Untervektorräume, Endomorph < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
| Aufgabe | (i) Seien V ein K–Vektorraum und phi € (Element) EndK(V ) mit [mm] phi\circ [/mm] phi = phi. Zeigen Sie,
dass es Untervektorräume U,W von V gibt mit
(a) V = U [mm] \oplus [/mm] W,
(b) phi(W) = 0,
(c) phi(u) = [mm] u\forall [/mm] u € U.
(ii) Betrachten Sie die Untervektorräume
U1 = span [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
, U2 = span [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
von R4. Bestimmen sie Basen von U1 +U2, U1 \ U2, von einem Komplement
von U1 und vom Quotientenvektorraum R4/U1. |
Kann mir da jemand weiterhelfen?
ich weiß was eine direkte summe ist und was ein endomorphismus ist aber komme nicht weiter :/
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Untervektorraeume-und-Endomorphismen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
So ganz ohne eigene Ansätze geht das in diesem Forum nicht !
Dennoch ein Tipp zu (i):
Definiere [mm] W:=Kern(\phi) [/mm] und [mm] U:=Bild(\phi)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
es geht jetzt um (ii) da ich (i) überhaot nicht hinbekomme..
ich habe u1+u2 und U1nU2.
Aber die anderen beiden bekomme ich nicht hin.
Ein Komplement ist doch das was senkrecht auf den Vektoren steht oder seh ich das falsch?
wie rechne ich das aus?
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> es geht jetzt um (ii) da ich (i) überhaot nicht
> hinbekomme..
Hallo,
woran scheitert es denn bei der (i)?
Fred hat Dir doch schon passende Unterräume U und W geliefert, so daß Du diese Sorgen schonmal los bist und nur noch zeigen mußt, daß sie tun, was sie sollen.
Was hast Du versucht?
LG Angela
> ich habe u1+u2 und U1nU2.
> Aber die anderen beiden bekomme ich nicht hin.
> Ein Komplement ist doch das was senkrecht auf den Vektoren
> steht oder seh ich das falsch?
> wie rechne ich das aus?
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> ich habe u1+u2 und U1nU2.
Hallo,
dürfen wir die Ergebnisse erfahren?
> Aber die anderen beiden bekomme ich nicht hin.
Wo liegen die Probleme? Das müssen wir wissen, damit wir Dir sinnvoll helfen können.
> Ein Komplement ist doch das was senkrecht auf den Vektoren
> steht oder seh ich das falsch?
Gesucht ist ein Komplement von [mm] U_1.
[/mm]
Das ist ein Unterraum U' des [mm] \IR^4 [/mm] mit [mm] \IR^4=U_1\oplus [/mm] U'.
> wie rechne ich das aus?
Die Basen von [mm] U_1 [/mm] und U' müssen zusammengeworfen eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergeben...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
Meine Lösungen wären laut dem Zassenhaus:
U1+U2: [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \pmat{ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
U1nU2 : [mm] \pmat{ -1 \\ -2 \\ -1 \\ -1} [/mm] also [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Bei dem Komplement muss ich dann so vorgehen, dass ich die gegebenen Vektoren als MAtrix aufschreibe und sie dann mit Nullen zu einem quadratischen Gebilde erweitere und dann die Dreiecksform herbeiführe und dann sie durch die Einheitsvektoren erweitere?
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> Meine Lösungen wären laut dem Zassenhaus:
> U1+U2: [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} \pmat{ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> U1nU2 : [mm]\pmat{ -1 \\ -2 \\ -1 \\ -1}[/mm] also [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hallo,
das deckt sich mit meiner Rechnung.
>
> Bei dem Komplement muss
Du kannst
> ich dann so vorgehen, dass ich die
> gegebenen Vektoren als MAtrix aufschreibe und sie dann mit
> Nullen zu einem quadratischen Gebilde erweitere und dann
> die Dreiecksform herbeiführe und dann sie durch die
> Einheitsvektoren erweitere?
Ich glaube, Du meinst es richtig.
LG Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
Ich glaube ich habe es falsch, es kam jetzt raus
[mm] span(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }) [/mm] n [mm] span(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
und
für [mm] R^4 span(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }) +span(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
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> Ich glaube ich habe es falsch, es kam jetzt raus
> [mm]span(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 })[/mm]
> n [mm]span(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
> und
> für [mm]R^4 span(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }) +span(\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
Hallo,
ein bißchen Zusammenhang wäre nicht schlecht.
Wofür hast Du das raus? Was wolltest Du berechnen, und warum glaubst Du, es ist falsch?
Auf das, was Du schreibst, kann ich mir ohne Hilfe keinen Reim machen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
Ich komme einfach nicht weiter, ich weiß nicht was ich damit machen soll usw.
kann sein dass ich auch einfach gerade auf dem schlauch stehe aber ich komm nicht weiter
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> Ich komme einfach nicht weiter, ich weiß nicht was ich
> damit machen soll usw.
Hallo,
Deine Frage ist nicht sehr konkret.
Was hast Du denn bisher überlegt?
Du hast einen Endomorphismus auf V mit [mm] \phi\circ\phi=\phi.
[/mm]
Du möchtest für [mm] W:=Kern\phi [/mm] und [mm] U:=Bild\phi [/mm] zunächst zeigen, daß
[mm] V=U\oplus [/mm] W.
Was mußt Du denn zeigen, wenn Du die Gleicheit zweier Mengen (hier: V und [mm] U\oplus [/mm] W) zeigen möchtest?
Was ist zu zeigen, wenn Du die Direktheit der Summe von U und W zeigen möchtest?
> kann sein dass ich auch einfach gerade auf dem schlauch
> stehe aber ich komm nicht weiter
Meist liegt es nicht an irgendwelchen ominösen Schläuchen, sondern an der Unkenntnis der der Aufgabe zugrundeliegenden Definitionen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
Ja um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen muss ich zeigen dass jedes v Element V auch ein v Element [mm] U\oplus [/mm] W ist.
Für die Direktheit einer Summe muss ich zeigen , dass der Schnitt die leere Menge ist und eigentlich dass die Summe auch so stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen muss ich
> zeigen dass jedes v Element V auch ein v Element [mm]U\oplus[/mm] W
> ist.
Für V=[mm]U\oplus[/mm] W musst Du zeigen: ist v [mm] \in [/mm] V, so gibt es u [mm] \in [/mm] U und w [mm] \in [/mm] W mit: v=u+w.
>
> Für die Direktheit einer Summe muss ich zeigen , dass der
> Schnitt die leere Menge ist
Nein ! Du must zeigen: [mm]U\cap[/mm] W= [mm] \{0\}
[/mm]
FRED
> und eigentlich dass die Summe
> auch so stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Selina93 |
ok ich probiere mich daran und teile das ergebnis mit , falls ich auf eines komme :=
danke nochmal!
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