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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folrgenden Reihen mit dem Majorantenkriterium bzw. mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz bzw. Divergenz:
a) 1 + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] + ... |
Moin allerseits.
Ich hänge hier gerade an der Aufgabe und weiß einfach nicht ob eine Lösung so korrekt ist. Ich schreibe mal meine Lösung hin, korrigiert mich bitte wenn was nicht stimmt.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Das Majorantenkriterium besagt ja, dass man die zu untersuchende Reihe mit einer anderen abschätzen soll.
Hier würde sich ja [mm] \bruch{1}{n} [/mm] anbieten, wenn diese divergent ist, ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] erst recht divergent, da sie ja "größer" ist.
also muss ich doch jetzt von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] die Summe [mm] s_{n} [/mm] bestimmen und das mittels Quotientenkriteriums prüfen?!
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}*(a_{1}+a_{n}) [/mm] =>
[mm] \bruch{n}{2}*(1+\bruch{1}{n}) \gdw \bruch{1+n}{2}
[/mm]
Qut.Krit: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1+(n+1)}{2}}{\bruch{1+n}{2}} \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{2}{1+n} \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1} [/mm] => g = 2 >1 => divergent.
und somit ist auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] divergent!
Schonmal vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
Sich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Genau, damit hast du eine Minorante gefunden und damit divergiert deine ursprüngliche Reihe.
Beim Rechnen solltest du aufpassen !
Unabhängig davon, ob das QK richtig angewendet ist, muss es heißen :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1+(n+1)}{2}}{\bruch{1+n}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{2}{1+n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{1+n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+2}{n+1}
[/mm]
Dieser Ausdrück geht nach L'Hospital gegen 1 und damit erhältst du keine Aussagen über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe.
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Danke für Deine schnelle Antwort.
Jetzt habe ich aber doch noch eine Frage, du sagt, dass die Aufgabe richtig gelöst ist, dann verstehe ich jetzt nicht ganz worauf du hiermit hinaus willst:
> Unabhängig davon, ob das QK richtig angewendet ist, muss
> es heißen :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1+(n+1)}{2}}{\bruch{1+n}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{2}[/mm]
> * [mm]\bruch{2}{1+n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{1+n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+2)}{n+1}[/mm]
>
> Dieser Ausdrück geht nach L'Hospital gegen 1 und damit
> erhältst du keine Aussagen über die Konvergenz oder
> Divergenz der Reihe.
>
hier [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+(n+1)}{1+n} [/mm] kürzen sich doch das (1+n) im Nenner und Zähler weg, somit erhält man [mm] \bruch{1+1}{1} [/mm] = 2 oder verstehe ich da was falsch? Oder wolltest du nur warnen, das man aufpassen muss was man da verrechnet/ vereinfacht etc. pp?!
Danke und Gruß
Sich
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Halo!
> kürzen sich doch das (1+n) im Nenner und Zähler weg
Nein.
Wenn du die Summe kürzen willst, dann kannst du das so :
[mm] $\frac{1+(n+1)}{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{n+1}{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] + 1 $
> Oder wolltest du nur warnen, das man aufpassen muss was man da verrechnet/ > vereinfacht etc. pp?!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Ich verstehe nicht ganz dein Quotientenkriterium.
Du sollst eigt. zeigen, dass folgendes gilt :
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|>1\Rightarrow [/mm] Divergenz.
Und das sollst du nicht mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] tun sondern mit [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}.
[/mm]
MfG
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Danke kushkush.
Da hast du natürlich Recht.. das war ein sehr dummer Fehler meinerseits. Ich hocke schon zu lange vor Mathe glaub ich.
Aber Danke, jetzt komm ich auch auf richtige Weise auf g = 2.
> Ich verstehe nicht ganz dein Quotientenkriterium.
>
> Du sollst eigt. zeigen, dass folgendes gilt :
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|>1\Rightarrow[/mm] Divergenz.
>
> Und das sollst du nicht mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] tun sondern mit
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}.[/mm]
>
> MfG
Ich mache das mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm], da laut Aufgabenstellung: "Untersuchen Sie die Folgenden Reihen mit dem Majorantenkriterium[...]"
Also abschätzen mit einer anderen Reihe.
Danke für Eure Hilfe!
Gruß
Sich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Wenn du eine größere Reihe findest (Majorante), die konvergiert, dann würde deine ursprüngliche Reihe auch konvergieren.
Du hast aber eine Minorante gefunden.
[mm] \bruch{1}{\sqrt{n}}\ge\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann solltest du deine Reihe(!) mit dem Quotientenkriterium überprüfen und nicht deine Majorante oder Minorante.
Wenn es so wäre, dann wäre deine Argumentation auch falsch, denn du hast eine Minorante und keine Majorante.
MfG
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Das was du da schreibst ergibt für mich keinen Sinn, vielleicht verstehe ich es auch einfach nur nicht?!
wenn [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert also g > 1 ist,
dann divergiert auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] (also ist auch dort g > 1) da diese Reihe wie du schon selber gesagt hast [mm] \ge \bruch{1}{n} [/mm] ist.
Mein Dozenten hat in der Vorlesung zu exakt der gleichen Aufgabe folgendes geschrieben (Zitat aus Vorlesung):
Majorantenkriterium:
=> Abschätzen mit einer anderen Reihe.
Zum Beispiel [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
1; [mm] \bruch{1}{2}; \bruch{1}{3}; \bruch{1}{4} [/mm] ... -> divergent
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[mm] \vee
[/mm]
1; [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}; \bruch{1}{\wurzel{3}}; \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] ... -> erst recht divergent!
(Zitatende)
Gruß
Sich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Sa 06.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Natürlich ist [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}} [/mm] eine Majorante von [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Bei deiner Aufgabe solltest du jedoch [mm] \bruch{1}{\sqrt{n}} [/mm] untersuchen, d.h. du gehst davon aus und sucht seine Minorante, die du schon kennst und die divergiert, in dem Fall [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und du erhälst so eine Minorante. Deshalb auch das Minorantenkriterium.
MfG
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