Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mo 28.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Überprüfe, welche Mengen Untervektorräume sind. [mm] W=IR^{3} [/mm] und [mm] V=IR^{IR}
[/mm]
a) [mm] U_{1}={ f|f injektiv } \subset [/mm] V
b) [mm] U_{2}={ f| \forall x \in IR: f(x) in Q } \subset [/mm] V
c) [mm] U_{3}={ f|f(-1)=f(1) } \subset [/mm] V
d) [mm] U_{4}={\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }} \subset [/mm] W |
hab i-wie bei solchen beweisen noch probleme.
was ich weiß: man muss folgende bedingungen prüfen:
x,y [mm] \in [/mm] U: x+y [mm] \in [/mm] U, -x [mm] \in [/mm] U, [mm] \lambda [/mm] •x [mm] \in [/mm] U
zu a) Injektiv heißt: f(a)=f(b) --> a=b
Eine Multiplikation einer injektiven Abbildung mit einem Skalar ändert ja nichts an der Injektivität.
ich weiß aber nicht ganz, wie ich bei der 1.bedingung ansetzen soll...
zu b) mein gefühl sagt: kein UR. wenn f(x) = 2 ist und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel2,
[/mm]
dann ist [mm] \lambda [/mm] • x nicht [mm] \in [/mm] U.
zu c) Ist UR.
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=(f+g)(-1)
[mm] (\lambda [/mm] f)(x)= [mm] \lambda [/mm] (f(x))= [mm] \lambda [/mm] f(-x) = ( [mm] \lambda [/mm] f)(-x)
zu d) Kein UR.
Gegenbsp.:
[mm] \alpha [/mm] = -1, lambda=2 --> -1(4,-4,0)=(-4,4,0) , aber [mm] \lambda^{2}=-4 [/mm] --> Widerspruch.
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> Überprüfe, welche Mengen Untervektorräume sind. [mm]W=IR^{3}[/mm]
> und [mm]V=IR^{IR}[/mm]
>
> a) [mm]U_{1}=\{ f|f \text{injektiv} \} \subset[/mm] $V$
> b) [mm]U_{2}= \{ f| \forall x \in \IR: f(x) \in \IQ \} \subset[/mm] $V$
> c) [mm]U_{3}=\{ f|f(-1)=f(1) \} \subset[/mm] $V$
> d) [mm]U_{4}=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }\} \subset[/mm] $W$
> hab i-wie bei solchen beweisen noch probleme.
> was ich weiß: man muss folgende bedingungen prüfen:
> x,y [mm]\in[/mm] U: x+y [mm]\in[/mm] U, -x [mm]\in[/mm] U, [mm]\lambda[/mm] •x [mm]\in[/mm] U
Hmm, sicher dass die Bedingungen so im Skript standen?
Die erste und die letzte bin ich vollkommen mit einverstanden, aber die zweite ist irgendwie seltsam...
Vor allem da die direkt aus der dritten Bedingung folgt (wähle [mm] $\lambda [/mm] = -1$ und in jedem Körper gibt es eine -1).
Abgesehen davon ist die klassische dritte Bedingung entweder:
$0 [mm] \in [/mm] U$ oder $U [mm] \neq \emptyset$
[/mm]
Also guck das nochmal dringend nach.
> zu a) Injektiv heißt: f(a)=f(b) --> a=b
> Eine Multiplikation einer injektiven Abbildung mit einem
> Skalar ändert ja nichts an der Injektivität.
Sicher?
Ich behaupte das doch, also probier nochmal ein paar Skalare aus. ;)
> ich weiß aber nicht ganz, wie ich bei der 1.bedingung
> ansetzen soll...
> zu b) mein gefühl sagt: kein UR. wenn f(x) = 2 ist und
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\wurzel2,[/mm]
> dann ist [mm]\lambda[/mm] • x nicht [mm]\in[/mm] U.
Damit hast du dein Gegenbeispiel und kannst die b) abhaken.
> zu c) Ist UR.
> (f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=(f+g)(-1)
> [mm](\lambda[/mm] f)(x)= [mm]\lambda[/mm] (f(x))= [mm]\lambda[/mm] f(-x) = ( [mm]\lambda[/mm]
> f)(-x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu d) Kein UR.
> Gegenbsp.:
> [mm]\alpha[/mm] = -1, lambda=2 --> -1(4,-4,0)=(-4,4,0) , aber
> [mm]\lambda^{2}=-4[/mm] --> Widerspruch.
Hier nehme ich an wird von dir eine Fallunterscheidung erwartet jenachdem was [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Du hast ein [mm] $\lambda$ [/mm] gefunden, für das diese Menge kein UR ist, aber vielleicht gibt es ja andere [mm] $\lambda$ [/mm] für die es doch einer ist?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 29.11.2011 | | Autor: | rollroll |
zur d) kein Untervektorraum für alle [mm] \alpha [/mm] < 0, für alle [mm] \alpha \ge [/mm] 0 ist es einer.
zur a) Ok, kein UVR. Bsp.: f: [mm] IR_{\ge 0}-->IR, x-->x^{2}
[/mm]
wenn man z.B. als Skalar ,,-1'' hat , sind alle Funktionswerte negativ und liegen damit nicht in U.
Es gibt noch weitere Aufagben zu diesem Thema:
[mm] U_{5}= [/mm] {f|f(-1)•f(1)=0} [mm] \subset [/mm] V
Also man kann ja folgern, dass entweder f(-1) oder f(1) oder beide 0 sind.
Dementsprechend kommt bei einer multiplikation mit einem Skalar auch immer 0 raus. Die andere Bedingung ist aber doch nur erfüllt, wenn beide 0 sind?
[mm] U_{6}= [/mm] { [mm] \pmat{ \lambda_{1} -\lambda_{2} \\ \lambda_{2}+ \lambda_{3} \\ \lambda_{3}- \lambda_{1} } [/mm] }. (alle [mm] \lambda [/mm] 's aus IR)
Hier weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen soll..., ebenso beim nächsten teil, die doch relativ ähnlich sind, vielleicht kanns mir ja mal jemand an einem der beiden demostrieren/erklären, wie man mit den Bidingungen in diesen Fällen ansetzt.
[mm] U_{7}={ \pmat{ \lambda \\ \lambda+ \mu^{3} \\ \lambda- \mu ^{3}} }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 29.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand ideen dazu?
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> zur d) kein Untervektorraum für alle [mm]\alpha[/mm] < 0, für alle
> [mm]\alpha \ge[/mm] 0 ist es einer.
hmm, wieso?
Begründung/Beweis?
Die Menge in d) beinhaltet nur ein Element, und mit nur einem Element einen Vektorraum aufzuspannen klappt recht selten; um genau zu sein nur in einem einzigen Fall; entweder dein Vektor hat diese ganz spezielle Form oder es ist kein Vektorraum.
>
> zur a) Ok, kein UVR. Bsp.: f: [mm]IR_{\ge 0}-->IR, x-->x^{2}[/mm]
Hmm, V sind aber Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] und da wäre [mm] $x^2$ [/mm] nicht injektiv.
Es stimmt schon, dass es kein Unterraum ist, aber du braucht ein anderes Gegenbeispiel...
> wenn man z.B. als Skalar ,,-1'' hat , sind alle
> Funktionswerte negativ und liegen damit nicht in U.
>
> Es gibt noch weitere Aufagben zu diesem Thema:
> [mm]U_{5}=[/mm] {f|f(-1)•f(1)=0} [mm]\subset[/mm] V
> Also man kann ja folgern, dass entweder f(-1) oder f(1)
> oder beide 0 sind.
> Dementsprechend kommt bei einer multiplikation mit einem
> Skalar auch immer 0 raus. Die andere Bedingung ist aber
> doch nur erfüllt, wenn beide 0 sind?
Welche andere Bedingung genau meinst du?
Es gibt insgesamt drei Stück...
Davon abgesehen solltest du immer ein Gegenbeispiel angeben wenn du der Meinung bist es sei kein Unterraum, damit ist das keine Vermutung mehr sondern gezeigt.
> [mm]U_{6}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pmat{ \lambda_{1} -\lambda_{2} \\ \lambda_{2}+ \lambda_{3} \\ \lambda_{3}- \lambda_{1} }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }. (alle [mm]\lambda[/mm] 's aus IR)
>
> Hier weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen soll...,
> ebenso beim nächsten teil, die doch relativ ähnlich sind,
> vielleicht kanns mir ja mal jemand an einem der beiden
> demostrieren/erklären, wie man mit den Bidingungen in
> diesen Fällen ansetzt.
> [mm]U_{7}={ \pmat{ \lambda \\ \lambda+ \mu^{3} \\ \lambda- \mu ^{3}} }[/mm]
>
Auch diese beiden enthalten wie es aussieht nur ein Element.
Wie gesagt gibt es nur einen einelementigen Vektorraum, also guck entweder nach ob die Aufgabenstellung so stimmt oder guck in wie weit du hier besagten Vektorraum hast.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Di 29.11.2011 | | Autor: | rollroll |
also nochmal zur d) Für negative Skalar hatte es ja nicht geklappt. Für positive klappt es aber doch. Die andere Bedingung: Ich meine x,y [mm] \in [/mm] U --> x+y [mm] \in [/mm] U.
Außerdem , warum nur ein element?
[mm] \lambda [/mm] kann doch unendlich viele Werte einnehmen mit [mm] \lambda \in [/mm] IR.
zur c) gut, dann nehmne ich mal x--> [mm] x^{3}. [/mm] wie geht's dann weiter?
zu [mm] U_{5}, [/mm] auch hier meine ich das kriterium von d). Muss man auch hier eine Fallunterscheidung machen?
Und warum enthalten [mm] U_{6} [/mm] und [mm] U_{7} [/mm] nur ein Element?
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> also nochmal zur d) Für negative Skalar hatte es ja nicht
> geklappt. Für positive klappt es aber doch. Die andere
> Bedingung: Ich meine x,y [mm]\in[/mm] U --> x+y [mm]\in[/mm] U.
> Außerdem , warum nur ein element?
Weil da eine Menge mit einem Element steht...
Wenn du meinst, dass [mm] $\lambda$ [/mm] wirklich durch ganz [mm] $\IR$ [/mm] durchläuft so musst du das auch explizit dazuschreiben.
> [mm]\lambda[/mm] kann doch unendlich viele Werte einnehmen mit
> [mm]\lambda \in[/mm] IR.
>
> zur c) gut, dann nehmne ich mal x--> [mm]x^{3}.[/mm] wie geht's dann
> weiter?
Hmm, addiere etwas passendes dazu oder multipliziere es mit einem passenden Skalar, sodass eine nicht-injektive Funktion rauskommt...
Du kannst die c) übrigens wenns dir Spaß macht auch mit der dritten Bedingung widerlegen.
> zu [mm]U_{5},[/mm] auch hier meine ich das kriterium von d). Muss
> man auch hier eine Fallunterscheidung machen?
>
> Und warum enthalten [mm]U_{6}[/mm] und [mm]U_{7}[/mm] nur ein Element?
Wie gesagt, wenn die Variablen durch ganz [mm] $\IR$ [/mm] durchlaufen sollen so musst du das explizit hinschreiben, etwa in der Form:
[mm] $\{ \vektor{\lambda \\ \lambda^2 \\ 1} | \lambda \in \IR \}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 29.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, hast recht, die durchlaufen immer ganz IR.
Wie setzt man dann an? Bzw. was stimmt von meinen Ansätzen, was nicht?
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> Ok, hast recht, die durchlaufen immer ganz IR.
Hallo,
worum geht's denn jetzt? um $ [mm] U_{4}=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }|łambda\in \IR\} \subset [/mm] $ W ?
> Wie setzt man dann an?
Man setzt an wie immer.
Guckt, ob die Null aus [mm] \IR^3 [/mm] drin ist, guckt, ob jede Summe drin ist, guckt, ob jedes Produkt mit einem Skalar drin ist.
Ist es nicht der Fall, liefert man ein konkretes Gegenbeispiel mit Zahlen.
> Bzw. was stimmt von meinen
> Ansätzen, was nicht?
Ich hab' jetzt nicht so große Lust, mir hier im Thread Tonscherben zusammenzusuchen, zumal die Aufgabenstellung am Beginn ja unvollständig wiedergegeben war.
Löse die Aufgabe jetzt einfach vernünftig.
Willst Du beweisen, beweise.
Willst Du widerlegen, liefere ein Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 30.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Also gut, damit nicht alles durcheinander geht, das ganze nochmal von vorne:
Überprüfe, ob folgende Mengen UVR sind. [mm] V=IR^{IR}= [/mm] { f|f:IR-->IR } und [mm] W=IR^{3} [/mm] sind dabei IR-VR.
a) [mm] U_{1}= [/mm] { f|f injektiv } [mm] \subset [/mm] V
b) [mm] U_{2}={ f| f(-1)-f(1)=0 } \subset [/mm] V
c) [mm] U_{3}= [/mm] { f | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] IR: f(x) in Q } [mm] \subset [/mm] V
d) [mm] U_{4} [/mm] = { f| f(-1)•f(1)=0 } [mm] \subset [/mm] V
e) [mm] U_{5}= [/mm] { [mm] \pmat{ \lambda_{1}- \lambda_{2} \\ \lambda_{2}+\lambda_{3} \\ \lambda_{3}-\lambda_{1} } [/mm] |alle [mm] \lambda \in [/mm] IR} [mm] \subset [/mm] W
f) [mm] U_{6}= [/mm] { [mm] \pmat{ \lambda \\ \lambda + \mu^{3} \\ \lambda - \mu^{3} }| [/mm] lambda , [mm] \mu \in [/mm] IR} [mm] \subset [/mm] W
g) [mm] U_{7}= [/mm] { [mm] \pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0}} \subset [/mm] W |
Allgemein sind jeweils die 3 bedingungen zu prüfen:
1. U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. x,y [mm] \in [/mm] U --> x+y [mm] \in [/mm] U
3. [mm] \lambda \in [/mm] IR --> [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U
zu a) Für eine injektive Abbildung gilt: f(a)=f(b) <=> a=b
1. [mm] U_{1} [/mm] ist nicht leer
Da ich vermute , dass es kein UVR ist, versuche ich ein gegenbeispiel zu konstruieren, also betrachte ich [mm] x-->x^{3} [/mm] ist injektiv. Jetzt ist mir aber nicht ganz klar, wie ich weiter verfahren soll.
zu b)
1. [mm] U_{2} [/mm] ist nicht leer.
Auch kein UVR: Betrachte x=2 in IR und [mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel2 [/mm] --> [mm] \lambda [/mm] x=2 [mm] \wurzel2 [/mm] nicht in Q.
zu c)
1. s.o
2. (f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=(f+g)(-1)
3. [mm] (\lambda [/mm] f)(1)= [mm] \lambda [/mm] (f(1)) = [mm] \lambda [/mm] ( f(-1)) = ( [mm] \lambda [/mm] f)(-1)
--> UVR
zu d) 1. s.o
2. Es muss ja gelten, dass entweder einer der Faktoren oder beide 0 sind.
Wenn beide 0 sind, ist es ein UVR.
Jetzt muss man gucken, was passiert, wenn entweder f(1) oder f(-1) 0 ist.
Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich dann das Kriterium umschreiben muss, also x * y statt x+y überprüfen muss...
zu e)und zu f) weiß ich nicht wie ich mit den Kriterien ansetzen soll...
zu g)
kein UVR, zB. wählt man [mm] \alpha [/mm] =-1 und [mm] \lambda [/mm] = 2, dann wird aus
(4/-4/0)--> (-4/4/0) aber [mm] \lambda^{2} [/mm] kann nicht -2 sein. Widerspruch
So, jetzt bitte ich Euch um Eure tatkräftige Unterstützung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mi 30.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Hat jemand ein paar Ideen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
bei der a) glaub ich mittlerweile doch, dass es ein UVR ist. man darf ja nur bijektive abbildungen von IR-->IR betrachten. Was meint ihr dazu und zum rest?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] U_1 [/mm] enthält nicht die Nullfunktion, [mm] U_1 [/mm] ist also kein UVR
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Weil jeder x-wert denselben y-wert (0) hat, und das keine bijektive Abbildung ist?
Wie sieht's mit den anderen aus?
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> Weil jeder x-wert denselben y-wert (0) hat, und das keine
> bijektive Abbildung ist?
Hallo,
ja, natürlich.
Gruß v. Angela
>
> Wie sieht's mit den anderen aus?
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Um dies jetzt bei der a) zu zeigen kann ich da so vorgehen?:
[mm] U_{1} [/mm] := {f|f injektiv}
[mm] \lambda \in \IR [/mm] , [mm] \lambda [/mm] = [mm] 0_{\IR}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * f : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] : x [mm] \mapsto \lambda [/mm] f(x) = [mm] 0_{V} [/mm] , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
=> [mm] \lambda [/mm] f für [mm] \lambda [/mm] = [mm] 0_{\IR} [/mm] nicht injektiv
=> [mm] \lambda [/mm] f [mm] \not\in U_{1}
[/mm]
=> [mm] U_{1} [/mm] kein UVR
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> Um dies jetzt bei der a) zu zeigen kann ich da so
> vorgehen?:
>
> [mm]U_{1}[/mm] := {f|f injektiv}
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] , [mm]\lambda[/mm] = [mm]0_{\IR}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] * f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] : x [mm]\mapsto \lambda[/mm] f(x) = [mm]0_{V}[/mm]
Hallo,
es ist besser, wenn Du für f eine konkrete, injektive Funktion sagst, etwa die durch f(x):=x definierte.
Und dann sagst Du, daß (0*f)(x)=0*f(x)=0*x=0 ist für alle [mm] x\in \IR, [/mm] also ist f die Nullfunktion, welche nicht injektiv ist.
Es ist falsch zu schreiben, daß [mm] \lambda$\mapsto \lambda$ [/mm] f(x) = [mm] $0_{V}$ [/mm] f bildet nämlich nach [mm] \IR [/mm] ab.
Aber es ist [mm] 0*f=0_{V}, [/mm] nämlich die Nullfunktion.
Gruß v. Angela
> , [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> => [mm]\lambda[/mm] f für [mm]\lambda[/mm] = [mm]0_{\IR}[/mm]
> nicht injektiv
> => [mm]\lambda[/mm] f [mm]\not\in U_{1}[/mm]
> => [mm]U_{1}[/mm] kein UVR
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> > Um dies jetzt bei der a) zu zeigen kann ich da so
> > vorgehen?:
> >
> > [mm]U_{1}[/mm] := {f|f injektiv}
> > [mm]\lambda \in \IR[/mm] , [mm]\lambda[/mm] = [mm]0_{\IR}[/mm]
> >
> > [mm]\lambda[/mm] * f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] : x [mm]\mapsto \lambda[/mm] f(x) = [mm]0_{V}[/mm]
>
> Hallo,
>
> es ist besser, wenn Du für f eine konkrete, injektive
> Funktion sagst, etwa die durch f(x):=x definierte.
>
> Und dann sagst Du, daß (0*f)(x)=0*f(x)=0*x=0 ist für alle
> [mm]x\in \IR,[/mm] also ist f die Nullfunktion, welche nicht
> injektiv ist.
> Es ist falsch zu schreiben, daß [mm]\lambda[/mm] [mm]\mapsto \lambda[/mm]
> f(x) = [mm]0_{V}[/mm] f bildet nämlich nach [mm]\IR[/mm] ab.
> Aber es ist [mm]0*f=0_{V},[/mm] nämlich die Nullfunktion.
>
> Gruß v. Angela
also schreibe ich hier besser:
setze f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x
[mm] (\lambda*f): [/mm] x [mm] \mapsto \lambda*f(x)
[/mm]
=> 0 * f(x) = 0*x = 0
(und den Rest kann ich dann so lassen ?)
> > , [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> > => [mm]\lambda[/mm] f für [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]0_{\IR}[/mm]
> > nicht injektiv
> > => [mm]\lambda[/mm] f [mm]\not\in U_{1}[/mm]
> > => [mm]U_{1}[/mm] kein UVR
>
nun habe ich noch eine Frage zue c )
[mm] U_{3} [/mm] := {f|f (-1)-f(1)=0} [mm] \subset [/mm] V
=> f(-1) = f(1)
für bel. Abb. g,f gilt : f(-1)= f(1) und g(-1) = g(1)
(f+g) (1) = f(1) + g(1) = f(-1) + g(-1) = (f+g)(-1) (1. Kriterium)
(2.Kriterium = ?)
(3. Kriterium:)
[mm] \lambda \in \IR [/mm]
[mm] (\lambda*f) [/mm] (1) = [mm] \lambda [/mm] * (f(1)) = [mm] \lambda [/mm] * (f(-1))= [mm] (\lambda [/mm] *f) (-1)
(hier hatte rollroll mit f(x) gearbeitet, aber f(-x) = f(x) gilt doch nur für x = 1, oder ?
Und was ist das dritte Kriterium ?
zu der d)
hab mir das so vorgestellt:
[mm] U_{4} [/mm] := {f|f(-1)*f(1) =0} [mm] \subset [/mm] V
für bel. Abb. f,g gilt: f(1)*f(-1) = g(1) * g(-1) = 0
=> f(1)=0 [mm] \vee [/mm] f(-1) =0 und g(1) = 0 [mm] \vee [/mm] g(-1) = 0
wähle : f(1) = 0, f(-1) [mm] \not= [/mm] 0, [mm] g(1)\not=0 [/mm] , g(-1) = 0
=> (f+g) (1) * (f+g) (-1) =( f(1)+g(1)) * ((f(-1)+g(-1))=
f(-1)*g(1) [mm] \not= [/mm] 0
=> (f+g) [mm] \not\in U_{4}
[/mm]
=> kein UVR
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> >
> > > Um dies jetzt bei der a) zu zeigen kann ich da so
> > > vorgehen?:
> > >
> > > [mm]U_{1}[/mm] := {f|f injektiv}
> > > [mm]\lambda \in \IR[/mm] , [mm]\lambda[/mm] = [mm]0_{\IR}[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda[/mm] * f : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] : x [mm]\mapsto \lambda[/mm] f(x) = [mm]0_{V}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > es ist besser, wenn Du für f eine konkrete, injektive
> > Funktion sagst, etwa die durch f(x):=x definierte.
> >
> > Und dann sagst Du, daß (0*f)(x)=0*f(x)=0*x=0 ist für alle
> > [mm]x\in \IR,[/mm] also ist f die Nullfunktion, welche nicht
> > injektiv ist.
> > Es ist falsch zu schreiben, daß [mm]\lambda[/mm] [mm]\mapsto \lambda[/mm]
> > f(x) = [mm]0_{V}[/mm] f bildet nämlich nach [mm]\IR[/mm] ab.
> > Aber es ist [mm]0*f=0_{V},[/mm] nämlich die Nullfunktion.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> also schreibe ich hier besser:
Hallo,
>
> setze Sei f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x
>
Für alle [mm] \lambda\in \IR [/mm] ist
[mm](\lambda*f):[/mm] [mm] \IR\to \IR
[/mm]
mit x [mm]\mapsto \lambda*f(x)[/mm]
Mit [mm] \lambda=0 [/mm] bekommt man für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
(0*f)(x)=
> 0 * f(x) = 0*x = 0
Also ist [mm] 0*f=0_V.
[/mm]
> > > nicht injektiv
> > > => [mm]U_{1}[/mm] kein UVR
> nun habe ich noch eine Frage zue c )
>
> [mm]U_{3}[/mm] := {f|f (-1)-f(1)=0} [mm]\subset[/mm] V
> => f(-1) = f(1)
> für bel. Abb. g,f gilt : f(-1)= f(1) und g(-1) = g(1)
Nicht für beliebige Abbildungen, sondern für Abbildungen, die in [mm] U_3 [/mm] sind.
> (f+g) (1) = f(1) + g(1) = f(-1) + g(-1) = (f+g)(-1) (1.
> Kriterium)
> (2.Kriterium = ?)
Was meinst Du jetzt mit 2.Kriterium? Was willst Du genau wissen?
> (3. Kriterium:)
> [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> [mm](\lambda*f)[/mm] (1) = [mm]\lambda[/mm] * (f(1)) = [mm]\lambda[/mm] * (f(-1))=
> [mm](\lambda[/mm] *f) (-1)
Das ist richtig.
> (hier hatte rollroll mit f(x) gearbeitet, aber f(-x) =
> f(x) gilt doch nur für x = 1, oder ?
Ja.
> Und was ist das dritte Kriterium ?
Die Kriterien:
U ist UVR von V, wenn
1. [mm] U\not=\emptyset, [/mm] andere Formulierung: [mm] 0_V\in [/mm] U
2. Summe ist drin
3. Produkt ist drin.
>
> zu der d)
> hab mir das so vorgestellt:
>
> [mm]U_{4}[/mm] := {f|f(-1)*f(1) =0} [mm]\subset[/mm] V
> für bel. Abb. f,g gilt: f(1)*f(-1) = g(1) * g(-1) = 0
> => f(1)=0 [mm]\vee[/mm] f(-1) =0 und g(1) = 0 [mm]\vee[/mm] g(-1) = 0
> wähle : f(1) = 0, f(-1) [mm]\not=[/mm] 0, [mm]g(1)\not=0[/mm] , g(-1) = 0
Nein. Du mußt hier zwei konkrete Funktionen als Gegenbeispiel angeben!
Widerlegen immer mit Gegenbeispiel.
Wenn Du schreibst "Wähle", wissen wir doch noch lange nicht, ob es solch eine Funktion überhaupt gibt. Davon mußt Du uns überzeugen, indem Du uns eine Funktion präsentierst - was ja keine Schwierigkeit sein dürfte.
Gruß v. Angela
> => (f+g) (1) * (f+g) (-1) =( f(1)+g(1)) * ((f(-1)+g(-1))=
> f(-1)*g(1) [mm]\not=[/mm] 0
> => (f+g) [mm]\not\in U_{4}[/mm]
> => kein UVR
>
>
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> Also gut, damit nicht alles durcheinander geht, das ganze
> nochmal von vorne:
>
> Überprüfe, ob folgende Mengen UVR sind. [mm]V=IR^{IR}=[/mm] {
> f|f:IR-->IR } und [mm]W=IR^{3}[/mm] sind dabei IR-VR.
>
> a) [mm]U_{1}=[/mm] { f|f injektiv } [mm]\subset[/mm] V
> b) [mm]U_{2}={ f| f(-1)-f(1)=0 } \subset[/mm] V
> c) [mm]U_{3}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ f | [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR: f(x) in Q } [mm]\subset[/mm] V
> d) [mm]U_{4}[/mm] = { f| f(-1)•f(1)=0 } [mm]\subset[/mm] V
> e) [mm]U_{5}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pmat{ \lambda_{1}- \lambda_{2} \\
\lambda_{2}+\lambda_{3} \\
\lambda_{3}-\lambda_{1} }[/mm]
> |alle [mm]\lambda \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR} [mm]\subset[/mm] W
> f) [mm]U_{6}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pmat{ \lambda \\
\lambda + \mu^{3} \\
\lambda - \mu^{3} }|[/mm]
> lambda , [mm]\mu \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IR} [mm]\subset[/mm] W
> g) [mm]U_{7}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pmat{ \lambda^{2} \\
- \lambda^{2} \\
0}} \subset[/mm]
> W
> Allgemein sind jeweils die 3 bedingungen zu prüfen:
> 1. U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2. x,y [mm]\in[/mm] U --> x+y [mm]\in[/mm] U
> 3. [mm]\lambda \in[/mm] IR --> [mm]\lambda[/mm] x [mm]\in[/mm] U
>
> zu a)
Hallo,
a) ist ja inzwischen geklärt.
> Für eine injektive Abbildung gilt: f(a)=f(b) <=>
> a=b
> 1. [mm]U_{1}[/mm] ist nicht leer
> Da ich vermute , dass es kein UVR ist, versuche ich ein
> gegenbeispiel zu konstruieren, also betrachte ich [mm]x-->x^{3}[/mm]
> ist injektiv. Jetzt ist mir aber nicht ganz klar, wie ich
> weiter verfahren soll.
Du könntest zeigen, daß für [mm] f(x):=x^3 [/mm] und [mm] g(x):=-x^3 [/mm] die Funktion f+g nicht injektiv ist.
Oder halt, daß 0*f nicht injektivist.
>
> zu b)
> 1. [mm]U_{2}[/mm] ist nicht leer.
Dann sag' ein Element welches drin ist. So ist das nur
eine Behauptung.
> Auch kein UVR: Betrachte x=2 in IR und [mm]\lambda[/mm] = [mm]\wurzel2[/mm]
> --> [mm]\lambda[/mm] x=2 [mm]\wurzel2[/mm] nicht in Q.
??? Ich sehe hier keinen Zusammenhang zu [mm] U_2.
[/mm]
Achso, Du redest von c). Chaos gepachtet, was?
Die Idee an sich ist gut, das was Du schreibst aber verheerend.
Du meinst sicher, daß man die Funktion [mm] f:\IR\to \IR [/mm] mit f(x):=2 betrachten soll.
In der Tat gilt dann für die Funktion [mm] \wurzel{2}f, [/mm] daß die Funktionswerte nicht aus [mm] \IQ [/mm] sind.
>
> zu c)
Das ist b). Wir sind ja flexibel.
> 1. s.o
s.o.
> 2.
Seien f,g [mm] \in U_2 [/mm] und [mm] \lambda\in \IR. [/mm] Dann ist f(1)=f(-1) und g(1)=g(-1).
Es ist
>(f+g)(1)=f(1)+g(1)=f(-1)+g(-1)=(f+g)(-1)
> 3. [mm](\lambda[/mm] f)(1)= [mm]\lambda[/mm] (f(1)) = [mm]\lambda[/mm] ( f(-1)) = ([mm]\lambda[/mm] f)(-1)
> --> UVR
Ja.
>
> zu d) 1. s.o
s.o.
> 2. Es muss ja gelten, dass entweder einer der Faktoren
> oder beide 0 sind.
Ja.
> Wenn beide 0 sind, ist es ein UVR.
???
In dem Vektorraum sind alle Funktionen, bei denen an der Stelle x=1 oder x=-1 der Funktionswert =0 ist.
> Jetzt muss man gucken, was passiert, wenn entweder f(1)
> oder f(-1) 0 ist.
> Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich dann das Kriterium
> umschreiben muss, also x * y statt x+y überprüfen
> muss...
Du mußt schauen, ob für beliebige Funktionen f,g, für welche f(1)*f(-1)=0=g(1)*g(-1) gilt,
auch die Summe in [mm] U_4 [/mm] ist, ob also gilt (f+g)(1)*(f+g)(-1)=0.
Falls nicht: konkretes Gegenbeispiel liefern.
Fürs 3.UR-Kriterim mußt Du gucken, ob [mm] \lambda [/mm] f in der Menge ist, ob also [mm] (\lambda f)(1)*(\lambda [/mm] f)(-1)=0 folgt.
>
> zu e)und zu f) weiß ich nicht wie ich mit den Kriterien
> ansetzen soll...
Tip:
überlege Dir, daß in [mm] U_5 [/mm] alle Vektoren sind, die man als [mm] \lambda_1\vektor{1\\0\\-1}+\lambda_2\vektor{-1\\1\\0}+\lambda_3\vektor{0\\1\\1} [/mm] schreiben kann.
Was ist ein Erzeugendensystem von [mm] U_5? [/mm] Eine Basis? Also?
Andere Vorgehensweise:
1. Sag einen Vektor, der drin ist.
2. Zeige, daß die Summe von $ [mm] \pmat{ \lambda_{1}- \lambda_{2} \\ \lambda_{2}+\lambda_{3} \\ \lambda_{3}-\lambda_{1} } [/mm] $ und $ [mm] \pmat{ \mu_{1}- \mu_{2} \\ \mu_{2}+\mu_{3} \\ \mu_{3}-\mu_{1} } [/mm] $ für alle [mm] \lambda_i, \mu_i [/mm] in der Menge ist, man also [mm] \nu_i [/mm] findet, so daß
$ [mm] \pmat{ \lambda_{1}- \lambda_{2} \\ \lambda_{2}+\lambda_{3} \\ \lambda_{3}-\lambda_{1} } [/mm] $+ $ [mm] \pmat{ \mu_{1}- \mu_{2} \\ \mu_{2}+\mu_{3} \\ \mu_{3}-\mu_{1} } [/mm] $=$ [mm] \pmat{ \nu_{1}- \nu_{2} \\ \nu_{2}+\nu_{3} \\ \nu_{3}-\nu_{1} } [/mm] $
3. Fürs Produkt analog.
zu f)
Mach dir klar, daß diese Menge erzeugt wird von [mm] \vektor{1\\1\\¹} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\-1}.
[/mm]
Jedes Element dieser Menge kann man als Linearkombination der beiden schreiben. Die Menge ist also die lineare Hülle dieser beiden Vektoren.
>
> zu g)
> kein UVR, zB. wählt man [mm]\alpha[/mm] =-1 und [mm]\lambda[/mm] = 2, dann
> wird aus
> (4/-4/0)--> (-4/4/0) aber [mm]\lambda^{2}[/mm] kann nicht -2 sein.
> Widerspruch
So, wie es jetzt dasteht, enthält die Menge [mm] U_7 [/mm] exakt ein Element.
Sofern [mm] \lambda=0, [/mm] ist diese einelementige Menge ein UVR, andernfalls nicht.
Gruß v. Angela
P.S.:
Stelle etwaige Rückfragen für jede Teilaufgabe getrennt.
Gib im Betreff die Teilaufgabe an, poste in der Rückfrage nochmal kurz die Menge, um die es geht und bisher gewonnene Erkenntnisse.
So besteht Aussicht, den Überblick zu behalten.
>
> So, jetzt bitte ich Euch um Eure tatkräftige
> Unterstützung.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Auch hier ist [mm] \lambda \in [/mm] IR, hab das nur vorher vergessen.
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> Auch hier ist [mm]\lambda \in[/mm] IR, hab das nur vorher vergessen.
Hallo,
daran, daß [mm] \lambda [/mm] irgendwie reell sein soll, hab' ich auch keine Zweifel.
Es ist aber ein Unterschied, ob dasteht
"Für [mm] \lambda\in \IR [/mm] sei $ [mm] U_{7}:=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }\} \subset [/mm] $ W"
oder
"$ [mm] U_{7}:=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }|\lambda\in \IR\} \subset [/mm] $ W".
Im ersten Fall haben wir eine einelementige Menge, die Frage nach der uVR-Eigenschaft ist bereits beantwortet,
und für den zweiten Fall hattest Du doch selbst zuvor schon ein Gegenbeispiel gefunden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
$ [mm] U_{7}:=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }|\lambda\in \IR\} \subset [/mm] $
Richtig, hier hatte ich ein gegenbeispiel angegeben, ich frage ich nur, ob vielelicht eine fallunterscheidung verlangt ist. Für negative [mm] \alpha [/mm] geht's nicht, aber für positive.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]U_{7}:=\{\pmat{ \lambda^{2} \\ - \lambda^{2} \\ 0 }|\lambda\in \IR\} \subset[/mm]
>
> Richtig, hier hatte ich ein gegenbeispiel angegeben, ich
> frage ich nur, ob vielelicht eine fallunterscheidung
> verlangt ist. Für negative [mm]\alpha[/mm] geht's nicht, aber für
> positive.
[mm] $u:=\pmat{ 1\\ - 1 \\ 0 } \in U_7$. [/mm] Gilt auch $-u [mm] \in U_7$ [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Nein ist nicht in [mm] U_{7}. [/mm] --> kein UVR.
zur d) [mm] (U_{4})
[/mm]
konkretes gegenbeispiel:
f:IR-->IR, x-->x-1
g:IR-->IR, x--> -2x-2
--> (f+g)(1)*(f+g)(-1)=(-4)(-2)=8 --> f+g nicht [mm] \in U_{4}
[/mm]
--> kein UVR
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
zur e) Da man den nullvektor nur mit der trivialen lösung erzeugen kann, ist es linaer unabhängig und da sich [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] und [mm] \lambda_{3} [/mm] für jeden beliebigen vektor aus [mm] IR^{3} [/mm] eindeutig angeben lassen, liegt ein Erzeugendensystem und damit insgesamt eine Basis vor.
Kann man rein aus diesen Tatsachen folgern , dass es ein UVR ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Do 01.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Oder folgert man etw. anderes daraus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Fr 02.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Hätte jemand noch schnell ne antwort?
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> zur e) Da man den nullvektor nur mit der trivialen lösung
> erzeugen kann, ist es
Hallo,
was meinst Du mit "es"? Das müßtest Du schon genauer sagen.
> linaer unabhängig und da sich
> [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}[/mm] und [mm]\lambda_{3}[/mm] für jeden
> beliebigen vektor aus [mm]IR^{3}[/mm] eindeutig angeben lassen,
> liegt ein Erzeugendensystem und damit insgesamt eine Basis
> vor.
Eine Basis wovon jetzt genau? Das solltest Du ausdrücklich sagen.
Was weißt Du nun über U_?? U_?=???
Wenn Dir das klar ist, kannst Du Dir die nächste Frage selbst beantworten:
> Kann man rein aus diesen Tatsachen folgern , dass es ein
> UVR ist?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Fr 02.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Nun ja, ehrlich gesagt bin ich jetzt ein bisschen überfragt, weil wir lineare abhängigkeiten, erzeugendensysteme und basen erst in der letzten vorlesung kennengelernt haben...
Eine Basis von [mm] IR^{3}?
[/mm]
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> Nun ja, ehrlich gesagt bin ich jetzt ein bisschen
> überfragt, weil wir lineare abhängigkeiten,
> erzeugendensysteme und basen erst in der letzten vorlesung
> kennengelernt haben...
> Eine Basis von [mm]IR^{3}?[/mm]
Ja klar!
Du hast doch festgestellt, daß das Erzeugendensystem Deines Unterraumes auch den [mm] \IR^3 [/mm] erzeugt und linear unabhängig ist. Also Basis des [mm] \IR^3, [/mm] und daß der ein VR ist, ist ja kein Geheimnis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:36 Fr 02.12.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok, super. ich folgere U_? ist UVR.
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