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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Di 18.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] V\subset\IR^n [/mm] der UVR (Untervektorraum)
[mm] V_1:=\{x\in\IR^n|x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n=0\}.
[/mm]
Bestimme die Dimension von [mm] V_1 [/mm] und gebe einen UVR [mm] V_2 [/mm] von [mm] \IR^n [/mm] an mit [mm] V_1\oplus V_2=\IR^n. [/mm] |
Hi,
die Aufgabe bereitet mir Probleme.
Ich habe den UVR [mm] V_1 [/mm] gegeben und soll einen UVR [mm] V_2 [/mm] finden, so dass
[mm] V_1\oplus V_2=\IR^n.
[/mm]
Jetzt kann ich sagen: [mm] A:\IR^n\to\IR, \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n}\mapsto x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n
[/mm]
demnach [mm] V_1=Kern(A).
[/mm]
Doch woher weiß ich jetzt, wie groß der UVR [mm] V_2 [/mm] ist, wie er aussieht; die Dimension von [mm] V_1 [/mm] kann ich ja dann bestimmen, wenn ich die Dimension von [mm] V_2 [/mm] weiß.
dim [mm] V_1 [/mm] = dim [mm] \IR^n [/mm] - dim [mm] V_2
[/mm]
Zumal [mm] V_2 [/mm] auch [mm] V_1\oplus V_2=\IR^n [/mm] erfüllen muss. Wie findet man einen solchen UVR? Gibt's da eine "Regel"?
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
sagt dir die dimensionsformel für lineare abbildungen etwas? mit der abbildung $A$ kannst du dann nämlich sehr einfach die dimesion von [mm] $V_1$ [/mm] bestimmen und damit auch [mm] $\dim_\mathbb{R} V_2$. [/mm] dann sollte es auch nicht mehr weiter schwierig sein eine basis von [mm] $V_2$ [/mm] anzugeben.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 18.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die schnelle Reaktion.
> sagt dir die dimensionsformel für lineare abbildungen
> etwas?
Die hier: [mm] dim(V_1\cup V_2)=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2) [/mm] ?
> mit der abbildung [mm]A[/mm] kannst du dann nämlich sehr
> einfach die dimesion von [mm]V_1[/mm] bestimmen und damit auch
> [mm]\dim_\mathbb{R} V_2[/mm]. dann sollte es auch nicht mehr weiter
> schwierig sein eine basis von [mm]V_2[/mm] anzugeben.
Aber wie mich das genau weiterbringt, sehe ich jetzt nicht ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Kannst du kurz die Rechnung skizzieren?
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Die hier: [mm]dim(V_1\cup V_2)=dimV_1+dimV_2-dim(V_1\cap V_2)[/mm]
> ?
nein. für eine lineare abbildung $f: V [mm] \longrightarrow [/mm] W$ zwischen zwei endlich-dimensionalen $K$-vektorräumen gilt [mm] $\dim_K [/mm] V = [mm] \dim_K \ker [/mm] f + [mm] \dim_K \textrm{im} [/mm] f$, wobei [mm] $\ker$ [/mm] den kern und [mm] $\textrm{im}$ [/mm] das bild bezeichnen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 18.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bin es wieder 
> für eine lineare abbildung [mm]f: V \longrightarrow W[/mm]
> zwischen zwei endlich-dimensionalen [mm]K[/mm]-vektorräumen gilt
> [mm]\dim_K V = \dim_K \ker f + \dim_K \textrm{im} f[/mm], wobei [mm]\ker[/mm]
> den kern und [mm]\textrm{im}[/mm] das bild bezeichnen.
Okay, gesagt hatte ich ja, dass [mm] V_1=Kern(A). [/mm] Aber ich habe jetzt ein Problem, die Dimension vom Kern zu bestimmen - Sorry, aber wenn ich jetzt eine Matrix hätte, könnte ich den Kern bestimmen. Hier weiß ich aber nicht wie! Wenn ich jetzt annehme, [mm] V_1:=\{x\in\IR^n|x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n=0\}, [/mm] dann sehe ich nichts, woran ich die Dimension von [mm] V_1=Kern(A), [/mm] mit [mm] A:\IR^n\to\IR, \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n}\mapsto x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n [/mm] , festmachen könnte?!
Aber vielleicht ist mein Problem nicht klar?!![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Danke, trotzdem.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Okay, gesagt hatte ich ja, dass [mm]V_1=Kern(A).[/mm] Aber ich habe
> jetzt ein Problem, die Dimension vom Kern zu bestimmen -
> Sorry, aber wenn ich jetzt eine Matrix hätte, könnte ich
> den Kern bestimmen.
wenn du dich mit einer matrix wohler fühlst, kannst du diese für die abbildung $A$ ganz einfach aufstellen - es ist eine $1 [mm] \times [/mm] n$-matrix, aber das brauchst du gar nicht, macht die sache eigentlich nur unnötig kompliziert.
> [mm]V_1:=\{x\in\IR^n|x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n=0\},[/mm]
> dann sehe ich nichts, woran ich die Dimension von
> [mm]V_1=Kern(A),[/mm] mit [mm]A:\IR^n\to\IR, \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n}\mapsto x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n[/mm]
> , festmachen könnte?!
betrachte doch mal die von mir angegeben dimensionsformel für die von dir gegeben abbildung $A$ und löse diese nach [mm] $\dim_\mathbb{R} \ker [/mm] A$ auf. kannst du etwas über die summanden auf der anderen seite der gleichung aussagen und somit die dimension des kernes, also von [mm] $V_1$, [/mm] bestimmen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 18.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich glaube, wir kommen der Sache ein Stück näher ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
Wir haben [mm] A:\IR^n\to\IR [/mm] definiert.
Das heißt: dim A = dim ker A + dim im A
Also [mm] dim\IR^n=dim(V_1)+dim(V_2) [/mm] nach Definition liegt [mm] V_1 [/mm] im Kern und [mm] V_2 [/mm] im Bild.
Das heißt weiter:
[mm] dim\IR^n=n [/mm] und [mm] dim\IR^1=1 [/mm] einsetzen:
n = dim [mm] V_1 [/mm] + 1
dim [mm] V_1=n-1.
[/mm]
Ist das so korrekt?
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 18.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> ich glaube, wir kommen der Sache ein Stück näher
... das glaube ich auch ...
> Wir haben [mm]A:\IR^n\to\IR[/mm] definiert.
>
> Das heißt: dim A = dim ker A + dim im A
naja, schau dir die dimensionsformel nochmal genau an, da steht links nicht [mm] $\dim_K [/mm] f$, sondern [mm] $\dim_K [/mm] V$...
> Also [mm]dim\IR^n=dim(V_1)+dim(V_2)[/mm] nach Definition liegt [mm]V_1[/mm]
> im Kern und [mm]V_2[/mm] im Bild.
nein. [mm] $V_1$ [/mm] ist der kern, aber [mm] $V_2$ [/mm] liegt mit sicherheit nicht im bild, da das bild ja ein untervektorraum von [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] aber [mm] $V_2$ [/mm] ein untervektorraum von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ist!
> Das heißt weiter:
>
> [mm]dim\IR^n=n[/mm] und [mm]dim\IR^1=1[/mm] einsetzen:
>
> n = dim [mm]V_1[/mm] + 1
>
> dim [mm]V_1=n-1.[/mm]
das stimmt wiederrum. und damit ist die dimension von [mm] $V_1$ [/mm] betsimmt. und nach der von dir oben angegeben formel kannst du nun auch - da die beiden vektorräume als direkte summe den [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] bilden sollen - die dimension von [mm] $V_2$ [/mm] bestimmen. wie könnte man dann an eine basis von [mm] $V_2$ [/mm] kommen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Di 18.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die guten Erklärungen und vor allem für die Geduld.
Also, wenn [mm] dimV_1=n-1, [/mm] dann muss [mm] dimV_2=1 [/mm] sein?!
Wenn [mm] dimV_2=1, [/mm] dann würde ich mir jetzt einfach einen Vektor nehmen, der nicht in [mm] V_1 [/mm] liegt; zum Beispiel [mm] V_2:=\IR*\vektor{1 \\ 0 \\ .... \\ 0}.
[/mm]
Damit wären dann die beiden Eigenschaften gegeben, die [mm] V_1\oplus V_2=\IR^n [/mm] ausmachen:
[mm] V_1+V_2=\IR^n [/mm] und [mm] V_1\cap V_2={0}?!
[/mm]
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mi 19.09.2007 | | Autor: | koepper |
genau richtig!
schön zu sehen, wie jemand - wie du - erfolgreich mitdenkt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mi 19.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> genau richtig!
> schön zu sehen, wie jemand - wie du - erfolgreich mitdenkt!
vielen Dank.
MfG barsch
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