Untersuchung auf konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 05.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | a) Untersuche die Funktionenfolge [mm] (f_n:[-1,1] \to \IR)_n_ \ge_1 [/mm]
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{x^2}{(1+x^2)^k} [/mm] auf
punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
b) Untersuche die Reihe von Funktionen [0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (-1)^k \bruch{x}{(x+k)}
[/mm]
auf punktweise und absolute Konvergenz.
c) Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen [mm] f_n:[0,1] \to \IR, [/mm] die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert,
obwohl [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} max_x_ \in_[_0_,_1_]f_n(x) [/mm]
= [mm] \infty.
[/mm]
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Hi, ich habe zu der Aufgabe einige Fragen:
zu a)
Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz: [mm] |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] ist klar.
Aber Nachweis der punktweisen Konvergenz verstehe ich nicht. In einem Buch habe ich gefunden: [mm] "...|f_n(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] , d.h. für jedes x UND für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >o muß es eine natürliche Zahl N geben, sodass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt [mm] f_n(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] gilt." Das verstehe ich überhaupt nicht. Was muß ich beim untersuchen auf punktewie Konvergenz anders machen gegenüber Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz???
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zu c:
Mit dem Ausdruck max... unter dem limes kann ich nichts anfangen.
Ich kann auch nicht erkenne, dass ein Zusammenhang
zwischen Aufg. c) und den Aufg. a) +b) besteht.
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Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Ich bedanke mich für deine Mühe im Voraus.
Viele Grüße didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Do 06.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Zu a)
Gleichmäßige Konvergenz heißt, dass es für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm]ein (von x unabhängiges) N gibt, so dass für alle x und alle n>N [mm] |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon [/mm] gilt.
Der Unterschied zur punktweisen Konvergenz ist, das bei dieser das N auch noch von x abhängen darf, das heißt, wenn du ein x und ein [mm] \varepsilon [/mm] vorgibst, dann fidest du ein [mm] N=N(x,\varepsilon) [/mm] so dass für alle n>N gilt: [mm] |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon [/mm].
Das ist ein wesentlicher Unterschied, wie die Aufgabe wohl herausstellen soll, offenbar impliziert die gleichmäßige zwar die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt.
(Bem: Das definitionsintervall sollte hier offen sein i.e. (-1,1) statt [-1,1], sonst macht die Aufgabe keinen Sinn.)
Zu c) Hier nimmtst du von jedem [mm]f_n [/mm] erst das Maximum [mm] M_n [/mm] über das ganze Intervall (das ist kompakt, daher existiert ein max), und betrachtest dann den Limes der von den [mm] M_n [/mm] gebildeten Folge reeller Zahlen.
Zum lösen von c) werden die anderen Teilaufgaben nicht besonders hilfreich sein, Sinn der Übung ist es Einige Eigenarten der Punktweien Konvergenz heraus zu stellen.
Viele Grüße
Peter
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