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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 21.06.2007 | | Autor: | TBS |
| Aufgabe | Geben Sie mit ausreichender Begründung an, welche der folgenden Mengen Untervektorräume des Vektorraums W = { f | f : R -> R ist eine Abbildung } sind.
b) Ub = { f | f ist unstetig }
e) Ue = { f | f(1) = f(2) }
g) Ug = { f | f(1) = f(2) + 2 } |
Hallo,
habe bei den o.g. Teilaufgaben enorme Probleme, ich weiß nicht wie ich sie angehen soll!
Kann sie mir vlt. jemand vorrechnen?
Versuche es schon seit geraumer Zeit! Vielen danke schonmal im Vorraus!
Gruß
Julian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Julian,
du musst die Unterraumkriterien nachprüfen, das sind glaube ich 3 an der Zahl:
(1) [mm] $U_i\ne\emptyset$
[/mm]
(2) [mm] $\forall f,g\in U_i$ [/mm] : [mm] $f+g\in U_i$
[/mm]
(3) [mm] $\forall\lambda\in\IR\forall f\in U_i$ [/mm] : [mm] $\lambda f\in U_i$
[/mm]
insbesondere der Nullvektor 0
(das ist hier die Nullabbildung [mm] $0:\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ [mm] $\forall x\in\IR$) [/mm]
in jedem VR, also auch in jedem UVR
Ist die in [mm] U_b?
[/mm]
bei [mm] U_e [/mm] und [mm] U_g [/mm] solltest du mal versuchen, die Kriterien zu zeigen.
Das sollte bei [mm] U_e [/mm] gut klappen, bei [mm] U_g [/mm] sollte was schiefgehen...
Probier's mal. Wenn du nicht weiter kommst, frag nochmal nach...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 21.06.2007 | | Autor: | TBS |
Die drei zu beweisenden Eigenschaften sind mir bekannt ich konnte auch schon andere Aufgaben lösen bis auf diese eben.
a)
1.) in Ub ist der Nullvektor enthalten oder nicht?
2.) Aber lim (h(x)) = lim((f+g)(x))
= lim(f(x)) + lim(g(x))
müsste fehlschlagen, da der Grenzwert nicht eindeutig ist, oder? Aber wie schreibe ich das formal hin?
b)
1.) Hier müsste auch der Nullvektor enthalten sein.
2.) und 3.) Auch hier weiß ich nicht wie ich es korrekt aufschreiben soll. Da ich nicht die anderen Werte kenne!
Hoffe mir kann jemand eine Lösung oder zumindest Teillösung posten!
Danke
Gruß
Julian
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Hallo,
wenn der Nullvektor, also die Nullabbildung in [mm] U_b [/mm] wäre, so müsste sie unstetig sein, aber sie ist doch konstant 0 und damit stetig!!
zu [mm] U_e
[/mm]
Nimm dir zwei Funktionen f und [mm] g\in U_e [/mm] her, zz ist dann, dass f+g auch in [mm] U_e [/mm] ist, dass also gilt (f+g)(1)=(f+g)(2)
Es ist (f+g)(1)=f(1)+g(1) das ist die Definition der Addition von Funktionen
=f(2)+g(2) da f,g [mm] \in U_e
[/mm]
=(f+g)(2) wieder Def + für Fkten
[mm] \in U_e
[/mm]
zack
nun noch die Abgeschlossenheit bzgl skalarer Multiplikation
genauso kannste das für [mm] U_g [/mm] ansetzen, dann wirste sehen, dass
[mm] (f+g)(1)=.....\ne [/mm] (f+g)(2)+2 ist oder argumentiere wieder mit der 0:
0(1)=0=0(2), also.....
LG
schachuzipus
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:51 Do 21.06.2007 | | Autor: | TBS |
Danke für die schnelle Antwort!
Kann ich bei der Ue mit der skalaren Multiplikation auch den Trick mit 0 machen:
[mm] \lambda \odot [/mm] 0(1) = 0 = [mm] 0(\lambda [/mm] * 2) ???
Kann man das mit 0 immer machen, z.B. bei dieser Aufgabe:
U = {f | -f(x) = f(-x)}
=>
1.) Nullvektor ist Element von U
2.) -0(x) = 0 = 0(-x)
3.) [mm] \lambda \odot [/mm] -0(x) = 0 = [mm] 0(\lambda [/mm] * (-x))
?
Grüße
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Hi nochmal,
ich weiß gerade nicht genau, was du mit Trick meinst,
für die Abgeschlossenheit bzgl skalarer Multiplikation musst du zeigen, dass für [mm] \underline{jeden} [/mm] Skalar [mm] \lambda [/mm] und für [mm] \underline{jede} [/mm] Abbildung f [mm] \in U_e [/mm] auch [mm] \lambda\cdot{} [/mm] f [mm] \in U_e [/mm] ist
Das muss dann natürlich auch für die Nullfunktion gelten
Ich nenne die Nullfunktion mal n und die reelle Zahl Null nenne ich 0, dann ist das klarer:
[mm] (\lambda f)(1)=\lambda f(1)=\lambda f(2)=(\lambda [/mm] f)(2)
also [mm] \lambda f\in U_e
[/mm]
für die Nullfunktion: [mm] (\lambda n)(1)=\lambda n(1)=\lambda 0=\lambda n(2)=(\lambda [/mm] n)(2)
Gruß
schachuzipus
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