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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Fr 02.11.2007 | | Autor: | snowfox4 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Welche der folgenden Mengen sind für alle natürlichen Zahlen n [mm] \in \IN [/mm] ein Untervektorraum des [mm] \IR^{n}:
[/mm]
(i) ...
(ii) ...
(iii) ...
(iv) [mm] D_{n} [/mm] := [mm] {(x^{}, x^{2}, ... ,x^{n}) \in \IR^{n} | x \in \IR}
[/mm]
(v) ...
(vi) ... |
Hallo! Kann mir jemand "ausführlich" Erläutern, wie man ein Untervektorraum für (iv) beweisen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Framl |
Hallo,
das [mm] $D_n\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] gilt ist ja offensichtlich.
Du musst jetzt Abgeschloßenheit der Addition (1.) und der Multiplikation (2.) zeigen/widerlegen.
zu 1.) Sei [mm] $x=(x,x^2,...,x^n),x'=(x',x'^2,...,x'^n)\in D_n$. [/mm] Es ist [mm] $x+x'=(x+x',...,x^n+x'^n)$. [/mm] Die Frage ist, ob dies immer noch Element von [mm] $D_n$ [/mm] ist. Ist das denn der Fall?
zu 2.)Sei [mm] $\lambda\in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $x\in D_n$. [/mm] Gilt dann [mm] $\lambda\cdot x\in D_n$ [/mm] ?
Wenn du widerlegen willst, dass es ein UVR ist musst du nur 1.) oder 2.) widerlegen, kann man auch mit einem Beispiel machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 03.11.2007 | | Autor: | snowfox4 |
Hallo! Danke für die schnelle Antwort! Verstehe es jetzt,
zum mindest bin ich der Meinung  . Wäre dies eine Lösung,
die auch für den Prof akzeptabel ist (entspricht Sie der Math. Form)?
Behauptung:
[mm] D_{n} [/mm] : [mm] \{ (x,x^2,...,x^n) \in \IR | x \in \IR \} [/mm] ist kein UVR
Beweis: (durch Gegenbeispiel)
x, x' [mm] \in D_{3}, [/mm] x = [mm] (3,3^2,3^3) \wedge [/mm] x' = [mm] (5,5^2,5^3)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x + x' = [mm] \hat{x} [/mm] = (x + x', ... , [mm] x^n [/mm] + x'^n) = (3+5, [mm] 3^2+5^2, 3^3+5^3) [/mm] = (8,34,134)
[mm] \Rightarrow \hat{x} [/mm] = (8,34,134) [mm] \not\in D_{3}, [/mm] da [mm] 8^2 \not= [/mm] 34 [mm] \Box
[/mm]
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh doch erst mal nach, ob die nen Vektorraum bilden!
kannst du (2,4,8)+(2,4,8) als [mm] (x,x^2,x^3) [/mm] schreiben? oder ist das anders gemeint?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 So 04.11.2007 | | Autor: | snowfox4 |
$ [mm] D_{n} [/mm] := [mm] \{(x^{}, x^{2}, ... ,x^{n}) \in \IR^{n} | x \in \IR\} [/mm] $
Das ist ja die Frage, die ich mir die ganze Zeit stelle. Ist x überall gleich und nun der Exponent läuft bis n durch, z.B. für die 2 : [mm] $(2,2^2,...,2^n)$ [/mm] oder ist hier nicht gefordert, dass x gleich ist und x kann beliebig gewählt werden, z.B.: [mm] $(2,3^2,5^3,1^4,...,x^n)$? [/mm] Dann würde man doch [mm] $(x_{1}, x_{2}^2, [/mm] ... , [mm] x_{n}^n)$ [/mm] anstelle $(x, [mm] x^2, [/mm] ... [mm] ,x^n)$ [/mm] schreiben?
Wenn es nicht gefordert ist, hat $(2,4,8) + (2,4,8)$ eine Lösung, da [mm] $(2,2^2,2^3) [/mm] + [mm] (2,2^2,2^3) [/mm] = (4,8,16) = [mm] (4,(\wurzel[2]{8})^2,(\wurzel[3]{16})^3)$.
[/mm]
Falls es jedoch gefordert ist, hat es keine Lösung. Da z.B. [mm] $4^2 \not= [/mm] 8$ (aus der Lösungsmenge (4,8,16)), da ja [mm] (4,4^2,4^3) [/mm] gefordert ist.
Ich hoffe, meine Gedankengänge sind nicht allzu "verrückt" für Euch, aber Hochschulmathematik frustiert mich bis dato, inbesondere da ich in Mathe immer gut war (sonst würde ich ja auch nicht Physik studieren).
Viele Grüße
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> [mm]D_{n} := \{(x^{}, x^{2}, ... ,x^{n}) \in \IR^{n} | x \in \IR\}[/mm]
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> Das ist ja die Frage, die ich mir die ganze Zeit stelle.
> Ist x überall gleich und nun der Exponent läuft bis n
> durch, z.B. für die 2 : [mm](2,2^2,...,2^n)[/mm]
Hallo,
genau das ist hier gemeint, sonst stünde da [mm] := \{(x_1^{}, x_2^{2}, ... ,x_n^{n}) \in \IR^{n} | x_i \in \IR, i=1,...,n\}[/mm]
Die Basis ist also stets gleich, und Dein Gegenbeispiel von 23.03 Uhr mußt Du nur so aufpusten, daß es die Aussage für n widerlegt und nicht nur für n=3, was aber keinerlei Schwierigkeit sein sollte.
Zu der dort gestellten Frage nach der mathematischen Korrektheit: wenn Du nur ein einziges Gegenbeispiel bringst, ist die Aussage widerlegt - auch für Deinen Prof.
Mit 1537 Beispielen jedoch kannst Du nicht die Gültigkeit einer Aussage beweisen - jedenfalls nicht einem Mathematiker.
Gruß v. Angela
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