimmt nicht!)
für n+1 steht im Nenner nich 2*((n+1)!) sondern (2n+2)!
und dann kann man nicht so kürzen.
aber dass man weiter kürzen kann ist richtig
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mo 30.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Stimmt!
Den kleinen Fehler hab ich übersehen, da ich ihn als Tippfehler ansah und nicht weiter verfolgte. Aber Danke für die Korrektur.
Mit freundlichem Gruß,
Roland.
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Quotientenkriterium
