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ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
liebe mitglieder, ich hänge mal wieder an einer aufgabe fest und komme nicht weiter.
die aufgabe lautet: [mm] f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{4tx}{(x^2-t)^2} [/mm]
a) größtmögliche def.-menge für t=4, Symmetrie, Asymptoten, Extrem- und Wendestellen.
b)größtmögliche def.-menge [mm] f_t, [/mm] Extremstellen in Abhängigkeit von t, für welche wertde von t hat k senkrechte asymptoten?
c) t>0 bestimmen sie die gleichung der tangente [mm] g_t [/mm] an [mm] f_t [/mm] in O [mm] (0\0). P_t [/mm] ist der im 1. feld liegene schnittunkt von [mm] g_t [/mm] mit [mm] f_t. [/mm] Für welchen wert von t ist die länge er strecke OP minimal
d)t>0 die kurve,die tangente,die x-achse und die gerade mit x=u mit u> [mm] \wurzel{2t}begrenzen [/mm] im 1.feld eine fläche berechnen sie den inhalt [mm] A_t(u) [/mm] dieser fläche. Bestimmen sie [mm] \limes_{u\rightarrow\infty} A_t(u)
[/mm]
für a) [mm] f_4(x) [/mm] = [mm] \bruch{16x}{(x^2-4)^2} [/mm]
D = x e R bis auf 2 und -2
Symmetrie: die x-Achse ist die Symmetrieachse
Asymptoten: x = [mm] \pm [/mm] 2
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{16x}{(x^2-4)^2} [/mm] -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\- infty} \bruch{16x}{(x^2-4)^2} [/mm] -> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\2} \bruch{16x}{(x^2-4)^2} [/mm] -> infty
[mm] \limes_{x\rightarrow\-2} \bruch{16x}{(x^2-4)^2} [/mm] -> - infty
Extrema: X= [mm] \wurzel{-1 \bruch{1}{3}} [/mm] -> keine extrema
Wendestellen: w(0/0)
für b) D= x e R bis auf [mm] \pm \wurzel{t}
[/mm]
Extrema: x = [mm] \wurzel{ \bruch{-1}{3 }*t} [/mm] für t<0
wenn t = [mm] x^2, [/mm] dann senkrechte asymptote
für c) Tangente: y= [mm] \bruch{4}{t^2} [/mm] * x
Wie berechne ich nun, für welchen wert von t die strecke minimal ist?
lg, anna
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okay, hab´s kapiert;)
f(-x) = - [mm] \bruch{16x}{(x^2-4)} [/mm] = - f(x) -> also punktsymmetrie zum ursprung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> f(-x) = - [mm]\bruch{16x}{(x^2-4)}[/mm] = - f(x) -> also
> punktsymmetrie zum ursprung?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Da fehlt nur noch das Quadrat im Nenner hinter der Klammer!
Gruß
Loddar
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das versteh ich irgenwie nicht ganz....denn wenn t= [mm] x^2, [/mm] dann ergibt der nenner doch null, sonst nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Anders herum: für welche Werte von $t_$ kannst Du für $x_$ Nullstellen des Nenners in [mm] $\IR$ [/mm] erreichen?
Angenommen $t \ = \ -1$ . Gibt es für diesen Wert Nullstellen des Nenners?
Und wie sieht es mit $t \ = \ [mm] \red{+}1$ [/mm] aus?
Gruß
Loddar
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Angenommen t=-1 . Gibt es für diesen Wert Nullstellen des Nenners?
-> nein dafür gibt es keine nullstellen, weil x dann -1 ergeben müsste und das x immer quadiert wird, geht es nicht: [mm] ((-1)^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] = 4
Und wie sieht es mit t = 1 aus?
wenn t= 1, dann kann der nenner 0 werden, wenn dann x=1.
ist das alles?
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es heißt, dass für negative t-werte der nenner nicht 0 ergeben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Tina!
> es heißt, dass für negative t-werte der nenner nicht 0
> ergeben kann.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
> c) t>0 bestimmen sie die gleichung der tangente [mm]g_t[/mm] an
> [mm]f_t[/mm] in O [mm](0\0). P_t[/mm] ist der im 1. feld liegene schnittunkt
> von [mm]g_t[/mm] mit [mm]f_t.[/mm] Für welchen wert von t ist die länge er
> strecke OP minimal
> für c) Tangente: y= [mm]\bruch{4}{t^2}[/mm] * x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier habe ich erhalten: [mm] $g_t(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{t}*x$
[/mm]
> Wie berechne ich nun, für welchen wert von t die strecke
> minimal ist?
Hast Du denn nun die beiden Koordinaten von [mm] $x_P$ [/mm] und [mm] $y_P$ [/mm] des zweiten Schnittpunktes ermittelt?
Und hier berechnen wir mit dem Pythagoras den Abstand zum Ursprung:
$d \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_P-0\right)^2 + \left(y_P-0\right)^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x_P^2 + y_P^2 \ }$
[/mm]
Dieser Abstand ist nun noch von $t_$ abhängig; und für diese Funktion $d(t)_$ müssen wir nun eine Extremwertberechnung durchführen.
Zur Vereinfachung betrachten wir hier aber:
$f(t) \ = \ [mm] d^2(t) [/mm] \ = \ [mm] x_P^2 [/mm] + [mm] y_P^2$
[/mm]
Damit umgehen wir die Ableitung der Wurzel. Dies ist zulässig, da die Wurzelfunktion auch für minimale Argumente minimale Funktionswerte erzeugt (streng monoton steigend).
Kontrollergebnis (ohne Gewähr): $t \ = \ 4$
Gruß
Loddar
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ok, habe die tangentengleichung nochmal nachgerechnet, kommt jetzt [mm] \bruch{4}{t} [/mm] raus.
als schnittpunkt im 1.feld erhalte ich [mm] S(\wurzel{2t} [/mm] / [mm] \bruch{4t-\wurzel{2t}}{t^2}
[/mm]
und weiter:
[mm] d^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
[mm] d^2' [/mm] = 2x+2y oder?
also: [mm] d^2' [/mm] = 2* ( [mm] \wurzel{2t} [/mm] + [mm] \bruch{4t-\wurzel{2t}}{t^2})
[/mm]
und das ist dann der minimale abstand?
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$f(t) \ = \ [mm] \left(\wurzel{2t}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{4}{t}\cdot{}\wurzel{2t}\right)^2 [/mm] \ = 2t + [mm] \left(\bruch{4*\wurzel{2t}}{t}\right)^2$
[/mm]
f'(t) = [mm] \bruch{2 + 2(\bruch4*\wurzel{2t}{t})^2 * 1/2 (2t)^-1/2*t - 4*\wurzel{2t}*1}{t^2}
[/mm]
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen ...
> [mm]f(t) \ = \ \left(\wurzel{2t}\right)^2 + \left(\bruch{4}{t}\cdot{}\wurzel{2t}\right)^2 \ = 2t + \left(\bruch{4*\wurzel{2t}}{t}\right)^2[/mm]
Multipliziere hier doch auch die hintere Klammer aus, dann sieht das schon viel einfacher aus:
$... \ = \ 2t + [mm] \bruch{16*2t}{t^2} [/mm] \ = \ 2t + [mm] \bruch{32}{t} [/mm] \ = \ 2t + [mm] 32*t^{-1}$
[/mm]
Wie lautet nun die erste Ableitung $f'(t)_$ ?
Gruß
Loddar
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f(t)= [mm] (\wurzel{2t})^2 [/mm] + [mm] (\bruch{4*\wurzel{2t}}{t}
[/mm]
= 2t + [mm] \bruch{16*2t}{t^2}
[/mm]
= 2t + [mm] \bruch{32t}{t^2}
[/mm]
= 2t + [mm] \bruch{32}{t} [/mm] = 2t + t^-1
f'(t)= 2 - 32*t^-2 = 2- [mm] \bruch{32}{t^2}
[/mm]
jetzt muss ich die erste abl. = 0 setzen:
f'(t) = 0
0 = 2 - [mm] \bruch{32}{t^2}
[/mm]
und dann erhalte ich t= [mm] \pm [/mm] 4 (ich nehme t = 4, da der wert größer 0 ist und ich das minimum brauche)
ich hoffe, das stimmt;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
Alles richtig (bis auf ein/zwei Tippfehler abgesehen)!
Nun muss man noch mit der 2. Ableitung überprüfen, über welche Art Extremwert es sich handelt (hinreichendes Kriterium).
Zudem sollte man dann auch die kürzeste Entfernung (sprich: den Funktionswert [mm] $d(t_E) [/mm] \ = \ d(4) \ = \ ...$ ) berechnen.
Gruß
Loddar
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okay, also wenn ich die entfernung berechnen will, dann bekomm ich nachher für d=4 raus. die kürzeste strecke ist also 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
> die kürzeste strecke ist also 4?
Genau richtig so!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
Kontrollergebnis für Aufgabe d.) (ohne Gewähr, daher unbedingt nachrechnen!) :
[mm] $A_t(u) [/mm] \ = \ 6 - [mm] \bruch{2t}{u^2-t}$
[/mm]
[mm] $\limes_{u\rightarrow \infty}A_t(u) [/mm] \ = \ 6$
Gruß
Loddar
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ich weiß gar nicht, wie ich an ie aufgabe rangehen soll. ich soll ja den inhalt [mm] A_t(u) [/mm] berechnen. dazu muss ich integrieren oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hello again ...
> ich soll ja den inhalt [mm]A_t(u)[/mm] berechnen. dazu muss ich
> integrieren oder?
Genau! Du musst die Fläche in zwei Teilintegrale unterteilen.
Zum einen in den Grenzen von $0_$ bis [mm] $\wurzel{2t}$ [/mm] unterhalb der Tangente [mm] $g_t(x)$ [/mm] sowie von [mm] $\wurzel{2t}$ [/mm] bis $u_$ unterhalb der Funktion [mm] $f_t(x)$.
[/mm]
Hierfür musst Du mit dem Verfahren der Substitution integrieren.
Ansatz: $z \ := \ [mm] x^2-t$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Ich gehe jetzt in die Heia ... mein Wecker klingelt um 4:20h !!
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Also als erstes integriere ich [mm] \integral_{0}^{\wurzel{2t}} [/mm] {g(x) dx}
= [mm] [\bruch{4}{t^2} [/mm] * [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] ]
[mm] =[\bruch{4x^2}{2t^2}] =[\bruch{2x^2}{t^2}]= =\bruch{2}{t^2} [/mm] * [mm] [x^2]
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{t^2} [/mm] * (2t - 0) = [mm] \bruch{4t}{t^2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{t} [/mm]
und dann integriere ich [mm] \integral_{\wurzel{2t}}^{u} {f_t(x) dx}
[/mm]
aber wieso nehme ich [mm] f_t(x) [/mm] und wie integriere ich das? muss ich das mit [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = lnx integrieren?
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okay, jetzt habe ich für´s erste integral 4 rausbekommen mit der richtigen gradengleichung
und wenn ich jetzt z = [mm] x^2-t [/mm] und
z' = 2x habe,
dann weiß ich nicht, wie ich das integrieren muss. wir haben noch nie mit substitution integriert.
muss ich das vielleicht so machen:
[mm] \integral_{a}^{b} {(z)^2 * \bruch{1}{2x} * d_z}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
[mm] $\integral{\bruch{4t*x}{\left(\red{x^2-t}\right)^2} \ \blue{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{4t*x}{\red{z}^2} \ \blue{\bruch{dz}{2x}}} [/mm] \ = \ ...$
Nun kürzen ...
$... \ = \ [mm] \integral{\bruch{\red{2}t*\red{1}}{z^2} \ \bruch{dz}{\red{1}}} [/mm] \ = \ 2t * [mm] \integral{\bruch{1}{z^2} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] 2t*\integral{z^{-2} \ dz}$
[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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Okay..
dann erhalte ich jetzt : 2t * [-z^-1], aber was habe ich für grenzen?
muss ich denn vielleicht die erste grenze, also [mm] \wurzel{2t} [/mm] in [mm] z=x^2-t [/mm] einsetzen und die zweite auch?
dann würde ich als grenzen:
z=t und z= [mm] z^2-t [/mm] erhalten. sind das meine neuen grenzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tina!
> dann erhalte ich jetzt : 2t * [-z^-1]
> muss ich denn vielleicht die erste grenze, also [mm]\wurzel{2t}[/mm]
> in [mm]z=x^2-t[/mm] einsetzen und die zweite auch?
Hier gibt es nun zwei Wege, die man beschreiten kann:
1. auch die Grenzen ersetzen und in z-Werte umrechnen
(wie von Dir vorgeschlagen):
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{2t}$ $\Rightarrow$ $z_1 [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel{2t}\right)^2 [/mm] - t \ = \ 2t - t \ = \ t$
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ u$ [mm] $\Rightarrow$ $z_2 [/mm] \ = \ [mm] u^2 [/mm] - t$
2. Resubstitution:
Du ersetzt in der Stammfunktion das $z_$ wieder durch [mm] $x^2-t$ [/mm] und kannst die alten Grenzen [mm] $\wurzel{2t}$ [/mm] bzw. $u_$ einsetzen.
Auf jeden Fall führen beide Wege zum Ziel ...
Gruß
Loddar
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bei der resubstitution erhalte ich dann ja
[mm] \integral_{\wurzel{2t}}^{u} {(x^2-t)^2 dx} [/mm] = 2t * [mm] [\bruch{x^3}{3} [/mm] - tx] = 2t * [mm] [(\bruch{u^3}{3}-tu) [/mm] - [mm] (\bruch{\wurzel{2t}^3}{3} [/mm] - [mm] t*\wurzel{2t}] [/mm] =2t [ [mm] \bruch{u^3-3tu}{3} [/mm] - [mm] (\bruch{2t\wurzel{2t}-3t\wurzel{2t}}{3}) [/mm] = 2/3 t [ [mm] u^3 [/mm] - 3tu + [mm] t\wurzel{2t} [/mm] ]
oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Nein, da hast Du mich falsch verstanden ...
Du hattest ja richtig ermittelt:
[mm] $\integral{ ... } [/mm] \ = \ [mm] 2t*\left[ \ -z^{-1} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] 2t*\left[ \ - \bruch{1}{\red{z}} \ \right] [/mm] \ = \ ...$
Und hier ersetzen wir nun wieder $z_$ durch [mm] $x^2-t$ [/mm] und verwenden die alten Grenzen:
$... \ = \ [mm] 2t*\left[ \ - \bruch{1}{\red{x^2-t}} \ \right]_{\wurzel{2t}}^{u} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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[mm] 2t\cdot{}\left[ \ - \bruch{1}{\red{x^2-t}} \ \right]_{\wurzel{2t}}^{u}
[/mm]
= 2t* [- [mm] \bruch{1}{u^2-t} [/mm] - [mm] \bruch{-1}{2t-t}] [/mm]
= 2t* [- [mm] \bruch{1}{u^2-t} [/mm] + [mm] \bruch{1}{t}]
[/mm]
= [mm] \bruch{-2t}{u^2-t} [/mm] - 2
ist das dann mein ergebnis?
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