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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Parabel [mm] $P=\{(x,x^2|x\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{R}^2$ [/mm] kein Untervektorraum ist. |
Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich muss ja eigentlich nur nachrechnen ob die Eigenschaften für den Untervektorraum gelten, dieser also bezüglich der Addition und multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.
Die Parabel nimmt ja stets positive Werte an. Wenn ich also mit einem negativen Skalar multipliziere, dann würde dies direkt zeigen, dass die Parabel bezüglich der muliplikation mit Skalaren im allgemeinen nicht abgeschlossen ist.
Die Parabel sollte auch bezüglich der addition nicht abgeschlossen sein.
Wenn ich zwei Paare habe
[mm] $(x_1,x_1^2)$ [/mm] und [mm] $(x_2,x_2^2)$ [/mm] und addiere diese, dann erhalte ich ja:
[mm] $(x_1+x_2,x_1^2+x_2^2)$ [/mm] und dieser Punkt sollte auch im allgemeinen nicht auf der Parabel liegen, da die y-Koordiante in dazu [mm] $(x_1+x_2)^2$ [/mm] lauten müsste.
Die Parabel ist also kein Untervektorraum des [mm] $R^2$, [/mm] auch wenn es ja reichen würde eines der beiden zu widerlegen.
Wäre das so richtig?
Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Parabel
> [mm]P=\{(x,x^2|x\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{R}^2[/mm] kein
> Untervektorraum ist.
> Hi, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Ich muss ja eigentlich nur nachrechnen ob die
> Eigenschaften für den Untervektorraum gelten, dieser also
> bezüglich der Addition und multiplikation mit Skalaren
> abgeschlossen ist.
>
> Die Parabel nimmt ja stets positive Werte an. Wenn ich also
> mit einem negativen Skalar multipliziere, dann würde dies
> direkt zeigen, dass die Parabel bezüglich der
> muliplikation mit Skalaren im allgemeinen nicht
> abgeschlossen ist.
>
> Die Parabel sollte auch bezüglich der addition nicht
> abgeschlossen sein.
> Wenn ich zwei Paare habe
>
> [mm](x_1,x_1^2)[/mm] und [mm](x_2,x_2^2)[/mm] und addiere diese, dann erhalte
> ich ja:
>
> [mm](x_1+x_2,x_1^2+x_2^2)[/mm] und dieser Punkt sollte auch im
> allgemeinen nicht auf der Parabel liegen, da die
> y-Koordiante in dazu [mm](x_1+x_2)^2[/mm] lauten müsste.
>
> Die Parabel ist also kein Untervektorraum des [mm]R^2[/mm], auch
> wenn es ja reichen würde eines der beiden zu widerlegen.
>
> Wäre das so richtig?
Ja. Bring doch nur das folgende Beispiel:
[mm] p_1=(1,1) \in [/mm] P, aber [mm] -p_1 \notin [/mm] P.
Das reicht.
FRED
>
> Danke für jede Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ja, das wäre ja gerade die multiplikation mit dem Skalar -1, wollte das in meiner Frage nur etwas allgemeiner halten um zu gucken ob ich es verstanden habe.
Danke für die Kontrolle.
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