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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 06.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo;),
ich komme bei den folgenden Teilaufgaben dieser Aufgabe nicht weiter:
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume von V mit [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}=V [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2}=0. [/mm] (V heißt die direkte Summe von [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2}. [/mm] Schreibweise: [mm] V=U_{1} \oplus U_{2}).
[/mm]
(b) Wir definieren p= [mm] p_{U_{1}, U_{2}}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V durch p(v):= [mm] u_{2}. [/mm] Zeigen Sie (i) p linear ist, (ii) p [mm] \circ [/mm] p= p, (iii) [mm] Kern(p)=U_{1}, [/mm] (iv) Bild [mm] (p)=U_{2}.
[/mm]
zu (i) p soll doch die Abb von V [mm] \to [/mm] V sein. z.z. ist, dass die Abb linear íst. D.h. f(x+y)=f(x)+f(y) und f(kx)= k f(x)
Wenn da steht p(v)= [mm] u_{2} [/mm] dann ist [mm] u_{2} [/mm] doch das Bild oder nicht? Ist [mm] p(v)=u_{2} [/mm] die Abbildung wie etwas f(x)=y?
Wie muss ich genau vorgehen?
(c) Sei n=dim(V) < [mm] \infty. [/mm] Zeigen Die, dass es eine Basis [mm] (v_{1},..., v_{n}) [/mm] von V gibt, so dass
[mm] (v_{1}, [/mm] ..., [mm] v_{n})
[/mm]
M (f) [mm] \in [/mm] M (n x n, K) die Form [mm] a_{ij}= [/mm] 1
[mm] (v_{1}, [/mm] ...., [mm] v_{n})
[/mm]
[mm] a_{ij}= [/mm] 1 falls i=j, 1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] r
0 sonst
Hier fehlt mir jeglicher Ansatz.
(d) Ein p [mm] \in [/mm] Hom (V,V) mit [mm] p\circ [/mm] p= p nennt man Projektor. Sei
M: = [mm] {(U_{1},U_{2})|U_{1}, U_{2} sind Untervektorräume von V mit U_{1}\oplus U_{2}=V}.Zeigen [/mm] Sie, dass die Abbildung
M [mm] \to [/mm] {p [mm] \in [/mm] Hom(V,V) | p ist Projektor}
[mm] (U_{1}, U_{2}) \mapsto p_{(U_{1},U_{2})} [/mm] bijektiv ist.
Auch hier kann ich leider keinen Lösungsvorschlag machen. Ich weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen! Vielen DAnk schon einmal Im Voraus!!!!!
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> Hallo;),
>
> ich komme bei den folgenden Teilaufgaben dieser Aufgabe
> nicht weiter:
> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Untervektorräume
> von V mit [mm]U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}=V[/mm] und [mm]U_{1} \cap U_{2}=0.[/mm] (V heißt
> die direkte Summe von [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}.[/mm] Schreibweise:
> [mm]V=U_{1} \oplus U_{2}).[/mm]
>
> (b) Wir definieren p= [mm]p_{U_{1}, U_{2}}:[/mm] V [mm]\to[/mm] V durch
> p(v):= [mm]u_{2}.[/mm] Zeigen Sie (i) p linear ist, (ii) p [mm]\circ[/mm] p=
> p, (iii) [mm]Kern(p)=U_{1},[/mm] (iv) Bild [mm](p)=U_{2}.[/mm]
Hallo,
ich glaube, daß sich vieles schon klärt, wenn Du die Abbildung verstehst.
Nach Voraussetzung ist ja V=U_! [mm] \oplus U_2.
[/mm]
Das bedeutet, daß man jedes x [mm] \in [/mm] V EINDEUTIG schreiben kann als [mm] x_1+x_2 [/mm] mit [mm] x_i \in U_i.
[/mm]
Was macht nun die Abbildung p? Sie projeziert auf [mm] U_2. [/mm] Es bleibt nur noch die 2. Komponente übrig.
D.h. für [mm] x=x_1+x-2 [/mm] mit [mm] x_i \in U_i
[/mm]
hat man [mm] p(x)=p(x_1+x_2)=x_2
[/mm]
i) Für die Linearitat nimm Dir [mm] x=x_1+x_2 [/mm] und [mm] y=y_1+y_2.
[/mm]
Es ist [mm] x+y=x_1+y_1+x_2+y_2.
[/mm]
Und anschließend betrachtest Du [mm] \alpha x=\alpha(x_1+x_2)=...
[/mm]
ii) ist ganz einfach. p(p(x))=...
iii) p(x)=0 ==>...
iv) " subseteq" ist sofort klar. Bleibt [mm] U_2 [/mm] substeq bildp.
>
> zu (i) p soll doch die Abb von V [mm]\to[/mm] V sein. z.z. ist, dass
> die Abb linear íst. D.h. f(x+y)=f(x)+f(y) und f(kx)= k
> f(x)
> Wenn da steht p(v)= [mm]u_{2}[/mm] dann ist [mm]u_{2}[/mm] doch das Bild
> oder nicht? Ist [mm]p(v)=u_{2}[/mm] die Abbildung wie etwas f(x)=y?
> Wie muss ich genau vorgehen?
>
>
> (c) Sei n=dim(V) < [mm]\infty.[/mm] Zeigen Die, dass es eine Basis
> [mm](v_{1},..., v_{n})[/mm] von V gibt, so dass
> [mm](v_{1},[/mm] ..., [mm]v_{n})[/mm]
> M (f) [mm]\in[/mm] M (n x n, K)
> die Form [mm]a_{ij}=[/mm] 1
> [mm](v_{1},[/mm] ...., [mm]v_{n})[/mm]
>
> [mm]a_{ij}=[/mm] 1 falls i=j, 1 [mm]\le[/mm] i, j [mm]\le[/mm] r
> 0 sonst
>
> Hier fehlt mir jeglicher Ansatz.
Guck hier:
[code]https://matheraum.de/read?t=111687&v=f [code]
>
> (d) Ein p [mm]\in[/mm] Hom (V,V) mit [mm]p\circ[/mm] p= p nennt man
> Projektor. Sei
> M: = [mm]{(U_{1},U_{2})|U_{1}, U_{2} sind Untervektorräume von V mit U_{1}\oplus U_{2}=V}.Zeigen[/mm]
> Sie, dass die Abbildung
> M [mm] \to [/mm] { p [mm] ]\in [/mm] Hom(V,V) | p ist Projektor }
> [mm](U_{1}, U_{2}) \mapsto p_{(U_{1},U_{2})}[/mm] bijektiv ist.
>
> Auch hier kann ich leider keinen Lösungsvorschlag machen.
Wenn Du b) verstanden hast, hast Du auch hier eine Chance.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Ich komme schon bei (i) der Linearität nicht weiter.
habe dazu p(v)= [mm] p(u_{1}+u_{2}) [/mm] = [mm] u_{2}
[/mm]
Setze [mm] u_{1}= u_{1}' [/mm] + [mm] u_{2}'
[/mm]
[mm] u_{2}= u_{1}'' [/mm] + [mm] u_{2}''
[/mm]
z.z: f(x+y)= f(x) + f(y)
Hier: [mm] p(u_{1} [/mm] + [mm] u_{2})=p((u_{1}'+u_{2}')+(u_{1}''+ u_{2}'')) [/mm] = [mm] u_{1}'' [/mm] + [mm] u_{2}''= p(u_{1}'+ u_{1}'')+ p(u_{2}'+u_{2}'') [/mm] = [mm] u_{2}'+u_{2}''
[/mm]
kann ich das so aufschreiben?
Zu (ii) p [mm] \circ [/mm] p= p
p(p(v))= [mm] p(u_{2})=p [/mm] reicht das aus?
Zu (iii) [mm] Kern(p)=U_{1}
[/mm]
Kern, wenn p(x)=0
P(v)= [mm] p(u_{1}+u_{2})= [/mm] 0, nur wenn [mm] u_{2}=0
[/mm]
also [mm] p(u_{1})=0 [/mm] Für alle [mm] u_{1} \in U_{1}. [/mm] Also ist [mm] U_{1} [/mm] Kern. Stimmt das?
Danke für eine Antwort im Voraus!
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> Hallo Angela,
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> vielen Dank für deine Antwort. Ich komme schon bei (i) der
> Linearität nicht weiter.
Hallo,
wir müssen manches noch etwas frisieren.
> Setze [mm]u'= u_{1}'[/mm] + [mm]u_{2}'[/mm]
> [mm]u_''= u_{1}''[/mm] + [mm]u_{2}''[/mm]
mit [mm] u_{1}', u_{1}'' \in U_1, u_{2}', u_{2}'' \in U_2.
[/mm]
>
z.z: p(u'+u'')= p(u')+p(u'')
>
> [mm]p(u'[/mm] + [mm]u'')=p((u_{1}'+u_{2}')+(u_{1}''+ u_{2}''))[/mm]
=p( [mm] \underbrace(u_{1}'+u_{1}'')_{ in U_1 }+ \underbrace(u_{2}'+ u_{2}'')_{ \in U_2 })
[/mm]
[mm] =u_{2}'+ u_{2}'' [/mm] =p(u')+ p(u'')
Vollzieh das Schritt für Schritt nach. Der Trick ist das Sortieren hinter dem 2. Gleichheitszeichen, denn es fällt ja die [mm] U_1-Komponente [/mm] weg und die [mm] U_2-Komponente [/mm] bleibt. Deshalb muß man sich jeden Vektor erstmal nach U_1und [mm] U_2 [/mm] sortieren.
Jetzt solltest Du [mm] p(\alpha [/mm] U') schaffen.
>
> Zu (ii) p [mm]\circ[/mm] p= p
> p(p(v))= [mm]p(u_{2})=p[/mm] reicht das aus?
sei u:= [mm] u_1+u_2 [/mm] mit [mm] u_i \in U_i.
[/mm]
Dann ist [mm] p(p(u))=p(p(u_1+u_2))=p(u_2)=p(0+u_2)=u_2=p(u_1+u_2)
[/mm]
>
> Zu (iii) [mm]Kern(p)=U_{1}[/mm]
Sei [mm] u:=u_1+u_2 [/mm] mit [mm] u_i \in U_i [/mm] und sei
> u [mm] \in [/mm] Kern ==> p(u)=0
> ==> 0=p(u)= [mm]p(u_{1}+u_{2})=u_{2}[/mm]
==> [mm] u=u_1 \in U_1.
[/mm]
Insgesamt folgt Kernp [mm] \subseteq U_1.
[/mm]
Sei nun u [mm] \in U_1
[/mm]
==>p(u)=p(u+0)=0 ==> u [mm] \in [/mm] kernp, also [mm] U_1 \subseteq [/mm] Kernp.
Somit ist die Gleichheit gezeigt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo Angela,
nochmal ein Rückfrage zu dem Bild(p)
Kann man so argumentieren:
[mm] p(v)=u_{2} [/mm] da [mm] u_{2} \in U_{2} [/mm] ist [mm] U_{2} \supseteq [/mm] Bild(p)?
Liebe Grüße und Danke
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> Hallo Angela,
>
> nochmal ein Rückfrage zu dem Bild(p)
> Kann man so argumentieren:
Da V direkte Summe von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] kann mann alle v [mm] \in [/mm] V schreiben als [mm] v=u_1+u_2 [/mm] mit [mm] u_i \in U_i [/mm]
==>
> [mm]p(v)=u_{2}[/mm] [mm] \in U_{2}[/mm] [/mm] .
==> Bildp [mm] \subseteq U_2.
[/mm]
Im Prinzip das, was Du Dir überlegt hattest.
Gruß v. Angela
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> Hallo Angela,
> vielen lieben Dank für deine Hilfe  . Zu (d) habe ich
> allerdings noch einige Fragen. Habe b) zwar verstanden
Hallo,
wenn Dir b) klar ist, ist das schonmal eine gute Voraussetzung.
in b) haben wir uns mit einem Projektor etwas genauer beschäftigt.
Für das Verhältnis zwischen Aufgabe b) und d) könnte man vielleicht folgendes Bild bemühen: Aufgabe b) ist, als hätten wir uns ein Haus im Dof im Tal genauer angeschaut.
Für Aufgabe d) steigen wir auf den Berg und schauen uns die Gesamtheit der Häuser an. Ein Blick von oben.
Sammeln wir mal, was wir in Aufgabe d) haben:
Zunächst die Menge M.
Was sind die Elemente dieser Menge? Es sind Paare [mm] (U_1,U_2) [/mm] von Unterräumen von V. Aber nicht beliebige Paare von Unterräumen, sondern genau die paare von Unterräumen, für die V die direkte Summe von U_! und [mm] U_2 [/mm] ist.
Also: man hat geschaut, auf welche Arten man V in direkte Summen zweier Unterräume zerlegen kann, und genau diese paare von Unterräumen sind in der Menge M enthalten.
Dann gibt's eine zweite Menge, die ist in der Aufgabe nicht benannt, nennen wir sie jetzt N. Das ist eine Teilmenge der Menge der Homomorphismen von V nach V, und zwar die Teilmenge, welche sämtliche Projektoren von V enthält. Projektoren sind diejenigen Homomorphismen, für die p [mm] \circ [/mm] p=p gilt. Also N:={ p [mm] \in [/mm] Hom(V,V) : p ist Projektor }
Das nächste, was vorkommt ist eine Abbildung, nennen wir sie [mm] \phi [/mm] .
\ phi geht von M nach N, ordnet also Paaren von Unterräumen Projektoren zu.
Und zwar nach dieser Vorschrift:
[mm] \phi: [/mm] M [mm] \to [/mm] N mit
[mm] \phi [/mm] ( [mm] (U_1,U_2))=p_{U_1,U_2}
[/mm]
Jetzt erinnere Dich, wie man die Injektivität einer Abbildung zeigt, damit habt Ihr Euch sicher ziemlich am Semesteranfang beschäftigt. Was hast du also hier zu zeigen?
Und was bedeutet es, wenn [mm] \phi [/mm] surjektiv ist?
Ich hoffe, daß Dir jetzt klar geworden ist, worum es in d) geht, was [mm] \phi [/mm] macht.
Gruß v. Angela
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