Untervektorräume bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
meine Aufgabe ist, zu zeigen, welche Teilmengen des [mm] \IR^3 [/mm] Untervektorräume sind:
1. {(x,y,z)| x + y + z = 0} [mm] \cup [/mm] {(x,y,z)| x - y + 2z= 0}
Wie genau funktioniert das Überprüfen von UV 1 (Nullvektor (0,0,0)), UV 2 (Addition v+w (Elemente von W) [mm] \in [/mm] W) und UV 3 (Multiplikation von [mm] \lambda [/mm] (Elemement K), v (Element W)) bei Vereinigungsmengen? (Mir ist bekannt, dass die Vereinigungsmenge die Menge der Elemente ist, die in W oder W' oder in beiden enthalten ist. UV 1 müsste also erfüllt sein. Mit welchen Elementen überprüfe ich aber die Addition bzw. Multiplikation?
2. Zu zeigen, welche Teilmengen des [mm] \IR- [/mm] Vektorruams Abb [mm] (\IR, \IR) [/mm] der funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] Untervektorräume sind:
a) {f | f(4) = 0}
Dies ist doch kein Untervektorraum, weil ich keine Nullabbildung habe (UV1 also nicht erfüllt ist), oder? Ich erhalte ja nur durch f (4) = 0.
b) {f | f(0) = 4}
Dies ist doch auch kein Untervektorraum, weil [mm] f(0)\not= [/mm] 0, oder???
c) und d) Hier komme ich gar nicht weiter, mir fehlt jeglicher Ansatz:
c) {f | f ist ein Polynom vom Grad n }
d) {f | f ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n}
Ich hoffe, mir kann je,and weiterhelfen...,
VIELEN Lieben Dank schon einmal im Voraus und ein Kompliment an dieses Forum;)
Liebe Grüße
Nescio
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Hi
> meine Aufgabe ist, zu zeigen, welche Teilmengen des [mm]\IR^3[/mm]
> Untervektorräume sind:
>
> 1. {(x,y,z)| x + y + z = 0} [mm]\cup[/mm] {(x,y,z)| x - y + 2z= 0}
>
> Wie genau funktioniert das Überprüfen von UV 1 (Nullvektor
> (0,0,0)), UV 2 (Addition v+w (Elemente von W) [mm]\in[/mm] W) und UV
> 3 (Multiplikation von [mm]\lambda[/mm] (Elemement K), v (Element
> W)) bei Vereinigungsmengen? (Mir ist bekannt, dass die
> Vereinigungsmenge die Menge der Elemente ist, die in W oder
> W' oder in beiden enthalten ist. UV 1 müsste also erfüllt
> sein.
Richtig
> Mit welchen Elementen überprüfe ich aber die Addition
> bzw. Multiplikation?
Wenn du die Vereinigung von zwei Mengen W, W' hast mußt du UV2 und UV3 für alle Kombinationen überprüfen:
w1,w2 [mm] \in [/mm] W und v1,v2 [mm] \in [/mm] W' beliebig (wichtig ist hier das w1,w2,v1,v2 allgemeine Vektoren aus W bzw. W' sind)
jetzt mußt du nachprüfen ob w1+w2, w1+v1, v1+v2 in W [mm] \cup [/mm] W' und
[mm]\lambda(w1)[/mm], [mm]\lambda(w1+v1)[/mm], [mm]\lambda(v1)[/mm] in W [mm] \cup [/mm] W' liegen.
(Den zweiten Teil (UV3) kannst du etwas kürzen: es reicht zu zeigen das
[mm] \lambda(w1+v1) \in [/mm] W [mm] \cup [/mm] W' ist, denn da w1 und v1 beliebig sind, kannst du w1 bzw. v1 gleich dem Nullvektor setzen und das impliziert die anderen beiden Bedingungen). (das funktioniert allerdings nur, wenn der Nullvektor in beiden Mengen enthalten ist (was hier der Fall ist)).
> 2. Zu zeigen, welche Teilmengen des [mm]\IR-[/mm] Vektorruams Abb
> [mm](\IR, \IR)[/mm] der funktion f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] Untervektorräume
> sind:
>
> a) {f | f(4) = 0}
> Dies ist doch kein Untervektorraum, weil ich keine
> Nullabbildung habe (UV1 also nicht erfüllt ist), oder? Ich
> erhalte ja nur durch f (4) = 0.
Falsch die Nullabbildung ist f(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
>
> b) {f | f(0) = 4}
> Dies ist doch auch kein Untervektorraum, weil [mm]f(0)\not=[/mm] 0,
> oder???
Richtig, weil [mm]\exists x \in \IR : f(x) \not= 0 \forall f [/mm]
> c) und d) Hier komme ich gar nicht weiter, mir fehlt
> jeglicher Ansatz:
> c) {f | f ist ein Polynom vom Grad n }
Tipp: Überlege dir mal welchen Grad die Nullabbildung hat
(bzw. schau dir die Definition des Grades der Nullabbildung an)
> d) f | f ist ein Polynom vom Grad [mm]\le n[/mm]
Definiere dir einfach beliebige Polynome
[mm]f(x):=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}[/mm]
[mm]g(x):=b_{n}x^{n}+...+b_{1}x+b_{0}[/mm]
mit [mm]a_{i},b_{j}\in\IR[/mm] (wobei beliebige [mm]a_{i},b_{j}[/mm] auch Null sein können) [mm]1 \le i,j \le n[/mm]
jetzt rechnest du damit einfach die Untervektorraumaxiome nach
Ich hoffe ich konnte dir helfen
Gruß Deathwalker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Deathwalker,
vielen lieben DANK für deine Antwort. Ich habe aber trotzdem leider noch ein paar Fragen:
Habe bei 1. W:= {(x,y,z)| x + y + z = 0} [mm] \cup [/mm] W':={(x,y,z)| x - y + 2z= 0}
bzgl. UV 2 (Addition) folgende Verknüpfungen aufgestellt:
Es seien v= [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in [/mm] W; [mm] v'=(v_{1}', v_{2}', v_{3}') \in [/mm] W' und
w= [mm] (w_{1}, w_{2}, w_{3}) \in [/mm] W, w'= [mm] (w_{1}', w_{2}', w_{3}') \in [/mm] W'
Zu überprüfen:
v+v'= [mm] (v_{1} [/mm] + [mm] v_{1}', v_{2}+ v_{2}', v_{3} [/mm] + [mm] v_{3}')
[/mm]
w+v= [mm] (w_{1} [/mm] + [mm] v_{1}, w_{2}+ v_{2}, w_{3} [/mm] + [mm] v_{3})
[/mm]
v'+ w'= [mm] v_{1}' [/mm] + [mm] w_{1}', v_{2}'+ w_{2}', v_{3}' [/mm] + [mm] w_{3}')
[/mm]
w+ [mm] w'=(w_{1} [/mm] + [mm] w_{1}', w_{2}+ w_{2}', w_{3} [/mm] + [mm] w_{3}')
[/mm]
[mm] w'+v=(w_{1}' [/mm] + [mm] v_{1}', w_{2}'+ v_{2}', w_{3}' [/mm] + [mm] v_{3}')
[/mm]
Ich weiß jetzt aber gar nicht, wie genau ích sehen kann, ob die Summe von den verschiedenen Elementen tatsächlich in einer der beiden Mengen oder gar in beiden definiert ist. Wie kann man das denn genau rechnen?
Zu den Polynomaufgaben:
- {f | f ist ein Polynom vom Grad n }
Eine Nullabbildung muss doch f(x)= 0 sein, oder? Eine Polynomfunktion wird doch dann 0, wenn alle Koeffizienten Null sind. Der Gerad ist glaub ich nach Definition dann -1. Aber was bringt mir das für meine Rechnung? Was kann ich damit überhaupt anfangen? Wie soll ich denn eine Addition und Multiplikation durchrechnen?
Das gleiche Problem habe ich auch mit der nachfolgenden Aufgabe:
- {f | f ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n}
Ich hoffe, Ihr könnt mir weiterhelfen;),
vielen Dank;)
liebe Grüße
Nescio
Ich hoffe, mir kann je,and weiterhelfen...,
VIELEN Lieben Dank schon einmal im Voraus und ein Kompliment an dieses Forum;)
Liebe Grüße
Nescio
> Hi
>
> > meine Aufgabe ist, zu zeigen, welche Teilmengen des [mm]\IR^3[/mm]
> > Untervektorräume sind:
> >
> > 1. {(x,y,z)| x + y + z = 0} [mm]\cup[/mm] {(x,y,z)| x - y + 2z= 0}
> >
> > Wie genau funktioniert das Überprüfen von UV 1 (Nullvektor
> > (0,0,0)), UV 2 (Addition v+w (Elemente von W) [mm]\in[/mm] W) und UV
> > 3 (Multiplikation von [mm]\lambda[/mm] (Elemement K), v (Element
> > W)) bei Vereinigungsmengen? (Mir ist bekannt, dass die
> > Vereinigungsmenge die Menge der Elemente ist, die in W oder
> > W' oder in beiden enthalten ist. UV 1 müsste also erfüllt
> > sein.
> Richtig
>
>
> > Mit welchen Elementen überprüfe ich aber die Addition
> > bzw. Multiplikation?
> Wenn du die Vereinigung von zwei Mengen W, W' hast mußt du
> UV2 und UV3 für alle Kombinationen überprüfen:
> w1,w2 [mm]\in[/mm] W und v1,v2 [mm]\in[/mm] W' beliebig (wichtig ist hier
> das w1,w2,v1,v2 allgemeine Vektoren aus W bzw. W' sind)
> jetzt mußt du nachprüfen ob w1+w2, w1+v1, v1+v2 in W [mm]\cup[/mm]
> W' und
> [mm]\lambda(w1)[/mm], [mm]\lambda(w1+v1)[/mm], [mm]\lambda(v1)[/mm] in W [mm]\cup[/mm] W'
> liegen.
> (Den zweiten Teil (UV3) kannst du etwas kürzen: es reicht
> zu zeigen das
> [mm]\lambda(w1+v1) \in[/mm] W [mm]\cup[/mm] W' ist, denn da w1 und v1
> beliebig sind, kannst du w1 bzw. v1 gleich dem Nullvektor
> setzen und das impliziert die anderen beiden Bedingungen).
> (das funktioniert allerdings nur, wenn der Nullvektor in
> beiden Mengen enthalten ist (was hier der Fall ist)).
>
>
> > 2. Zu zeigen, welche Teilmengen des [mm]\IR-[/mm] Vektorruams Abb
> > [mm](\IR, \IR)[/mm] der funktion f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] Untervektorräume
> > sind:
> >
> > a) {f | f(4) = 0}
> > Dies ist doch kein Untervektorraum, weil ich keine
> > Nullabbildung habe (UV1 also nicht erfüllt ist), oder? Ich
> > erhalte ja nur durch f (4) = 0.
> Falsch die Nullabbildung ist f(x)=0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
>
> >
> > b) {f | f(0) = 4}
> > Dies ist doch auch kein Untervektorraum, weil [mm]f(0)\not=[/mm]
> 0,
> > oder???
> Richtig, weil [mm]\exists x \in \IR : f(x) \not= 0 \forall f[/mm]
>
>
> > c) und d) Hier komme ich gar nicht weiter, mir fehlt
> > jeglicher Ansatz:
> > c) {f | f ist ein Polynom vom Grad n }
> Tipp: Überlege dir mal welchen Grad die Nullabbildung hat
> (bzw. schau dir die Definition des Grades der
> Nullabbildung an)
>
>
> > d) f | f ist ein Polynom vom Grad [mm]\le n[/mm]
>
> Definiere dir einfach beliebige Polynome
> [mm]f(x):=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}[/mm]
> [mm]g(x):=b_{n}x^{n}+...+b_{1}x+b_{0}[/mm]
> mit [mm]a_{i},b_{j}\in\IR[/mm] (wobei beliebige [mm]a_{i},b_{j}[/mm] auch
> Null sein können) [mm]1 \le i,j \le n[/mm]
> jetzt rechnest du damit
> einfach die Untervektorraumaxiome nach
>
>
> Ich hoffe ich konnte dir helfen
> Gruß Deathwalker
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Hi
> Habe bei 1. W:= {(x,y,z)| x + y + z = 0} [mm]\cup[/mm]
> W':={(x,y,z)| x - y + 2z= 0}
> bzgl. UV 2 (Addition) folgende Verknüpfungen aufgestellt:
> Es seien v= [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in[/mm] W; [mm]v'=(v_{1}', v_{2}', v_{3}') \in[/mm]
> W' und
> w= [mm](w_{1}, w_{2}, w_{3}) \in[/mm] W, w'= [mm](w_{1}', w_{2}', w_{3}') \in[/mm]
> W'
> Zu überprüfen:
> [mm]v+v'=(v_{1}+ v_{1}', v_{2}+ v_{2}', v_{3}+ v_{3}')[/mm]
> [mm]w+v=(w_{1}+ v_{1}, w_{2}+ v_{2}, w_{3}+ v_{3})[/mm]
> [mm]v'+ w'=(v_{1}'+ w_{1}', v_{2}'+ w_{2}', v_{3}'+ w_{3}')[/mm]
> [mm]w+ w'=(w_{1}+ w_{1}', w_{2}+ w_{2}', w_{3}+ w_{3}')[/mm]
> [mm]w'+v=(w_{1}'+ v_{1}', w_{2}'+ v_{2}', w_{3}'+ v_{3}')[/mm]
>
Die letzten beiden Bedingungen sind überflüßig, da man das schon mit der ersten erledigt.
Ich beginne mal mit der Zweiten:
Also für [mm]v[/mm] gilt ja [mm]v_{1}+ v_{2}+ v_{3}= 0[/mm]
und für [mm]w[/mm] gilt ja [mm]w_{1}+ w_{2}+ w_{3}= 0[/mm]
man will jetzt zeigen das [mm]v+w[/mm] in W [mm] \cup [/mm] W' liegt, d.h.
[mm]w+v=(w_{1}+ v_{1}, w_{2}+ v_{2}, w_{3}+ v_{3})[/mm] erfüllt [mm](w_{1}+ v_{1})+ (w_{2}+ v_{2})+ (w_{3}+ v_{3})= 0[/mm] oder [mm](w_{1}+ v_{1})- (w_{2}+ v_{2})+ 2(w_{3}+ v_{3})= 0[/mm].
Man rechnet jetzt leicht nach dass gilt: [mm](w_{1}+ v_{1})+ (w_{2}+ v_{2})+ (w_{3}+ v_{3})= w_{1}+ v_{1}+ w_{2}+ v_{2}+ w_{3}+ v_{3}= (w_{1}+ w_{2}+ w_{3})+ (v_{1}+ v_{2}+ v_{3})= 0+ 0= 0[/mm]
Das heißt [mm]v+w[/mm] liegt in W [mm] \cup [/mm] W'
Bei der ersten gilt jetzt für [mm]v[/mm] : [mm]v_{1}+ v_{2}+ v_{3}= 0[/mm] und für [mm]v'[/mm] : [mm]v_{1}'- v_{2}'+ 2v_{3}'= 0[/mm] mit diesen beiden Vorraussetzungen mußt du jetzt nachrechnen ob für [mm]v+v'=(v_{1}+ v_{1}', v_{2}+ v_{2}', v_{3}+ v_{3}')[/mm] eine der beiden Gleichungen [mm](v_{1}+ v_{1}')+ (v_{2}+ v_{2}')+ (v_{3}+ v_{3}')= 0[/mm] oder [mm](v_{1}+ v_{1}')- (v_{2}+ v_{2}')+ 2(v_{3}+ v_{3}')= 0[/mm] gilt oder keine der beiden Gleichungen erfüllt sind.
Dann das ganz noch für [mm]v'+ w'=(v_{1}'+ w_{1}', v_{2}'+ w_{2}', v_{3}'+ w_{3}')[/mm]
> Ich weiß jetzt aber gar nicht, wie genau ích sehen kann, ob
> die Summe von den verschiedenen Elementen tatsächlich in
> einer der beiden Mengen oder gar in beiden definiert ist.
> Wie kann man das denn genau rechnen?
>
Wie oben muß man nur nachrechnen ob die Komponenten der neu gebildeten Vektoren eine der beiden Gleichungen (die die Mengen definieren) erfüllt sind. (Dann ist ja der Vektor ein Element in dieser Menge).
> Zu den Polynomaufgaben:
> - {f | f ist ein Polynom vom Grad n }
> Eine Nullabbildung muss doch f(x)= 0 sein, oder?
Richtig
> Eine Polynomfunktion wird doch dann 0, wenn alle Koeffizienten
> Null sind.
Im Fall der reellen Zahlen ist das Richtig (wenn man jedoch einen endlichen Körper hat ist dies nicht mehr Richtig, aber für den hier vorliegenden Fall stimmt deine Aussage)
>Der Gerad ist glaub ich nach Definition dann -1.
In meiner LA-Vorlesung wurde der Grad als - [mm] \infty [/mm] definiert
> Aber was bringt mir das für meine Rechnung? Was kann ich
> damit überhaupt anfangen? Wie soll ich denn eine Addition
> und Multiplikation durchrechnen?
Überlege mal: die Nullabbildung hat einen Grad [mm] \not= [/mm] n.Daraus folgt das UV1 nicht erfüllt ist
> Das gleiche Problem habe ich auch mit der nachfolgenden
> Aufgabe:
> { f | f ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n}
>
Also sei
{ f | f ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n} =: M
[mm]f(x):=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}[/mm]
[mm]g(x):=b_{n}x^{n}+...+b_{1}x+b_{0}[/mm]
Man prüft jetzt die einzelnen Untervektorraumaxiome nach:
UV1: die Nullabbildung hat einen Grad < n, also ist sie ein Element von M
(UV1 erfüllt)
UV2: [mm]f(x)+g(x)= (a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0})+ (b_{n}x^{n}+...+b_{1}x+b_{0})= (a_{n}+ b_{n})x^{n}+ ...+ (a_{1}+ b_{1})x+ (a_{0}+ b_{0})[/mm] das ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n, also ist [mm]f(x)+g(x)[/mm] [mm] \in [/mm] M (UV2 erfüllt)
UV3:
Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] beliebig
[mm]\lambda*f(x)= (\lambda*a_{n})x^{n}+...+(\lambda*a_{1})x+(\lambda*a_{0})[/mm] das ist ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n, also ist [mm]\lambda*f(x)[/mm] [mm] \in [/mm] M (UV3 erfüllt)
Also ist M ein Untervektorraum.
Ich hoffe dir ist jetzt alles klar
Gruß Deathwalker
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