Untersuchung einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei f mit [mm] f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2) [/mm] mit a>0.
Untersuche die Funktion. Hierzu sollen folgende Punkte behandelt werden:
1. Ableitungen
2. Nullstellen
3. Extrema
4. Wendepunkte |
Hallo Leute,
Erstmal: Das ist ja nun sehr viel was ich geschrieben habe. Und ich befürchte, dass nicht all zu viele Leute die Zeit und oder Lust haben sich alles durchzulesen und eventuell zu verbessern. Es wäre schon super, wenn ihr euch vielleicht erstmal nur einen Punkt anschaut und mir ein Kommentar dazu schreibt.
Ich schreibe bald eine Klausur und übe deswegen jetzt ziemlich viel. Mein Problem ist nur, dass wir keine Löungen zum selbst überprüfen bekommen haben.
Deswegen wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr meine Aufgaben durchlesen könntet und mir die Fehler nennen könntet bzw. verbessern würdet.
Zu 1. Ableitungen
[mm] f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)
[/mm]
$ [mm] f'(x)=(4/9)\cdot{}(x^3)-(8/9)\cdot{}3a\cdot{}(x^2)+2\cdot{}2(a^2)\cdot{}x [/mm] $
[mm] f''(x)=(4/3)*(x^2)-(8/9)*6a*x+4*(a^2)
[/mm]
f'''(x)=(8/3)*x-(16/3)*a
Zu 2. Nullstellen
[mm] f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)
[/mm]
$ [mm] f(x)=x^2((1/9)\cdot{}x^2-(8/9)\cdot{}a\cdot{}x+2(a^2)) [/mm] $
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] (1/9)*x^2-(8/9)*a*x+2(a^2)=0 [/mm]
[mm] x^2- ((8/9)/(1/9))*a*x+(2/(1/9))*a^2=0
[/mm]
p/q-Formel:
[mm] x_{2/3}=\bruch{\bruch{8/9}{1/9}*a}{2}\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{0,79}{0,123}*a^2}{4}-\bruch{2}{0,1}*a^2})
[/mm]
[mm] x_{2/3}=4a\wurzel{(\bruch{6,4228}{4}*a^2)-(\bruch{2}{0,1}*a^2)}
[/mm]
[mm] x_{2/3}=4a\wurzel{a^2*(1,6057-18)}
[/mm]
a>0 --> keine weiteren Nullstellen außer x=0
zu 3. Extrema
[mm] f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)
[/mm]
$ [mm] f'(x)=(4/9)\cdot{}(x^3)-(8/9)\cdot{}3a\cdot{}(x^2)+2\cdot{}2(a^2)\cdot{}x [/mm] $
[mm] f'(x)=0,4*(x^3)-2,6*a*(x^2)+4*(a^2)*x
[/mm]
[mm] f'(x)=x(0,4*(x^2)-2,6*a*x+4*(a^2)
[/mm]
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x^2-\bruch{2,6}{0,4}*a*a+\bruch{4}{0,4}*(a^2)
[/mm]
p/q-Formel:
$ [mm] x_{2/3}=3,25a\pm\wurzel{(9\cdot{}(a^2))-(9\cdot{}(a^2)} [/mm] $
[mm] x_{2}=3,25a
[/mm]
Durch die erste Nullstelle [mm] x_{1}=0 [/mm] hat diese Funktion bei a>0 immer mindestens einen Tiefpunkt, denn in zweiten Ableitung eingesetzt kommt immer etwas postives heraus.
Aber was ist mit der zweiten Nullstelle x= 3,25a
Wie bekomme ich da ein Ergebnis heraus? Wenn ich mit dem Wert in der zweiten Ableitung x ersetze kommt ein weiterer positiver Wert bei a>0 raus, was ja nicht sein kann, weil dann, weil das ja hieße, dass es zwei Tiefpunkte gäbe.
Oder mache ich einen Denkfehler?
Zu 4. Wendepunkte:
[mm] f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)
[/mm]
[mm] f''(x)=(4/3)*(x^2)-(8/9)*6a*x+4*(a^2)
[/mm]
[mm] f''(x)=1,3*(x^2)-5.3*a*x+4a
[/mm]
[mm] x^2-4*a*x+3*a=0
[/mm]
p/q-Formel
[mm] x_{1/2}=-2a\pm\wurzel{4a-3a}
[/mm]
[mm] x_{1/2}=-2a\pm\wurzel{a}
[/mm]
f'''(x)=(8/3)*x-(16/3)*a
Es besteht ein Wendepunkt mit einer links-rechts-Krümmung
Vielen Dank schon jetzt jedem, der sich die Mühe macht und mir hilft!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 24.09.2006 | | Autor: | ccatt |
> Gegeben sei f mit
> [mm]f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)[/mm] mit a>0.
>
> Untersuche die Funktion. Hierzu sollen folgende Punkte
> behandelt werden:
>
> 1. Ableitungen
>
> 2. Nullstellen
>
> 3. Extrema
>
> 4. Wendepunkte
> Hallo Leute,
>
>
> Erstmal: Das ist ja nun sehr viel was ich geschrieben habe.
> Und ich befürchte, dass nicht all zu viele Leute die Zeit
> und oder Lust haben sich alles durchzulesen und eventuell
> zu verbessern. Es wäre schon super, wenn ihr euch
> vielleicht erstmal nur einen Punkt anschaut und mir ein
> Kommentar dazu schreibt.
>
> Ich schreibe bald eine Klausur und übe deswegen jetzt
> ziemlich viel. Mein Problem ist nur, dass wir keine Löungen
> zum selbst überprüfen bekommen haben.
> Deswegen wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr meine
> Aufgaben durchlesen könntet und mir die Fehler nennen
> könntet bzw. verbessern würdet.
>
>
> Zu 1. Ableitungen
>
> [mm]f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)[/mm]
richtig
> [mm]f'(x)=(4/9)\cdot{}(x^3)-(8/9)\cdot{}3a\cdot{}(x^2)+2\cdot{}2(a^2)\cdot{}x[/mm]
richtig
> [mm]f''(x)=(4/3)*(x^2)-(8/9)*6a*x+4*(a^2)[/mm]
richtig
> [mm]f'''(x)=(8/3)*x-(16/3)*a[/mm]
richtig
>
>
> Zu 2. Nullstellen
>
> [mm]f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)[/mm]
>
> [mm]f(x)=x^2((1/9)\cdot{}x^2-(8/9)\cdot{}a\cdot{}x+2(a^2))[/mm]
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
richtig
>
> [mm](1/9)*x^2-(8/9)*a*x+2(a^2)=0[/mm]
>
> [mm]x^2- ((8/9)/(1/9))*a*x+(2/(1/9))*a^2=0[/mm]
>
richtig
>
> p/q-Formel:
>
>
> [mm]x_{2/3}=\bruch{\bruch{8/9}{1/9}*a}{2}\pm\wurzel{(\bruch{\bruch{0,79}{0,123}*a^2}{4}-\bruch{2}{0,1}*a^2})[/mm]
>
>
> [mm]x_{2/3}=4a\wurzel{(\bruch{6,4228}{4}*a^2)-(\bruch{2}{0,1}*a^2)}[/mm]
>
> [mm]x_{2/3}=4a\wurzel{a^2*(1,6057-18)}[/mm]
>
>
> a>0 --> keine weiteren Nullstellen außer x=0
richtig, ich weiß zwar nicht so genau was du unter der Wurzel gerechnet hast, aber es kommen auf jeden Fall keine weiteren Nullstellen heraus
>
>
> zu 3. Extrema
>
> [mm]f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(4/9)\cdot{}(x^3)-(8/9)\cdot{}3a\cdot{}(x^2)+2\cdot{}2(a^2)\cdot{}x[/mm]
>
> [mm]f'(x)=0,4*(x^3)-2,6*a*(x^2)+4*(a^2)*x[/mm]
>
> [mm]f'(x)=x(0,4*(x^2)-2,6*a*x+4*(a^2)[/mm]
zwar richtig, aber ich würd hier auf keinen Fall runden
[mm] 0 = \bruch{4}{9}x^3 - \bruch{8}{3}ax^2 + 4a^2x[/mm]
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
richtig
>
> [mm]x^2-\bruch{2,6}{0,4}*a*a+\bruch{4}{0,4}*(a^2)[/mm]
>
> p/q-Formel:
>
> [mm]x_{2/3}=3,25a\pm\wurzel{(9\cdot{}(a^2))-(9\cdot{}(a^2)}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=3,25a[/mm]
da du gerundet hast kommt bei dir 3,25 a heraus, eigentlich müsste 3a herauskommen, rechne am besten nochmal nach ohne runden
>
> Durch die erste Nullstelle [mm]x_{1}=0[/mm] hat diese Funktion bei
> a>0 immer mindestens einen Tiefpunkt, denn in zweiten
> Ableitung eingesetzt kommt immer etwas postives heraus.
richtig, also >0, daraus folgt dass man einen Tiefpunkt hat
>
> Aber was ist mit der zweiten Nullstelle x= 3,25a
du musst mit 3a weiter rechnen
>
> Wie bekomme ich da ein Ergebnis heraus? Wenn ich mit dem
> Wert in der zweiten Ableitung x ersetze kommt ein weiterer
> positiver Wert bei a>0 raus, was ja nicht sein kann, weil
> dann, weil das ja hieße, dass es zwei Tiefpunkte gäbe.
>
> Oder mache ich einen Denkfehler?
>
>
>
> Zu 4. Wendepunkte:
>
> [mm]f(x)=(1/9)*(x^4)-(8/9)*a*(x^3)+2(a^2)*(x^2)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=(4/3)*(x^2)-(8/9)*6a*x+4*(a^2)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=1,3*(x^2)-5.3*a*x+4a[/mm]²
>
> [mm]x^2-4*a*x+3*a[/mm]²=0
du hast das ^2 bei a vergessen, ansonsten richtig, löse am besten nochmal nach x mit der p-q-Formel auf, da dir ja nun die ^2 unter der Wurzel fehlen
>
> p/q-Formel
>
> [mm]x_{1/2}=-2a\pm\wurzel{4a-3a}[/mm]
>
> [mm]x_{1/2}=-2a\pm\wurzel{a}[/mm]
>
>
> f'''(x)=(8/3)*x-(16/3)*a
>
>
> Es besteht ein Wendepunkt mit einer links-rechts-Krümmung
>
>
>
>
> Vielen Dank schon jetzt jedem, der sich die Mühe macht und
> mir hilft!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich hoffe meine Anmerkungen bringen dich weiter.
ccatt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 24.09.2006 | | Autor: | TryingHard |
Vielen, vielen Dank für deine Mühe.
Ist toll, ich habe es wohl mittlerweile echt verstanden. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 24.09.2006 | | Autor: | ccatt |
Ist doch super, wenn du es jetzt verstanden hast.
Dafür machen wir das doch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ccatt
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