Untervektorräume nachweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Di 13.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Welche der folgende Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?
(a) W = [ [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] | [mm] x_{1}x_{2}x_{3}\ge [/mm] 0 [mm] \subset \IR³ [/mm] ]
(b) W = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -3} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\-1} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} \subset \IR³
[/mm]
(c) W = [mm] [f\in\IR[/mm] [t]|f(a)=1] [mm] \subset \IR[/mm] [t]
(d) W = [mm] [f\inIR[/mm] [t][mm] |f(a)=f'(a)=0]\IR[/mm] [t] |
Hallo alle miteinander,
irgendwie habe ich bei den Untervektorräumen noch große Probleme, sie als solche zu identifizieren. Bisher habe ich das anscheinend nach Gefühl gemacht, aber für die Prüfung würde ich es schon gerne können ohne Pokern zu müssen.
bei (a) wäre ich wie folgt vorgegangen:
1. da 0 [mm] \in [/mm] W ist W [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Additivität? Überprüfen
[mm] \forall u_{1}u_{2}u_{3}, v_{1}v_{2}v_{3} \in [/mm] W muss gelten: [mm] u_{1}u_{2}u_{3}+ v_{1}v_{2}v_{3} \in [/mm] W
da [mm] u_{1}u_{2}u_{3} \ge [/mm] 0 und [mm] v_{1}v_{2}v_{3} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow u_{1}u_{2}u_{3}+ v_{1}v_{2}v_{3} \ge [/mm] 0
3. Multiplikation
[mm] \forall \lambda \in [/mm] IR, u [mm] \in [/mm] W muss gelten: [mm] \lambda [/mm] * u [mm] \in [/mm] W
Behauptung: [mm] \lambda [/mm] * u [mm] \not\in [/mm] W
Beweis: sei [mm] \lambda [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] * u < 0, [mm] \not\in [/mm] W
[mm] \Rightarrow [/mm] W ist kein UVR, Da die Multiplikation nicht erfüllt ist!
(b) ist meiner Meinung nach au kein UVR, da: wenn, [mm] \lambda,\mu [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] u+v = [mm] \vektor{1\\1\\-1}+\vektor{3\\2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{4\\2\\-1} \not\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] kein UVR, da sich dieser Vektor nicht als Linearkombination von W schreiben lässt
(c) Hier beginnen die Probleme. Besonders, weil ich nicht einmal weiß, was diese Vorschrift genau besagt. Ich denke, dass es sich hierbei um ein Polynom handelt? (oder was bedeutet [t]?, für das Gilt, dass f(1) = 1 ist.
da demnach 1 [mm] \in [/mm] W liegt, ist die erste BEdingung ( [mm] \not= \emptyset [/mm] ) erfüllt. Jedoch weiß ich an dieser Stelle nicht weiter!
(d)da laut vorschrift 0 [mm] \in [/mm] W, ist auch hier die erste Bedingung ( [mm] \not= \emptyset [/mm] ) erfüllt.
Jedoch weiß ich auch hier nicht weiter.
Wäre super, wenn mir einer die c,d erklären könnte, sodass ich eine Ahnung bekomme, was ich überhaupt rechnen muss.
Vielen lieben Dank im Voraus,
juthe
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Hallo juthe,
deine Argumentation zu (a) ist fast vollkommen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Die Elemente [mm] u,v\in [/mm] W sind [mm] u=\vektor{u_1 \\ u_2 \\u_3}, v=\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] mit [mm] u_1u_2u_3\ge [/mm] 0 und [mm] v_1v_2v_3\ge [/mm] 0
Die anderen Aufgaben sind aber sehr schwer leserlich.
Könntest du da bitte nochmal die Aufgabenstellung bearbeiten.
Da haben sich wohl ein paar Fehler bei der Eingabe mit dem Editor eingeschlichen.
Gruß
schachuzipus
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Hoi,
da hab ich Mist erzählt ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
nimm mal [mm] u=\vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] und [mm] v=\vektor{-5 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Die sind beide [mm] \in [/mm] W, denn [mm] 1\cdot{}1\cdot{}3 \ge [/mm] 0 und (-5)1(-1) [mm] \ge [/mm] 0
ABER [mm] u+v=\vektor{-4 \\ 2 \\ 2} \not\in [/mm] W ,da [mm] (-4)2\cdot{}2 [/mm] < 0
also ist W nicht abgeschlossen bzgl +, also kein VR
Sorry nochmal
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 14.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab deine eingabe korrigiert, bitte seh deine posts IMMER mit Vorschau an, auch wenn das was Zeit kostet!
> Welche der folgende Mengen sind Untervektorräume der
> angegebenen Vektorräume?
> (a) W = [ [mm](x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] | [mm]x_{1}x_{2}x_{3}\ge[/mm] 0
> [mm]\subset \IR³[/mm] ]
>
> (b) W = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -3}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\vektor{1\\1\\-1}[/mm] + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 0} \subset \IR³[/mm]
>
> (c) W = [mm][f\in\IR[/mm] [t]|f(a)=1] [mm]\subset \IR[/mm] [t]
>
> (d) W = [mm][f\inIR[/mm] [t][mm]|f(a)=f'(a)=0]\IR[/mm] [t]
> Hallo alle miteinander,
> irgendwie habe ich bei den Untervektorräumen noch große Probleme, sie als solche zu identifizieren. Bisher habe ich das anscheinend nach Gefühl gemacht, aber für die Prüfung würde ich es schon gerne können ohne Pokern zu müssen.
> bei (a) wäre ich wie folgt vorgegangen:
> 1. da 0 [mm]\in[/mm] W ist W [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2. Additivität? Überprüfen
> [mm]\forall u_{1}u_{2}u_{3}, v_{1}v_{2}v_{3} \in[/mm] W muss gelten: [mm]u_{1}u_{2}u_{3}+ v_{1}v_{2}v_{3} \in[/mm] W
falsch, es muss gelten [mm] (u1+v1)*(u2+v2)*(u3+v3)\ge [/mm] 0
das ist nicht sicher siehe Bsp im anderen post.
deshalb kein UVR
> da [mm]u_{1}u_{2}u_{3} \ge[/mm] 0 und [mm]v_{1}v_{2}v_{3} \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow u_{1}u_{2}u_{3}+ v_{1}v_{2}v_{3} \ge[/mm] 0
>
> 3. Multiplikation
> [mm]\forall \lambda \in[/mm] IR, u [mm]\in[/mm] W muss gelten: [mm]\lambda[/mm] * u [mm]\in[/mm] W
> Behauptung: [mm]\lambda[/mm] * u [mm]\not\in[/mm] W
> Beweis: sei [mm]\lambda[/mm] < 0 [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] * u < 0, [mm]\not\in[/mm] W
richtig, aber falsch beschrieben! denn es muss [mm] \lambda^3*u1u2u3\ge0 [/mm] gelten. Vektoren koennen nicht [mm] \ge [/mm] 0 sein
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] W ist kein UVR, Da die Multiplikation nicht erfüllt ist!
>
> (b) ist meiner Meinung nach au kein UVR, da: wenn, [mm]\lambda,\mu[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] u+v = [mm]\vektor{1\\1\\-1}+\vektor{3\\2\\0}[/mm] = [mm]\vektor{4\\2\\-1} \not\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] kein UVR, da sich dieser Vektor nicht als Linearkombination von W schreiben lässt
so falsch, warum laesst du den ersten vektor einfach weg? [mm] \mu=\lambda=1 [/mm] gehoert doch per Def. zur menge!
wenn du 2 mit versch [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] addierst, gehoeren sie wieder dazu, also Summe ist hier erfuellt!
dies ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] aber da sie nicht durch 0 geht, also den 0vektor nicht enthaelt ist sie kein UVR.
jeder Vektorraum muss den 0-Vektor enthalten!
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> (c) Hier beginnen die Probleme. Besonders, weil ich nicht einmal weiß, was diese Vorschrift genau besagt. Ich denke, dass es sich hierbei um ein Polynom handelt? (oder was bedeutet [t]?, für das Gilt, dass f(1) = 1 ist.
f(t) ist eine reellwertige beliebige Funktion. ihr Wert bei a, also f(a) ist 1. du kannst leicht zeigen, wenn fausW und g aus W ist f+g nicht aus W denn h=f+g, [mm] h(a)=2\ne1
[/mm]
d)wieder f diesmal stetige und differenzierbare fkt, wenigstens bei t=a,
1.f=0 gehoert dazu,
2. Summe ok,
3. Produkt mit r ok
also UVR
Gruss leduart
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> da demnach 1 [mm]\in[/mm] W liegt, ist die erste BEdingung ( [mm]\not= \emptyset[/mm] ) erfüllt. Jedoch weiß ich an dieser Stelle nicht weiter!
>
> (d)da laut vorschrift 0 [mm]\in[/mm] W, ist auch hier die erste Bedingung ( [mm]\not= \emptyset[/mm] ) erfüllt.
> Jedoch weiß ich auch hier nicht weiter.
> Wäre super, wenn mir einer die c,d erklären könnte, sodass ich eine Ahnung bekomme, was ich überhaupt rechnen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 14.03.2007 | | Autor: | juthe |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
danke für Eure Hilfe.
Das mit der Eingabe hat nicht funktioniert, aber wenn ich ehrlich bin, weiß ich nicht warum, weil das, was der PC mir gesagt hat (z.b. es fehlt eine zweite Klammer } ) hatte ich da stehen, aber er hat es irgendwie nicht akzeptiert.
Werde es mir mal noch mal durchgucken, und meld mich dann noch mal...
Gruß Juthe
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