Untervektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mi 29.11.2006 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit den Untervekorräumen U und W. Zeigen Sie: U [mm] \cup [/mm] W ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
i.) U [mm] \subset [/mm] W
ii.) W [mm] \subset [/mm] U |
hallo zusammen...
also wir sind mal wieder sprachlos...!! diese aufgabe kann doch wohl nicht soo schwer sein oder??!!! aber irgendwie checken wir trotzdem nicht wie wir auf den ansatz kommen sollen!!!! ich meine die folgenden axiomen für die untervektoren konnen wir nachvollziehen, aber vor unseren augen sind diese nur definitionen, wie sollen wir das denn hierfür verwenden??!!!
kann uns da jemad einen tipp gebeen??; wäre echt toll!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg solero cru
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mi 29.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also du musst doch zeigen, dass :
es gilt i) oder ii) [mm] $\gdw U\cup [/mm] V$ ist UVR
die hinrichtung ist doch trivial, oder?
und für die rückrichtung würde ich per widerspruch argumentieren:
sei $ [mm] U\cup [/mm] V$ ein UVR aber es gelte weder i) noch ii) , also gibt es einen vektor u, der in U aber nicht in V vorkommt und einen Vektor v der in V aber nicht in U vorkommt.
u und v kommen also auch in [mm] $U\cup [/mm] V$ vor und weil dies ein UVR ist, müsste auch (u+v) in [mm] $U\cup [/mm] V$ liegen, aber kann das sein?!?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mi 29.11.2006 | | Autor: | solero |
erstmal vielen dank für deine antwort!!!
die hinrichtung könnten wir noch nachvollziehen, aber ist die rückrichtung verstehe ich nicht ganz, ich meine das klingt so widersprüchlich. wenn U U W ist kann doch nicht " weder i.) und ii.) gelten... kannst du das evtl. bitte nochmal erklären was du genau damit meinst??
danke!
solero cru
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:02 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Satz ist fuer die Vereinigungsmenge denk ich einfach falsch. nimm U aufgespannt durch (1,0,0) und (0,1,0)
W durch (0,0,1) die Vereinigung waere aufgespannt von allen 3 en, also etwa der [mm] R^3. [/mm] also wieder ein Vektorraum.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:53 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
hi,
die vereinigung deiner beiden mengen ist nicht deren erzeugnis, sondern eben nur die vereinigung.
du hast eine ebene und eine gerade als UVR gewählt, deren vereinigung (mengentheoretisch gesehen) ist nicht der gesamte R³, sondern eben nur eine Gerade und eine Ebene zusammengepackt.
der widerspruch ensteht, wenn man sich in deinem beispiel mal die vektoren (1,0,0) und (0,0,1) anschaut, beide liegen in der vereinigung, aber ihre summe liegt nicht in der vereinigung, also ist die vereinigung kein UVR..
nächtliche grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich hatte die Rückrichtung als Widerspruchsbeweis vorgeschlagen, das bedeutet : wenn man zeigen will : aus A folgt B, also [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$
man weiß also, dass A gilt.
angenommen, es würde (nicht B) gelten, also [mm] $\neg [/mm] B$, wenn man nun einen Widerspruch dazu erzeugen kann, dass A gelten muss, hat man damit bewiesen, dass B gelten muss, solnage A schon gilt.
(denn die negation von B impliziert die negation von A)
also bei deinem beispiel:
Wenn [mm] $U\cup [/mm] V$ ein UVR ist (das ist unser A).
angenommen, es würde weder i) noch ii) gelten (das ist unser [mm] $\neg [/mm] B$)
jetzt kann man wie oben angedeutet einen Widerspruch dazu bekommen, dass U vereinigt mit V schon ein UVR ist, also kann nicht "weder i) noch ii)" gelten, denn dies war unsere einzige annahme...
soweit klar, oder ist das Konzept eines Widerspruchbeweises nicht wirklich klar?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Do 30.11.2006 | | Autor: | solero |
hallo und vielen dank für eure mühe..!!
klingt zwar logisch, was du oben mit dem widerspruch meinst, allerdings sind wir irgendwie nicht dafür geeignet das umzusetzen!! vielleicht liegt das daran weil wir sowas noch nicht vorher gehabt haben... naja wir versuchens mal nochmal...
mfg solero cru
|
|
|
|
