Untervektorräume < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Di 08.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Sg. Kollegen,
ich hätte hier drei Teilmengen für die bestimmt werden soll ob sie Untervektorräume von [mm] \IR [/mm] hoch drei sind:
U1 := {(x1 x2 x3) [mm] \in \IR [/mm] hoch drei | x1 [mm] \not= [/mm] x2}
Meiner Meinung nach ist dies kein Untervektorraum von [mm] \IR [/mm] hoch drei, da der Nullvektor nicht in U1 enthalten ist den wenn x1 = 0; x2 = 0 und x3 = 0, dann ist x1 = x2 und steht somit im Widerspruch mit der Angabe x1 [mm] \not= [/mm] x2!
U2 := {(x1 x2 x3) [mm] \in \IR [/mm] hoch drei | x1 + x2 -4x3 = 0}
Dies scheint ein Untervektorraum von [mm] \IR [/mm] hoch drei zu sein, denn erstens ist der Nullvektor enthalten und zweitens scheint sowohl die skalare Multiplikation als auch die Addition richtige Ergebnisse zu liefern.
Müsste ich diesen Beweis eigentlich noch besser ausformulieren und wenn ja, wie?
U3 := {(x1 x2 x3) [mm] \in [/mm] hoch drei | x1 + x2 >= x3}
Auch dies stellt meiner Meinung ein Untervektorraum von [mm] \IR [/mm] hoch drei dar. Denn auch hier gilt das selbe wie in U2!
Bitte um Durchsicht ob ich auf der richtigen Spur bin und um Klärung der Fragen...
Danke im Voraus und
mfg Robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Rmeusbur!
> U1 := {(x1 x2 x3) [mm] \in \IR [/mm] hoch drei | x1 [mm] \not= [/mm] x2}
> Meiner Meinung nach ist dies kein Untervektorraum von [mm]\IR[/mm]
> hoch drei, da der Nullvektor nicht in U1 enthalten ist den
> wenn x1 = 0; x2 = 0 und x3 = 0, dann ist x1 = x2 und steht
> somit im Widerspruch mit der Angabe x1 [mm]\not=[/mm] x2!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $U2 := [mm] \{(x1 x2 x3) \in \IR hoch drei | x1 + x2 -4x3 = 0\}$
[/mm]
> Dies scheint ein Untervektorraum von [mm]\IR[/mm] hoch drei zu
> sein, denn erstens ist der Nullvektor enthalten und
> zweitens scheint sowohl die skalare Multiplikation als auch
> die Addition richtige Ergebnisse zu liefern.
> Müsste ich diesen Beweis eigentlich noch besser
> ausformulieren und wenn ja, wie?
Du könntest so argumentieren:
Sind [mm] $(x_1,x_2,x_3) \in [/mm] U$ und [mm] $(y_1,y_2,y_3) \in [/mm] U$, so gilt:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3=0$ [/mm] und
[mm] $y_1 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] - [mm] 4y_3 [/mm] = 0$.
Addition beider Gleichungen führt auf
[mm] $(x_1 [/mm] + [mm] x_2) [/mm] + [mm] (x_2 [/mm] + [mm] y_2) [/mm] - [mm] 4(x_3 [/mm] + [mm] y_3)=0$,
[/mm]
was gerade
[mm] $(x_1,x_2,x_3) [/mm] + [mm] (y_1,y_2,y_3) [/mm] = [mm] (x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3) \in [/mm] U$
bedeutet.
Analog argumentierst du für die skalare Multiplikation.
> $U3 := [mm] \{(x1 x2 x3)\in hoch drei | x1 + x2 >= x3\}$
[/mm]
> Auch dies stellt meiner Meinung ein Untervektorraum von
> [mm]\IR[/mm] hoch drei dar. Denn auch hier gilt das selbe wie in
> U2!
Nein, dies ist offenbar kein Untervektorraum.
So gilt zwar $(1,1,1) [mm] \in U_3$ [/mm] wegen $1 + 1 = 2 [mm] \ge [/mm] 1$, aber:
$(-1,-1,-1) = (-1) [mm] \cdot [/mm] (1,1,1) [mm] \notin U_2$ [/mm] wegen $(-1)+(-1) = -2 < -1$.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 08.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo Julius,
vorerst vielen Dank für dein rasche Antwort! Aber was ich nicht verstehe:
Warum ist U3 kein Untervektorraum, aber U2 schon?
Nach deiner Begründung warum U3 kein Untervektorraum von [mm] \IR [/mm] hoch drei darstellt, dürfte doch auch U2 kein UV darstellen denn: (1 1 1) bei U2 würde ja auch bedeuten, dass 1 + 1 - 4*1 = 0 und das stimmt nicht????
Hab ich da irgend etwas nicht richtig verstanden?
Danke und
mfg Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Hab ich da irgend etwas nicht richtig verstanden?
Ja, 
Ich behaupte nicht, dass $(1,1,1)$ immer im Unterraum liegen muss, sondern ich sage:
Wenn $(1,1,1)$ im Unterraum liegt, dann muss auch $(-1) [mm] \cdot [/mm] (1,1,1) = (-1,-1,-1)$ im Unterraum liegen.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 08.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hallo Julius,
Ich glaube jetzt sind gerade die berühmt-berüchtigten Würfel bei mir gefallen. Nur um mich zu vergewissern:
Wenn ein beliebiger Vektor [mm] \in [/mm] von U1 ist, so muss auch dess negatives, aufgrund der skalaren Multiplikation (mit -1) [mm] \in [/mm] von U1 sein und da dies bei U2 genau der Fall ist:
2 + 2 - 4 = 0
-2 - 2 + 4 = 0
ist U2 ein UV von [mm] \IR [/mm] hoch drei!
Hoffend dass das so stimmt und
mfg Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 08.03.2005 | | Autor: | Rmeusbur |
Hi Julius,
danke dir vielmals, ich habs jetzt endlich kapiert!!!
mfg Robert
|
|
|
|
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
