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| Aufgabe | Wir betrachten den [mm] $\IZ/3\IZ$-Vektorraum $\IZ/3\IZ)^4$. [/mm] Die folgende Menge $V$ ist eine Teilmenge von [mm] $(\IZ/3\IZ)^4$.
[/mm]
[mm] $V=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in (\IZ/3\IZ)^4 | x_1^3+x_2=\overline{0} \ \text{und} \ (x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}\right\}$
[/mm]
Ist $V$ ein Untervektorraum von [mm] $(\IZ/3\IZ)^4$ [/mm] ? |
Okay, also ich muss hier irgendwie die Kriterien eines UVR nachprüfen:
1. [mm] $v\not= \emptyset$
[/mm]
2. [mm] $v_1+v_2\in [/mm] V$
3. [mm] $\lambda *v\in [/mm] V$
1. müsste ja erfüllt sein (zeigt man das irgendwie??)
2. [mm] $x_1^3+x_2=\overline{0}$ [/mm] und [mm] $(x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}$ [/mm] müssten irgendwie addiert werden...so dass auch dann gilt [mm] $(\IZ/3\IZ)^4$. [/mm] aber wie mache ich das?
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Di 22.11.2011 | | Autor: | pirad |
Zuerst schaut man sich die Elemente von Z/3Z und deren Potenzen an und stellt fest, dass a^(2n+1)=a für alle n>=0.
Also lassen sich die Bedingungen auf [mm] x_1+x_2=0 [/mm] und [mm] x_2+x_3+x_4=0 [/mm] reduzieren.
Und jetzt die Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
[mm] (a_1,a_2,a_3,a_4)+(b_1,b_2,b_3,b_4)=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,a_4+b_4)
[/mm]
[mm] (a_1+b_1)+(a_2+b_2)=a_1+a_2+b_1+b_2=0
[/mm]
[mm] (a_2+b_2)+(a_3+b_3)+(a_4+b_4)=0 [/mm] analog
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Das verstehe ich leider überhaupt nicht und da wäre ich auch nie drauf gekommen. Woher weiß ich, dass ich folgendes erhalten muss? und woher kommen die a,b?
> Zuerst schaut man sich die Elemente von Z/3Z und deren
> Potenzen an und stellt fest, dass a^(2n+1)=a für alle
> n>=0.
Mathegirl
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> Das verstehe ich leider überhaupt nicht und da wäre ich
> auch nie drauf gekommen. Woher weiß ich, dass ich
> folgendes erhalten muss?
Hallo,
indem Du nachrechnest, was bei den Potenzen von 0, 1 und 2 rauskommt.
> und woher kommen die a,b?
Hä?
Schonmal was von Platzhaltern gehört?
Statt daß der Pirat alle möglichen Summen die man aus den 27 Vektoren bilden kann, daraufhin untersucht, ob sie auch in der Menge liegen,
führt er es einmal für die vektoren [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] und [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] mit [mm] a_i,b_i\in \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ [/mm] durch.
Gruß v. Angela
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> > Zuerst schaut man sich die Elemente von Z/3Z und deren
> > Potenzen an und stellt fest, dass a^(2n+1)=a für alle
> > n>=0.
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Mi 23.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Wir betrachten den [mm]\IZ/3\IZ[/mm]-Vektorraum [mm]\IZ/3\IZ)^4[/mm]. Die
> folgende Menge [mm]V[/mm] ist eine Teilmenge von [mm](\IZ/3\IZ)^4[/mm].
>
> [mm]V=\left\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} \in (\IZ/3\IZ)^4 | x_1^3+x_2=\overline{0} \ \text{und} \ (x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}\right\}[/mm]
>
> Ist [mm]V[/mm] ein Untervektorraum von [mm](\IZ/3\IZ)^4[/mm] ?
>
>
> Okay, also ich muss hier irgendwie die Kriterien eines UVR
> nachprüfen:
> 1. [mm]v\not= \emptyset[/mm]
> 2. [mm]v_1+v_2\in V[/mm]
> 3. [mm]\lambda *v\in V[/mm]
>
> 1. müsste ja erfüllt sein (zeigt man das irgendwie??)
Ja, gib Restklassen fuer einen Vektor [mm] $(x_{1},x_{2}, x_{3}, x_{4})\in \IZ_{3}^{4}$ [/mm] an, fuer den [mm] $x_1^3+x_2=\overline{0} [/mm] \ [mm] \text{und} [/mm] \ [mm] (x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}$ [/mm] gilt.
>
> 2. [mm]x_1^3+x_2=\overline{0}[/mm] und
> [mm](x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}[/mm] müssten irgendwie addiert
> werden...so dass auch dann gilt [mm](\IZ/3\IZ)^4[/mm]. aber wie
> mache ich das?
Nein. Fuer die Summe: Nimm zwei beliebige [mm] $u,v\in [/mm] V$ und zeige, dass auch $u+v$ die Bedingung fuer das Enthaltensein in $V$ erfuellt. Sei etwa $u= [mm] (a_{1},a_{2}, a_{3}, a_{4})$ [/mm] und $v= [mm] (b_{1},b_{2}, b_{3}, b_{4})$. [/mm] Nach Definition von $V$ gilt dann [mm] $a_1^3+a_2=\overline{0} [/mm] und [mm] (a_2+a_3+a_4)^{27}=\overline{0}$ [/mm] und ebenso [mm] $b_1^3+b_2=\overline{0} [/mm] und [mm] (b_2+b_3+b_4)^{27}=\overline{0}$. [/mm] Es ist ja $u+v= [mm] (a_{1}+ b_{1},a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}, a_{4}+b_{4})$. [/mm] Du musst jetzt ueberpruefen, ob die entsprechenden Koordinaten von $u+v$ eingesetzt in die Bedingungen [mm] $x_1^3+x_2=\overline{0} [/mm] und [mm] (x_2+x_3+x_4)^{27}=\overline{0}$ [/mm] erfuellt sind. Dazu wuerde ich die Hinweise meines Vorredners beachtenoder Du musste einfach die Klammern ausmultiplizieren und ganz normal vereinfachen.
>
> Mathegirl
Viel Erfolg!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rids_s1 |
| Aufgabe | Aufgabe 1: (5 Punkte) Wir betrachten den Z=3Z-Vektorraum (Z=3Z)
4
. Die folgende Menge V ist
eine Teilmenge von (Z=3Z)
4
:
V =
x1
x2
x3
x4
2 (Z=3Z)
4
x
3
1 + x2 = 0 und (x2 + x3 + x4)
27
= 0
:
Ist V ein Untervektorraum von (Z=3Z)
4
? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Ich weiß immer noch nicht wie,ich v als nicht die leer bestimmen kann.
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> Aufgabe 1: (5 Punkte) Wir betrachten den Z=3Z-Vektorraum
> (Z=3Z)
> 4
> . Die folgende Menge V ist
> eine Teilmenge von (Z=3Z)
> 4
> :
> V =
>
> x1
> x2
> x3
> x4
>
> 2 (Z=3Z)
> 4
> x
> 3
> 1 + x2 = 0 und (x2 + x3 + x4)
> 27
> = 0
>
> :
> Ist V ein Untervektorraum von (Z=3Z)
> 4
> ? Begründen Sie Ihre Antwort.
> Ich weiß immer noch nicht wie,ich v als nicht die leer
> bestimmen kann.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mach Dir in Zukunft die Mühe, Deine Aufgabe leserlich hier einzutippen, wie Du nämlich siehst, funktioniert paste & copy nicht immer.
Die Punkte, die es auf eine Aufgabe gibt, interessieren uns auch eher nicht.
Ist's dieselbe Aufgabe wie beim Mathegirl?
Falls ja:
zeig, daß [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] in der Menge enthalten ist.
Gruß v. Angela
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ich verstehe es trotzdem noch nicht so ganz wie man mit diesem Modulo auf den Lösungsansatz kommt. Das kann ich nicht so richtig nachvollziehen. Und auch das Nachweisen der Eigenschaften, ich habe das noch nicht ganz verstanden. Könnt ihr das nochmal erklären?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Sa 26.11.2011 | | Autor: | davux |
Ich sehe jetzt, dass dir mit deiner Frage nicht nach einer Wiederholung von folgendem gelegen war, deshalb habe ich es mal in ein quote-Tag gesetzt.
Wie wäre es, wenn du mal die Fälle durchspielen würdest. Solange es nur [mm] \IZ/3\IZ [/mm] hast, kannst du das ja noch machen. Du solltest auf den gleichen Schluß kommen, wie pirad ihn dir weiter oben getan hat.
An dem Beispiel [mm] x_1^3 [/mm] in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] kann man es dir vielleicht nochmal veranschaulichen. Wir veranschaulichen uns [mm] \IZ/3\IZ [/mm] noch einmal als Menge von Restklassen in der Form [mm] $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ [/mm] und setzen mal für [mm] x_1 [/mm] jeweils ein Element dieser Menge ein.
Fall [mm] $x_1=\bar{0}$: $\bar{0}^3=\bar{0}\cdot\bar{0}\cdot\bar{0}=\bar{0}$
[/mm]
Fall [mm] $x_1=\bar{1}$: $\bar{1}^3=\bar{1}\cdot\bar{1}\cdot\bar{1}=\bar{1}$
[/mm]
Fall [mm] $x_1=\bar{2}$: $\bar{2}^3=\bar{2}\cdot\bar{2}\cdot\bar{2}=\bar{8}=\bar{2}$
[/mm]
Also ist [mm] x_1^3=x_1 [/mm] und damit die Potenz nichtig. So ähnlich lässt sich dann mit dem Ausdruck mit 27 als Potenz verfahren. Nur wissen wir schon, dass hoch 3 ohne Wirkung war. Was ist nun hoch 27? Es ist ebenfalls nichtig in [mm] \IZ/3\IZ, [/mm] da es nur ein Vielfaches [mm] ($3\cdot 3\cdot [/mm] 3=27$) von hoch 3 ist.
Ich denke, das Problem ist den Nachweis der Unterraumeigenschaften eben mit diesen Potenzen zu machen. Wenn man sieht, dass es überflüssig ist, diesen Umweg zu gehen, dann braucht man nur noch die Vektoreigenschaften wie gewohnt nachzurechnen. Also das modulo verschafft dir so gesehen keinen Ansatz, es ist eine Vorüberlegung, die dir den Weg ebnet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:06 So 27.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Ehm... mir fehlt der *frage hat sich erledigt* Knopf. Ich habe eine Lösung für mein Problem gefunden, also..wäre schön, wenn man den Status der "Frage" ändern könnte ^^
Liebe Grüße
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