Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und [mm] U_{1},U_{2} [/mm] Untervektorräume von V . Angenommen [mm] U_{1} \cup U_{2}=V.Man [/mm] beweise,dass [mm] V=U_{1} [/mm] oder [mm] V=U_{2}. [/mm] |
Hallo ^^
Ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen,aber mit fehlt irgendwie der Ansatz.
Ich hab mir überlegt vielleicht so anzufangen wie bei der anderen Aufgabe,also dass ich zeige,dass wenn x [mm] \in U_{1} [/mm] liegt,dass es dann auch in V liegt,aber ich merke grad,dass das keinen Sinn ergibt,weil [mm] U_{1} [/mm] ein UVR von V ist und wenn ein Element x darin liegt,muss es auch in V liegen,aber das muss nicht [mm] U_{1}=V [/mm] heißen.
Vielleicht muss ich zeigen,dass alle Elemente von V in [mm] U_{1} [/mm] bzw. [mm] U_{2} [/mm] liegen.
Aber ich weiß nicht wie ich anfangen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich hier vorgehen kann?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 01.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und [mm]U_{1},U_{2}[/mm]
> Untervektorräume von V . Angenommen [mm]U_{1} \cup U_{2}=V[/mm] . Man
> beweise,dass [mm]V=U_{1}[/mm] oder [mm]V=U_{2}.[/mm]
> Hallo ^^
>
> Ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen,aber mit fehlt
> irgendwie der Ansatz.
> Ich hab mir überlegt vielleicht so anzufangen wie bei der
> anderen Aufgabe,also dass ich zeige,dass wenn x [mm]\in U_{1}[/mm]
> liegt,dass es dann auch in V liegt,aber ich merke grad,dass
> das keinen Sinn ergibt,weil [mm]U_{1}[/mm] ein UVR von V ist und
> wenn ein Element x darin liegt,muss es auch in V
> liegen,aber das muss nicht [mm]U_{1}=V[/mm] heißen.
> Vielleicht muss ich zeigen,dass alle Elemente von V in
> [mm]U_{1}[/mm] bzw. [mm]U_{2}[/mm] liegen.
Nein, das ist die Voraussetzung: [mm]U_{1} \cup U_{2}=V[/mm] heisst doch, dass alle [mm] $x\in [/mm] V$ in [mm] $U_1$ [/mm] oder [mm] $U_2$ [/mm] liegen (oder in beiden).
Fang doch mit der umgekehrten Aussage an: seien [mm] $U_1 \not=V [/mm] $ und [mm] $U_2\not=V$ [/mm] echte Teilmengen von V, aber [mm] $U_{1} \cup U_{2}=V$. [/mm] Nun nimm dir zwei Punkte [mm] $x_1,x_2\in [/mm] V$, sodass [mm] $x_1\in U_1$ [/mm] mit [mm] $x_1\notin U_2$ [/mm] und [mm] $x_2\in U_2$ [/mm] mit [mm] $x_2\notin U_1$. [/mm] Was ist mit [mm] $x_1+x_2 \in [/mm] V$ ?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Fang doch mit der umgekehrten Aussage an: seien [mm]U_1 \not=V[/mm]
> und [mm]U_2\not=V[/mm] echte Teilmengen von V, aber [mm]U_{1} \cup U_{2}=V[/mm].
> Nun nimm dir zwei Punkte [mm]x_1,x_2\in V[/mm], sodass [mm]x_1\in U_1[/mm]
> mit [mm]x_1\notin U_2[/mm] und [mm]x_2\in U_2[/mm] mit [mm]x_2\notin U_1[/mm]. Was ist
> mit [mm]x_1+x_2 \in V[/mm] ?
>
Dann müsste [mm]x_1+x_2 \in V[/mm] sein,also die Summe der beiden Punkte müsste im Vektorraum liegen oder?
lg
|
|
|
| |
|
> > Fang doch mit der umgekehrten Aussage an: seien [mm]U_1 \not=V[/mm]
> > und [mm]U_2\not=V[/mm] echte Teilmengen von V, aber [mm]U_{1} \cup U_{2}=V[/mm].
> > Nun nimm dir zwei Punkte [mm]x_1,x_2\in V[/mm], sodass [mm]x_1\in U_1[/mm]
> > mit [mm]x_1\notin U_2[/mm] und [mm]x_2\in U_2[/mm] mit [mm]x_2\notin U_1[/mm]. Was ist
> > mit [mm]x_1+x_2 \in V[/mm] ?
> >
>
> Dann müsste [mm]x_1+x_2 \in V[/mm] sein,also die Summe der beiden
> Punkte müsste im Vektorraum liegen oder?
Hallo,
ja, das ist aber nicht die umwerfende Neuigkeit, und Du solltest mal weitermachen:
verwende, daß lt. Voraussetzung [mm] U_1\cup U_2=V.
[/mm]
Also wissen wir über [mm] x:=x_1+x_2, [/mm] daß [mm] x\in U_1\cup U_2.
[/mm]
Was sagt uns das über x?
Schreibe nun x wieder als [mm] x_1+x_2 [/mm] und verwende, daß [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] UVR von V sind.
Gruß v. Angela
Es ist [mm] x_1+x_2\in U_1\cup U_2.
[/mm]
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> ja, das ist aber nicht die umwerfende Neuigkeit, und Du
> solltest mal weitermachen:
>
> verwende, daß lt. Voraussetzung [mm]U_1\cup U_2=V.[/mm]
> Also
> wissen wir über [mm]x:=x_1+x_2,[/mm] daß [mm]x\in U_1\cup U_2.[/mm]
>
> Was sagt uns das über x?
Das sagt uns über x,dass x [mm] \in [/mm] V sein muss.?
> Schreibe nun x wieder als [mm]x_1+x_2[/mm] und verwende, daß [mm]U_1[/mm]
also [mm] x_{1}+x_{2} \in [/mm] V [mm] \Rightarrow x_{1}+x_{2} \in U_1\cup U_2.
[/mm]
So,jetzt weiß ich,dass [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untervektorraäume von V sind.
Aber irgendwie weiß ich grad nicht,was mir das bringen soll,also hab ich nochmal die Def. von UVR angeschaut.Demnach wäre [mm] U_{1} [/mm] genau dann UVR,wenn folgendes gilt:
[mm] 1.\vektor{0 \\ 0} \in U_{1}
[/mm]
[mm] 2.\forall u_{1},u_{2} \in U_{1}:u_{1}+u_{2} \in U_{1}
[/mm]
[mm] 3.\forall \lambda \in [/mm] K (Körper), [mm] u_{1} \in U_{1}:\lambda*u_{1} \in U_{1}
[/mm]
Aber was bringt mir das?
lg
|
|
|
| |
|
> > verwende, daß lt. Voraussetzung [mm]U_1\cup U_2=V.[/mm]
> > Also
> > wissen wir über [mm]x:=x_1+x_2,[/mm] daß [mm]x\in U_1\cup U_2.[/mm]
> >
> > Was sagt uns das über x?
>
> Das sagt uns über x,dass x [mm]\in[/mm] V sein muss.?
Hallo,
das ist nun echt keine brandheiße Info. Der V ist doch die landschaft, in der sich all das abspielt, was wir besprechen.
Brandheiß ist dies: aus [mm] x\in U_1\cup U_2 [/mm] folgt, daß [mm] x\in U_1 [/mm] oder [mm] x\in U_2.
[/mm]
>
> So,jetzt weiß ich,dass [mm]U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] Untervektorraäume
> von V sind.
Ja.
> Aber irgendwie weiß ich grad nicht,was mir das bringen
> soll,also hab ich nochmal die Def. von UVR
> angeschaut.
Gute Idee!
> Demnach wäre [mm]U_{1}[/mm] genau dann UVR,wenn
> folgendes gilt:
> [mm]1.\vektor{0 \\
0} \in U_{1}[/mm]
Das ist so nicht richtig, sondern: der Nullvektor muß in [mm] U_1 [/mm] sein - er sieht oft völlig anders aus als [mm] \vektor{0\\0} [/mm] - schon im [mm] \IR^3 [/mm] paßt's nicht so, wie Du schreist.
> [mm]2.\forall u_{1},u_{2} \in U_{1}:u_{1}+u_{2} \in U_{1}[/mm]
>
> [mm]3.\forall \lambda \in[/mm] K (Körper), [mm]u_{1} \in U_{1}:\lambda*u_{1} \in U_{1}[/mm]
>
> Aber was bringt mir das?
Von alleine bringt's nichts, man muß schon etwas damit machen.
Du weißt jetzt, daß [mm] x_1+x_2\in U_1 [/mm] oder [mm] x_1+x_2\in U_2.
[/mm]
Nehmen wir mal die Aussage [mm] x_1+x_2\in U_1.
[/mm]
Es war ja [mm] x_1\in U_1. [/mm] Was erfahren wir damit über [mm] x_2?
[/mm]
Dann schau nochmal den Start des Beweises an. Was hatten wir angenommen, wie hatten wir [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gewählt?
Gruß v. Angela
>
> lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Demnach wäre [mm]U_{1}[/mm] genau dann UVR,wenn
> > folgendes gilt:
> > [mm]1.\vektor{0 \\
0} \in U_{1}[/mm]
>
> Das ist so nicht richtig, sondern: der Nullvektor muß in
> [mm]U_1[/mm] sein - er sieht oft völlig anders aus als
> [mm]\vektor{0\\0}[/mm] - schon im [mm]\IR^3[/mm] paßt's nicht so, wie Du
> schreist.
Ich weiß,aber ich wusste nicht wie ich hier den Nullvektor abtippen soll und da ich nicht das Wort schreiben wollte,hab ich einfach so geschrieben,aber du hast recht,es ist falsch.
>
> > [mm]2.\forall u_{1},u_{2} \in U_{1}:u_{1}+u_{2} \in U_{1}[/mm]
> >
>
> > [mm]3.\forall \lambda \in[/mm] K (Körper), [mm]u_{1} \in U_{1}:\lambda*u_{1} \in U_{1}[/mm]
>
> >
> > Aber was bringt mir das?
>
> Von alleine bringt's nichts, man muß schon etwas damit
> machen.
>
> Du weißt jetzt, daß [mm]x_1+x_2\in U_1[/mm] oder [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
>
> Nehmen wir mal die Aussage [mm]x_1+x_2\in U_1.[/mm]
> Es war ja
> [mm]x_1\in U_1.[/mm] Was erfahren wir damit über [mm]x_2?[/mm]
Also über [mm] x_{2} [/mm] hatten wir gesagt,dass [mm] x_{2} \in U_{2},aber x_{2} \not\in U_{1}.Aber [/mm] wenn [mm] x_{2} \not\in U_{1} [/mm] ist,dann kann nicht [mm] x_{1}+x_{2} \in U_{1} [/mm] sein.Da aber [mm] x_{1}+x_{2} \in U_{1} [/mm] ist, und wir am Anfang gesagt hatten,dass [mm] x_{1}+x_{2} \in [/mm] V ist,können wir daraus folgern,dass [mm] U_{1}=V [/mm] und analog für [mm] U_{2}.
[/mm]
Ist das eine logische Begründung?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
es soll gezeigt werden:
Wenn [mm] U_1, U_2 [/mm] Unterräume von V sind mit [mm] V=U_1\cup U_2, [/mm] dann ist [mm] V=U_1 [/mm] oder [mm] V=U_2.
[/mm]
Wir hatten bisher
Beweis (durch Widerspruch):
Seien [mm] U_1, U_2 [/mm] Unterräume von V sind mit [mm] V=U_1\cup U_2.
[/mm]
Angenommen, [mm] U_1 [/mm] noch [mm] U_2 [/mm] beide echte Teilmengen von V.
Dann gibt es ein [mm] x_1, [/mm] welches in [mm] U_1 [/mm] ist, aber nicht in [mm] U_2, [/mm]
(warum eigentlich?),
und ein [mm] x_2, [/mm] welches in [mm] U_2 [/mm] ist, aber nicht in [mm] U_1.
[/mm]
Nun betrachten wir [mm] x_1+x_2.
[/mm]
> > Du weißt jetzt, daß [mm]x_1+x_2\in U_1[/mm] oder [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
(Warum?)
A.
> > [mm]x_1+x_2\in U_1.[/mm]
> > Es war ja
> > [mm]x_1\in U_1.[/mm] Was erfahren wir damit über [mm]x_2?[/mm]
>
> Also über [mm]x_{2}[/mm] hatten wir gesagt,dass [mm]x_{2} \in U_{2},aber x_{2} \not\in U_{1}.Aber[/mm]
> wenn [mm]x_{2} \not\in U_{1}[/mm] ist,dann kann nicht [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm]
> sein.
Warum denn?
Das stimmt, aber Du mußt mich davon überzeugen.
So, jetzt geht's weiter:
wenn also [mm] x_1+x_2 [/mm] nicht in [mm] U_1 [/mm] liegt, dann ist
B. [mm] x_1+x_2\in U_2.
[/mm]
Und jetzt?
> Da aber [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm] ist, und wir am Anfang
> gesagt hatten,dass [mm]x_{1}+x_{2} \in[/mm] V ist,können wir daraus
> folgern,dass [mm]U_{1}=V[/mm]
Ich kann das nicht folgern. Du müßtest mich von dieser Folgerung überzeugen. Bisher behauptest Du bloß.
> und analog für [mm]U_{2}.[/mm]
> Ist das eine logische Begründung?
Bisher nicht, aber das wird noch.
Schon allein die Tatsache, daß Du selbst nachfragst, ob es logisch ist, deutet darauf hin, daß Du Dich noch nichteinmal selbst komplett überzeugen konntest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
>
> es soll gezeigt werden:
>
> Wenn [mm]U_1, U_2[/mm] Unterräume von V sind mit [mm]V=U_1\cup U_2,[/mm]
> dann ist [mm]V=U_1[/mm] oder [mm]V=U_2.[/mm]
>
> Wir hatten bisher
> Beweis (durch Widerspruch):
>
> Seien [mm]U_1, U_2[/mm] Unterräume von V sind mit [mm]V=U_1\cup U_2.[/mm]
>
> Angenommen, [mm]U_1[/mm] noch [mm]U_2[/mm] beide echte Teilmengen von V.
Müssen wir hier eigentlich nicht noch voraussetzen,dass [mm] U_{1} \not= U_{2} [/mm] ?
>
> Dann gibt es ein [mm]x_1,[/mm] welches in [mm]U_1[/mm] ist, aber nicht in
> [mm]U_2,[/mm]
> (warum eigentlich?),
Wenn wir sagen,dass [mm] U_{1} \not= U_{2},dann [/mm] muss es ja ein solches [mm] x_{1} [/mm] geben.
> und ein [mm]x_2,[/mm] welches in [mm]U_2[/mm] ist, aber nicht in [mm]U_1.[/mm]
>
> Nun betrachten wir [mm]x_1+x_2.[/mm]
>
> > > Du weißt jetzt, daß [mm]x_1+x_2\in U_1[/mm] oder [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
>
> (Warum?)
Weil laut Vorraussetzung [mm] U_1\cup U_2=V.Und[/mm] [mm]x_1+x_2.[/mm] muss ein Element von V sein,daher ist auch [mm]x_1+x_2 \in U_1 \cup U_2[/mm],das kann man auch so [mm] schreiben:x_{1}+x_{2} \in U_{1} [/mm] oder [mm] x_{1}+x_{2} \in U_{2}.
[/mm]
>
> A.
> > > [mm]x_1+x_2\in U_1.[/mm]
> > > Es war ja
> > > [mm]x_1\in U_1.[/mm] Was erfahren wir damit über [mm]x_2?[/mm]
> >
> > Also über [mm]x_{2}[/mm] hatten wir gesagt,dass [mm]x_{2} \in U_{2},aber x_{2} \not\in U_{1}.Aber[/mm]
> > wenn [mm]x_{2} \not\in U_{1}[/mm] ist,dann kann nicht [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm]
> > sein.
>
> Warum denn?
> Das stimmt, aber Du mußt mich davon überzeugen.
Ok,also in der Definition vom UVR steht u.a.,dass folgendes gelten muss:
[mm] 2.\forall u_{1},u_{2} \in U_{1}:u_{1}+u_{2} \in U_{1}
[/mm]
Das heißt, [mm] U_{1} [/mm] kann nur ein UVR von V sein,wenn die Summe zweier beliebiger Elemente aus [mm] U_{1} [/mm] wieder ein Element aus [mm] U_{1} [/mm] ist.Und da wir zu Beginn de Beweises vorausgesetzt haben,dass [mm] U_{1} [/mm] ein UVR von V ist,muss 2.gelten und [mm] x_{2} [/mm] muss auch ein Element von [mm] U_{1} [/mm] sein.
Naja,obwohl...jetzt bin ich mir doch etwas unsicher,denn 2. sagt ja nur aus,dass wenn zwei Elemente aus [mm] U_{1} [/mm] addiert werden,die Summe wieder aus [mm] U_{1} [/mm] sein muss,aber das schließt ja nicht aus,dass zwei Elemente aus [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] addiert wieder ein Element aus [mm] U_{1} [/mm] sein können ?
>
> So, jetzt geht's weiter:
>
> wenn also [mm]x_1+x_2[/mm] nicht in [mm]U_1[/mm] liegt, dann ist
>
> B. [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
>
> Und jetzt?
>
> > Da aber [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm] ist, und wir am Anfang
> > gesagt hatten,dass [mm]x_{1}+x_{2} \in[/mm] V ist,können wir daraus
> > folgern,dass [mm]U_{1}=V[/mm]
>
> Ich kann das nicht folgern. Du müßtest mich von dieser
> Folgerung überzeugen. Bisher behauptest Du bloß.
>
lg
|
|
|
| |
|
> > Hallo,
> >
> > es soll gezeigt werden:
> >
> > Wenn [mm]U_1, U_2[/mm] Unterräume von V sind mit [mm]V=U_1\cup U_2,[/mm]
> > dann ist [mm]V=U_1[/mm] oder [mm]V=U_2.[/mm]
> >
> > Wir hatten bisher
> > Beweis (durch Widerspruch):
> >
> > Seien [mm]U_1, U_2[/mm] Unterräume von V sind mit [mm]V=U_1\cup U_2.[/mm]
>
> >
> > Angenommen, [mm]U_1[/mm] noch [mm]U_2[/mm] beide echte Teilmengen von V.
>
> Müssen wir hier eigentlich nicht noch voraussetzen,dass
> [mm]U_{1} \not= U_{2}[/mm] ?
Hallo,
voaussetzen nicht, aber wir können das folgern und sollten es - da hast Du recht - erwähnen.
Warum können die beiden nicht gleich sein?
> >
> > Dann gibt es ein [mm]x_1,[/mm] welches in [mm]U_1[/mm] ist, aber nicht in
> > [mm]U_2,[/mm]
> > (warum eigentlich?),
> Wenn wir sagen,dass [mm]U_{1} \not= U_{2},dann[/mm] muss es ja ein
> solches [mm]x_{1}[/mm] geben.
Hm - nicht unbedingt: es könnte ja [mm] U_1\subseteq U_2 [/mm] sein oder umgekehrt.
Aber das geht ja auch nicht, denn???
Und weil sie nicht Teilmengen voneinander sind, gibt es halt solche Elemente [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
> > und ein [mm]x_2,[/mm] welches in [mm]U_2[/mm] ist, aber nicht in [mm]U_1.[/mm]
> >
> > Nun betrachten wir [mm]x_1+x_2.[/mm]
> >
> > > > Du weißt jetzt, daß [mm]x_1+x_2\in U_1[/mm] oder [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
>
> >
> > (Warum?)
>
> Weil laut Vorraussetzung [mm]U_1\cup U_2=V.Und[/mm] [mm]x_1+x_2.[/mm] muss
> ein Element von V sein,daher ist auch [mm]x_1+x_2 \in U_1 \cup U_2[/mm],das
> kann man auch so [mm]schreiben:x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm] oder
> [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{2}.[/mm]
Ja, genau.
> >
> > A.
> > > > [mm]x_1+x_2\in U_1.[/mm]
> > > > Es war ja
> > > > [mm]x_1\in U_1.[/mm] Was erfahren wir damit über [mm]x_2?[/mm]
> > >
> > > Also über [mm]x_{2}[/mm] hatten wir gesagt,dass [mm]x_{2} \in U_{2},aber x_{2} \not\in U_{1}.Aber[/mm]
> > > wenn [mm]x_{2} \not\in U_{1}[/mm] ist,dann kann nicht [mm]x_{1}+x_{2} \in U_{1}[/mm]
> > > sein.
> >
> > Warum denn?
> > Das stimmt, aber Du mußt mich davon überzeugen.
>
> Ok,also in der Definition vom UVR steht u.a.,dass folgendes
> gelten muss:
> [mm]2.\forall u_{1},u_{2} \in U_{1}:u_{1}+u_{2} \in U_{1}[/mm]
>
> Das heißt, [mm]U_{1}[/mm] kann nur ein UVR von V sein,wenn die
> Summe zweier beliebiger Elemente aus [mm]U_{1}[/mm] wieder ein
> Element aus [mm]U_{1}[/mm] ist.
Ja - bloß bringt das hier doch erstmal gar nichts: es ist doch [mm] x_2 [/mm] ausdrücklich nicht in [mm] U_1...
[/mm]
> Und da wir zu Beginn de Beweises
> vorausgesetzt haben,dass [mm]U_{1}[/mm] ein UVR von V ist,muss
> 2.gelten und [mm]x_{2}[/mm] muss auch ein Element von [mm]U_{1}[/mm] sein.
> Naja,obwohl...jetzt bin ich mir doch etwas unsicher,denn
> 2. sagt ja nur aus,dass wenn zwei Elemente aus [mm]U_{1}[/mm]
> addiert werden,die Summe wieder aus [mm]U_{1}[/mm] sein muss,aber
> das schließt ja nicht aus,dass zwei Elemente aus [mm]U_{1}[/mm] und
> [mm]U_{2}[/mm] addiert wieder ein Element aus [mm]U_{1}[/mm] sein können ?
Ah, gut: Du merkst selber, an welcher Stelle die Argumentation hinkt.
Jetzt zeihen wir den Kopf aus der Schlinge:
wenn [mm] x_1+x_2\in U_1, [/mm] dann gibt es ein [mm] u_1\in U_1 [/mm] mit [mm] x_1+x_2=u_1U_1.
[/mm]
Da [mm] U_1 [/mm] ein UVR, ist [mm] -x_1\in U_1, [/mm] und wir bekommen
[mm] x_2=-x_1+u_1\in U_1. [/mm] Widerspruch!
> >
> > So, jetzt geht's weiter:
> >
> > wenn also [mm]x_1+x_2[/mm] nicht in [mm]U_1[/mm] liegt, dann ist
> >
> > B. [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
> >
> > Und jetzt?
Jetzt ergibt sich völlig analog ein Widerspruch.
Die Annahme, daß [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] beide echte Teilemengen von V sind, führt zum Widerspruch. Also ist die Annahme falsch, und mindestens einer de Unterräume ist keine echte Teilmenge und somit =V:
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > >
> > > Angenommen, [mm]U_1[/mm] noch [mm]U_2[/mm] beide echte Teilmengen von V.
> >
> > Müssen wir hier eigentlich nicht noch voraussetzen,dass
> > [mm]U_{1} \not= U_{2}[/mm] ?
>
> Hallo,
>
> voaussetzen nicht, aber wir können das folgern und sollten
> es - da hast Du recht - erwähnen.
> Warum können die beiden nicht gleich sein?
Wenn sie gleich wären,dann müsste [mm] U_{1}=U_{2}=V,das [/mm] geht aber laut Vorraussetzung nicht ?
>
> > >
> > > Dann gibt es ein [mm]x_1,[/mm] welches in [mm]U_1[/mm] ist, aber nicht in
> > > [mm]U_2,[/mm]
> > > (warum eigentlich?),
> > Wenn wir sagen,dass [mm]U_{1} \not= U_{2},dann[/mm] muss es ja
> ein
> > solches [mm]x_{1}[/mm] geben.
>
> Hm - nicht unbedingt: es könnte ja [mm]U_1\subseteq U_2[/mm] sein
> oder umgekehrt.
> Aber das geht ja auch nicht, denn???
Denn wenn [mm]U_1\subseteq U_2[/mm] ist,dann kann nicht [mm] U_{1} \cup U_{2}=V [/mm] sein ?
>
> Und weil sie nicht Teilmengen voneinander sind, gibt es
> halt solche Elemente [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm]
>
> Jetzt zeihen wir den Kopf aus der Schlinge:
>
> wenn [mm]x_1+x_2\in U_1,[/mm] dann gibt es ein [mm]u_1\in U_1[/mm] mit
> [mm]x_1+x_2=u_1U_1.[/mm]
Steht hier ein mal zwischen [mm] u_1U_1 [/mm] ?
> Da [mm]U_1[/mm] ein UVR, ist [mm]-x_1\in U_1,[/mm] und wir bekommen
> [mm]x_2=-x_1+u_1\in U_1.[/mm] Widerspruch!
>
> > >
> > > So, jetzt geht's weiter:
> > >
> > > wenn also [mm]x_1+x_2[/mm] nicht in [mm]U_1[/mm] liegt, dann ist
> > >
> > > B. [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
> > >
> > > Und jetzt?
>
> Jetzt ergibt sich völlig analog ein Widerspruch.
>
> Die Annahme, daß [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] beide echte Teilemengen von V
> sind, führt zum Widerspruch. Also ist die Annahme falsch,
> und mindestens einer de Unterräume ist keine echte
> Teilmenge und somit =V:
>
> Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
>
> > > >
> > > > Angenommen, [mm]U_1[/mm] noch [mm]U_2[/mm] beide echte Teilmengen von V.
> > >
> > > Müssen wir hier eigentlich nicht noch voraussetzen,dass
> > > [mm]U_{1} \not= U_{2}[/mm] ?
> >
> > Hallo,
> >
> > voaussetzen nicht, aber wir können das folgern und sollten
> > es - da hast Du recht - erwähnen.
> > Warum können die beiden nicht gleich sein?
>
> Wenn sie gleich wären,dann müsste [mm]U_{1}=U_{2}=V,das[/mm] geht
> aber laut Vorraussetzung nicht ?
Hallo,
ja, weil es ja echte Teilmengen von V sein sollen.
> >
> > > >
> > > > Dann gibt es ein [mm]x_1,[/mm] welches in [mm]U_1[/mm] ist, aber nicht in
> > > > [mm]U_2,[/mm]
> > > > (warum eigentlich?),
> > > Wenn wir sagen,dass [mm]U_{1} \not= U_{2},dann[/mm] muss es
> ja
> > ein
> > > solches [mm]x_{1}[/mm] geben.
> >
> > Hm - nicht unbedingt: es könnte ja [mm]U_1\subseteq U_2[/mm] sein
> > oder umgekehrt.
> > Aber das geht ja auch nicht, denn???
>
> Denn wenn [mm]U_1\subseteq U_2[/mm] ist,dann kann nicht [mm]U_{1} \cup U_{2}=V[/mm]
> sein ?
Genau. Dann wäre ja [mm] $U_{1} \cup U_{2}=U_1$ [/mm] oder eben [mm] =U_2.
[/mm]
Und die sind echte Teilmengen von V.
Gruß v. Angela
> >
> > Und weil sie nicht Teilmengen voneinander sind, gibt es
> > halt solche Elemente [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm]
> >
>
>
> > Jetzt zeihen wir den Kopf aus der Schlinge:
> >
> > wenn [mm]x_1+x_2\in U_1,[/mm] dann gibt es ein [mm]u_1\in U_1[/mm] mit
> > [mm]x_1+x_2=u_1U_1.[/mm]
>
> Steht hier ein mal zwischen [mm]u_1U_1[/mm] ?
> > Da [mm]U_1[/mm] ein UVR, ist [mm]-x_1\in U_1,[/mm] und wir bekommen
> > [mm]x_2=-x_1+u_1\in U_1.[/mm] Widerspruch!
> >
> > > >
> > > > So, jetzt geht's weiter:
> > > >
> > > > wenn also [mm]x_1+x_2[/mm] nicht in [mm]U_1[/mm] liegt, dann ist
> > > >
> > > > B. [mm]x_1+x_2\in U_2.[/mm]
> > > >
> > > > Und jetzt?
> >
> > Jetzt ergibt sich völlig analog ein Widerspruch.
> >
> > Die Annahme, daß [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] beide echte Teilemengen von V
> > sind, führt zum Widerspruch. Also ist die Annahme falsch,
> > und mindestens einer de Unterräume ist keine echte
> > Teilmenge und somit =V:
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 So 07.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Jetzt zeihen wir den Kopf aus der Schlinge:
> > >
> > > wenn [mm]x_1+x_2\in U_1,[/mm] dann gibt es ein [mm]u_1\in U_1[/mm] mit
> > > [mm]x_1+x_2=u_1U_1.[/mm]
> >
Steht hier ein mal zwischen [mm] u_1U_1?
[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Jetzt zeihen wir den Kopf aus der Schlinge:
> > > >
> > > > wenn [mm]x_1+x_2\in U_1,[/mm] dann gibt es ein [mm]u_1\in U_1[/mm] mit
> > > > [mm]x_1+x_2=u_1U_1.[/mm]
> > >
>
> Steht hier ein mal zwischen [mm]u_1U_1?[/mm]
Nein, es lautet: [mm]u_1 \in U_1[/mm]
FRED
>
> lg
|
|
|
|
