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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Niente |
Guten Abend allerseits,
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume von V mit [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}= [/mm] V und [mm] U_{1} \cap U_{2}= [/mm] 0. (V heißt dann die direkte Summe von [mm] U_{1} [/mm] und U{2}. Schreibweise: [mm] V=U_{1}\oplus U_{2}).
[/mm]
(a) Zeigen Sie zu jedem v [mm] \in [/mm] V gibt es eindeutig bestimmtes [mm] u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2} [/mm] mit v= [mm] u_{1} [/mm] + [mm] u_{2}. [/mm]
Ich weiß überhaupt nicht, wie man so etwas beweisen soll. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen!
Liebe Grüße und besten Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Guten Abend allerseits,
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> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Untervektorräume
> von V mit [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}=[/mm] V und [mm]U_{1} \cap U_{2}=[/mm] 0. (V
> heißt dann die direkte Summe von [mm]U_{1}[/mm] und U{2}.
Du meinst [mm] $U_1 \cap U_2 [/mm] = [mm] \{ 0 \}$? [/mm] (Zumindest bis zu einem bestimmten Level sollte man schoen zwischen 0 und [mm] \{ 0 \} [/mm] unterscheiden  )
> Schreibweise: [mm]V=U_{1}\oplus U_{2}).[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie zu jedem v [mm]\in[/mm] V gibt es eindeutig
> bestimmtes [mm]u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}[/mm] mit v= [mm]u_{1}[/mm] +
> [mm]u_{2}.[/mm]
>
> Ich weiß überhaupt nicht, wie man so etwas beweisen soll.
> Ich hoffe, es kann mir jemand helfen!
Also einmal musst du zeigen, dass es ueberhaupt solche Vektoren [mm] u_1, u_2 [/mm] gibt, und dann das sie eindeutig sind.
Die Existenz folgt direkt aus einer der Voraussetzungen. (Weisst du welche?)
Nun nimmst du an, du hast $v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] = [mm] u_1' [/mm] + [mm] u_2'$ [/mm] mit [mm] $u_1, u_1' \in U_1$, $u_2, u_2' \in U_2$. [/mm] Dann kannst du ja mal [mm] $u_1 [/mm] - [mm] u_1' [/mm] = [mm] u_2 [/mm] - [mm] u_2'$ [/mm] betrachten. In welchem Untervektorraum liegt die linke Seite, in welchem die rechte Seite, und was fuer Beziehungen kennst du zwischen diesen beiden Vektorraeumen?
Wenn du nicht weiterkommst sag Bescheid.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hi Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
Folgt die Existenz der Vektoren [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] nicht schon aus der Aufgabenstellung selbst? schließlich gibt es die Untervektorräume [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] und die müssen dann ja auch Elemente haben (das entspricht der ersten Voraussetzung von Untervektorräumen U [mm] \not=\emptyset). [/mm]
Bei der Eindeutigkeit habe ich mir nun folgendes gedacht:
Angenommen
v = [mm] u_{1} [/mm] + [mm] u_{2} [/mm] = [mm] u_{1}' [/mm] + [mm] u_{2}' [/mm] mit [mm] u_{1}, u_{1}' \in U_{1}, u_{2}, u_{2}' \in U_{2} [/mm]
[mm] u_{1} [/mm] - [mm] u_{1}' [/mm] = - [mm] u_{2} [/mm] + [mm] u_{2}' [/mm]
[mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{1}' [/mm] sind Elemente aus [mm] U_{1}, [/mm] so auch die Differenz und [mm] u_{2} [/mm] und [mm] u_{2}' [/mm] Elemente aus [mm] U_{2}. [/mm] Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass dér Durschnitt der beiden Mengen bei 0 liegt, also müssen [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{1}' [/mm] gleich sein und [mm] u_{2} [/mm] und [mm] u_{2}' [/mm] gleich sein. stimmt das?
Danke schon einmal für deine Hilfe:) und einen schönen Abend /besser eine schöne Nacht dir noch;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo Niente,
> Folgt die Existenz der Vektoren [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] nicht schon
> aus der Aufgabenstellung selbst? schließlich gibt es die
> Untervektorräume [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] und die müssen dann ja
> auch Elemente haben (das entspricht der ersten
> Voraussetzung von Untervektorräumen U [mm]\not=\emptyset).[/mm]
Es folgt aus der Aufgabenstellung, aber nicht daraus: das besagt ja nur das es Vektoren gibt, die sich als [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2$ [/mm] darstellen lassen. Aber noch lange nicht, das sich alle Vektoren aus $V$ so darstellen lassen! Du weisst allerdings etwas ueber die Beziehung zwischen [mm] $U_1, U_2$ [/mm] und $V$...
> Bei der Eindeutigkeit habe ich mir nun folgendes gedacht:
>
> Angenommen
> v = [mm]u_{1}[/mm] + [mm]u_{2}[/mm] = [mm]u_{1}'[/mm] + [mm]u_{2}'[/mm] mit [mm]u_{1}, u_{1}' \in U_{1}, u_{2}, u_{2}' \in U_{2}[/mm]
>
> [mm]u_{1}[/mm] - [mm]u_{1}'[/mm] = - [mm]u_{2}[/mm] + [mm]u_{2}'[/mm]
> [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{1}'[/mm] sind Elemente aus [mm]U_{1},[/mm] so auch die
> Differenz und [mm]u_{2}[/mm] und [mm]u_{2}'[/mm] Elemente aus [mm]U_{2}.[/mm] Aus der
> Aufgabenstellung geht hervor, dass dér Durschnitt der
> beiden Mengen bei 0 liegt, also müssen [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{1}'[/mm]
> gleich sein und [mm]u_{2}[/mm] und [mm]u_{2}'[/mm] gleich sein. stimmt das?
Genau, das stimmt.
> Danke schon einmal für deine Hilfe:) und einen schönen
> Abend /besser eine schöne Nacht dir noch;)
Danke, dir auch noch einen schoenen Tag/ein schoenes Wochenende!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hi Felx:),
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei dem Existenzbeweis leider noch so meine Probleme...
Voraussetzung ist ja, das [mm] U_{1}+U_{2}=V [/mm] . V wird definiert als die "direkte Summe von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}. [/mm] Dann muss es doch auch Elemete aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] geben, deren Summe in V liegt, also [mm] u_{1}+u_{2}=v... [/mm] ich weiß nicht so recht, was/wie ich das eigentlich beweisen soll/kann... Wäre lieb, wenn du mir dabei nochmal helfen könntest;)
Danke im Voraus!!!!
Liebe Grüße Niente
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 05.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Hi Felx:),
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> vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei dem
> Existenzbeweis leider noch so meine Probleme...
> Voraussetzung ist ja, das [mm]U_{1}+U_{2}=V[/mm] . V wird definiert
> als die "direkte Summe von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}.[/mm] Dann muss es
> doch auch Elemete aus [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] geben, deren Summe in
> V liegt, also [mm]u_{1}+u_{2}=v...[/mm] ich weiß nicht so recht,
> was/wie ich das eigentlich beweisen soll/kann...
Du sollst zeigen: zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ gibt es [mm] $u_i \in U_i, \; [/mm] i=1,2$ mit $v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2$. [/mm] Und nicht dass es [mm] $u_i \in U_i$ [/mm] gibt mit [mm] $u_1 [/mm] + [mm] u_2 \in [/mm] V$ (das was du da oben schreibst hoert sich hiernach an).
Schau dir mal die Definition von [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] an: Das ist die Menge aller Vektoren~$v$, die sich als $v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2$ [/mm] schreiben lassen mit [mm] $u_i \in U_i, \; [/mm] i=1,2$. Nun ist $V = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2$, [/mm] also bedeutet das gerade: Jedes $v [mm] \in [/mm] V$ laesst sich (erstmal nicht notwendigerweise eindeutig!) schreiben als $v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2$ [/mm] mit [mm] $u_1 \in U_1$, $u_2 \in U_2$.
[/mm]
HTH & LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 06.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Felix,
aber ich habe doch damit noch nichts direkt bewiesen. Ich finde den Existenzbeweis wirklich schwierig. Es geht doch schon alles aus der Aufgabestellung an sich hervor.
Reicht es denn, wenn ich dazu folgendes schreibe:
Z.z: [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \exists u_{i} \in U_{i}, [/mm] i =1,2 mit [mm] v=u_{1} +u_{2}
[/mm]
v= [mm] u_{1} [/mm] + [mm] u_{2} [/mm] existiert, da nach Voraussetzung V die Menge aller Vektoren [mm] v\in [/mm] V ist, die sich durch [mm] u_{1}+u_{2} [/mm] darstellen lassen.
Vielen Dank für deine Antwort im Voraus!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Niente!
Bei der Existenz ist wirklich nichts zu zeigen. Schreibe einfach:
Da nach Voraussetzung
$V = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \{u_1+u_2\, :\, u_1\in U_1,\, u_2 \in U_2\}$
[/mm]
gilt, lassen sich alle $v [mm] \in [/mm] V$ als
$v = [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2$
[/mm]
mit [mm] $u_1 \in U_1$ [/mm] und [mm] $u_2 \in U_2$ [/mm] darstellen.
Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit dieser Darstellung.
Und dann schreibst du das hin, was du dir vorher dazu überlegt hast.
Der Clou hier ist wirklich die Eindeutigkeit, nicht die Existenz der Darstellung.
Liebe Grüße
Julius
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