Untersuchung einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 08.07.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Funktion f : [mm] \IR\to\IR [/mm] mit
x [mm] \mapsto f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\in\IQ \\ -x, & \mbox{für } x \not\in\IQ \end{cases}
[/mm]
auf Stetigkeit. |
ich habe mir folgendes überlegt.
Beh: f ist unstetig
Gegenbeweis:
f - stetig
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow a}f(x)=f(a)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 3}f(x)=3 \not= [/mm] -3 =f(3) (widerspruch)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist unstetig
|
|
| |
|
Diese Funktion ist an der Stelle 0 stetig, sonst unstetig.
Von deinen Ausführungen verstehe ich aber kein Wort. Weder ist in deinem "Beweis" klar, was vorausgesetzt noch was behauptet wird, noch ergeben deine Symbole einen Sinn. Was soll zum Beispiel dieses merkwürdige [mm]n[/mm]? Ist nicht [mm]x[/mm] die Variable der Funktion? Im übrigen existieren die Limites (außer an der Stelle 0) ja gar nicht.
Kurzum: unverständlich!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 08.07.2009 | | Autor: | eppi1981 |
ok dann so.
sei [mm] \epsilon>0 [/mm] an der stelle x=0
[mm] \sigma [/mm] := [mm] \epsilon [/mm]
[mm] |f(x)-f(0)|=|x|<\epsilon, [/mm] falls [mm] |x|<\sigma [/mm] und [mm] x\in\IQ [/mm] bzw. [mm] x\not\in\IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig in 0.
Wenn [mm] a\in\IQ, [/mm] sei [mm] 0<\epsilon<|a| [/mm]
[mm] |f(x)-f(a)|=|a|>\epsilon, [/mm] falls [mm] x\not\in\IQ \Rightarrow [/mm] f unstetig.
Wenn [mm] a\not\in\IQ, [/mm] sei [mm] 0<2\epsilon<|a| [/mm]
[mm] |x|=|a-(a-x)|\ge||a|-(a-x)|\ge|a|-|x-a|>2\epsilon-\epsilon=\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(a)|=|x|>\epsilon.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f unstetig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok dann so.
>
> sei [mm]\epsilon>0[/mm] an der stelle x=0
> [mm]\sigma[/mm] := [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]|f(x)-f(0)|=|x|<\epsilon,[/mm] falls [mm]|x|<\sigma[/mm] und [mm]x\in\IQ[/mm] bzw.
> [mm]x\not\in\IQ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig in 0.
Das kann man akzeptieren
>
> Wenn [mm]a\in\IQ,[/mm] sei [mm]0<\epsilon<|a|[/mm]
> [mm]|f(x)-f(a)|=|a|>\epsilon,[/mm] falls [mm]x\not\in\IQ \Rightarrow[/mm] f
> unstetig.
völlig unverständlich !
>
> Wenn [mm]a\not\in\IQ,[/mm] sei [mm]0<2\epsilon<|a|[/mm]
> [mm]|x|=|a-(a-x)|\ge||a|-(a-x)|\ge|a|-|x-a|>2\epsilon-\epsilon=\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |f(x)-f(a)|=|x|>\epsilon.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f
> unstetig
völlig unverständlich !
Sei [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
Fall 1: [mm] x_0 [/mm] = 0.
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = |x|$ für jedes x
f ist also stetig in [mm] x_0
[/mm]
Fall 2: [mm] x_0 \not= [/mm] 0.
Es gibt Folgen [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] in [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] mit
[mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n \to x_0
[/mm]
Dann :
[mm] $f(x_n) [/mm] = [mm] x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $f(y_n) [/mm] = [mm] -y_n \to -x_0$
[/mm]
f ist also in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig
FRED
|
|
|
|
