Untervektorraum nachweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Handelt es sich um Untervektorräume von [mm] $R^n$ [/mm] ?
1.) W = [mm] \{ \vec v \in R^n : v_1+ ... + v_n = 0\} [/mm]
2.) W = [mm] \{ \vec v \in R^n : v_1^2 + ... + v_n^2 = 0 \}
[/mm]
3.) W = [mm] \{ \vec v \in R^n : v_1 = ... = v_n\}
[/mm]
4.) W = [mm] \{ \vec v \in R^n : v_1 \leq ... \leq v_n \}
[/mm]
5.) W = [mm] \{ \vec v \in R^n : v_1v_n = 0 \} [/mm] |
[Diese Frage wurde von mir in keinem anderen Forum gestellt]
Hallo!
Ich glaube, ich mache mir die Beantwortung der Frage etwas zu leicht:
1.)
Seien [mm] $\vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W$.
Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) = [mm] (v_1 [/mm] + ... + [mm] v_n [/mm] ) + [mm] (w_1 [/mm] + ... [mm] w_n) [/mm] = 0 + 0 = 0 [mm] \in [/mm] W$
Und $ [mm] \lambda\vec [/mm] v = [mm] \lambda(v_1 [/mm] + ... + [mm] v_n) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * 0 = 0 [mm] \in [/mm] W [mm] (\forall \lambda \in [/mm] K) $
2.)
Seien [mm] $\vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W$.
Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) = [mm] (v_1^2 [/mm] + ... + [mm] v_n^2 [/mm] ) + [mm] (w_1^2 [/mm] + ... [mm] w_n^2) [/mm] = 0 + 0 = 0 [mm] \in [/mm] W$
Und $ [mm] \lambda\vec [/mm] v = [mm] \lambda(v_1^2 [/mm] + ... + [mm] v_n^2) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * 0 = 0 [mm] \in [/mm] W [mm] (\forall \lambda \in [/mm] K) $
3.)
Seien [mm] $\vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W$.
Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) = [mm] (v_1) [/mm] + [mm] (w_1) \in [/mm] W $ (denn [mm] $v_1+w_1 [/mm] = [mm] v_2+w_2 [/mm] = ... [mm] \in [/mm] W )$
Und $ [mm] \lambda\vec [/mm] v = [mm] \lambda(v1) \in [/mm] W $ Denn das bedeutet: [mm] $\lambda [/mm] * [mm] v_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] v_2 [/mm] = ... $
4.) Seien [mm] $\vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W$.
Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) [mm] \in [/mm] W$ (denn das bedeutet ja: [mm] $v_1+w_1 \leq v_2+w_2 [/mm] ... )$
Und $ [mm] \lambda\vec [/mm] v = [mm] \not \in [/mm] W$ (denn z.B.: $ 1 [mm] \leq [/mm] 2 [mm] \leq [/mm] 3 .... $, aber für Lambda < 0 folgt nicht: $ -1 [mm] \leq [/mm] -2 [mm] \leq [/mm] -3 ...$ )
5.)
Seien [mm] $\vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W$.
Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) $ [Wie kann ich hier notieren, dass nur der erste und der n-te Eintrag gemeint ist?] = [mm] $v_1v_n [/mm] + [mm] w_1w_n [/mm] = 0 + 0 = 0 [mm] \in [/mm] W $
Und $ [mm] \lambda [/mm] * [mm] v_1v_n [/mm] = 0 $ (für alle Lambda aus K)
Vielen Dank fürs Drübersehen :)
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Hallo,
ganz schön viel auf einmal ...
> Handelt es sich um Untervektorräume von [mm]R^n[/mm] ?
>
> 1.) W = [mm]\{ \vec v \in R^n : v_1+ ... + v_n = 0\}[/mm]
> 2.) W = [mm]\{ \vec v \in R^n : v_1^2 + ... + v_n^2 = 0 \}[/mm]
> 3.)
> W = [mm]\{ \vec v \in R^n : v_1 = ... = v_n\}[/mm]
> 4.) W = [mm]\{ \vec v \in R^n : v_1 \leq ... \leq v_n \}[/mm]
>
> 5.) W = [mm]\{ \vec v \in R^n : v_1v_n = 0 \}[/mm]
> [Diese Frage
> wurde von mir in keinem anderen Forum gestellt]
>
> Hallo!
>
> Ich glaube, ich mache mir die Beantwortung der Frage etwas
> zu leicht:
Ja
>
> 1.)
> Seien [mm]\vec v , \vec w \in W[/mm].
> Dann ist [mm](\vec v + \vec w) = (v_1 + ... + v_n ) + (w_1 + ... w_n) = 0 + 0 = 0 \in W[/mm]
Das kannst du so nicht schreiben. Das sind doch Nullen aus [mm] $\IR$ [/mm] und nicht aus W$ ...
Mache das kleinschrittiger, damit klar wird, dass du auch weißt, was zu tun ist ...
Etwa [mm](v+w)=(v_1+...+v_n)+(w_1,...,w_n)=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n)[/mm]
Dies ist der Summenvektor. Für ihn muss gelten [mm](v_1+w_1)+(v_2+w_2)+...+(v_n+w_n)=0[/mm]
Tut es das?
[mm](v_1+w_1)+(v_2+w_2)+...+(v_n+w_n) \ = \ (v_1+v_2+...+v_n)+(w_1+w_2+...+w_n)[/mm] (Assoziativität und Kommutativität in [mm]\IR[/mm]
[mm]=0+0=0[/mm] (in [mm] $\IR$)
[/mm]
Also [mm] $v+w\in [/mm] W$
>
> Und [mm]\lambda\vec v = \lambda(v_1 + ... + v_n) = \lambda * 0 = 0 \in W (\forall \lambda \in K)[/mm]
Das reicht auch nicht, selber Fehler.
Zeigen musst du [mm] $\lambda v_1+\lambda v_2+...+\lambda v_n=0$ [/mm] (in [mm] $\IR$)
[/mm]
Das ist es aber, da [mm] $\lambda v=\lambda(v_1,...,v_n)=(\lambda v_1,...,\lambda v_n)$ [/mm] und damit
[mm] $\lambda v_1+\lambda v_2+...+\lambda v_n=\lambda(v_1+v_2+...+v_n)=\lambda\cdot{}0=0$ [/mm] (Rechnung in [mm] $\IR$ [/mm] !!)
>
> 2.)
> Seien [mm]\vec v , \vec w \in W[/mm].
> Dann ist [mm](\vec v + \vec w) = (v_1^2 + ... + v_n^2 ) + (w_1^2 + ... w_n^2) = 0 + 0 = 0 \in W[/mm]
Klappt so wiederum nicht!
Wenn die Summe von Quadraten 0 ist, muss jeder einzelne Summand 0 sein, also [mm]v_1=v_2=...=v_n=w_1=w_2=...=w_n=0[/mm]
>
> Und [mm]\lambda\vec v = \lambda(v_1^2 + ... + v_n^2) = \lambda * 0 = 0 \in W (\forall \lambda \in K)[/mm]
>
> 3.)
> Seien [mm]\vec v , \vec w \in W[/mm].
> Dann ist [mm](\vec v + \vec w) = (v_1) + (w_1) \in W[/mm] ??
Das ist doch Quatsch!
Mit [mm]v,w\in W[/mm] gilt [mm]v_1=v_2=...=v_n[/mm] und [mm]w_1=w_2=...=w_n[/mm]
Und [mm]v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n)[/mm]
Gilt hier [mm]v_1+w_1=v_2+w_2=...=v_n+w_n[/mm]
> (denn
> [mm]v_1+w_1 = v_2+w_2 = ... \in W )[/mm]
> Und [mm]\lambda\vec v = \lambda(v1) \in W[/mm]
???
> Denn das bedeutet: [mm]\lambda * v_1 = \lambda * v_2 = ...[/mm]
Mache das mal genauer, orientiere dich an dem, was ich oben ergänzt habe ...
> 4.) Seien [mm]\vec v , \vec w \in W[/mm].
> Dann ist [mm](\vec v + \vec w) \in W[/mm] (denn das bedeutet ja:
> [mm]v_1+w_1 \leq v_2+w_2 ... )[/mm]
Wieso ist das denn so? Da sollte ein Argument her 
> Und [mm]\lambda\vec v = \not \in W[/mm]
> (denn z.B.: [mm]1 \leq 2 \leq 3 .... [/mm], aber für Lambda < 0
> folgt nicht: [mm]-1 \leq -2 \leq -3 ...[/mm] ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, nimm konkret etwa [mm]\lambda=-1[/mm], dann geht die Ungleichungskette kaputt
Hier ist W also kein UVR
>
> 5.)
> Seien [mm]\vec v , \vec w \in W[/mm].
> Dann ist [mm](\vec v + \vec w)[/mm] [Wie kann ich hier notieren,
> dass nur der erste und der n-te Eintrag gemeint ist?] =
Das "=" ist falsch
Es ist [mm]v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n)[/mm]
Hier musst du schauen, ob auch [mm](v_1+w_1)(v_n+w_n)[/mm] 0 ist oder nicht
Tipp: Suche ein Gegenbsp. ..
Nimm den [mm]\IR^2[/mm] und finde 2 einfache Vektoren [mm]v=(v_1,v_2)[/mm] und [mm]w=(w_1,w_2)[/mm] mit [mm]v,w\in W[/mm], aber [mm]v+w\notin W[/mm]
> [mm]v_1v_n + w_1w_n = 0 + 0 = 0 \in W[/mm]
> Und [mm]\lambda * v_1v_n = 0[/mm]
> (für alle Lambda aus K)
>
>
> Vielen Dank fürs Drübersehen :)
War nur auf die Schnelle - mögen andere es ergänzen ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo!
> Handelt es sich um Untervektorräume von $ [mm] R^n [/mm] $ ?
Ja
> 3.)
> Und $ [mm] \lambda\vec [/mm] v = [mm] \lambda(v_1) \in [/mm] W $
> Denn das bedeutet: $ [mm] \lambda \cdot{} v_1 [/mm] = [mm] \lambda \cdot{} v_2 [/mm] = ... $
Also..
Zu zeigen: [mm] \lambda [/mm] * v = [mm] \lambda (v_1, v_2, [/mm] ..., [mm] v_n) [/mm] = [mm] (\lambda*v_1, \lambda*v_2, [/mm] ..., [mm] \lambda*v_n) \in [/mm] W$ , d.h.: [mm] $\lambda*v_1 [/mm] = [mm] \lambda*v_2 [/mm] = ... = [mm] \lambda*v_n.$
[/mm]
Und das tut es, denn aus $ [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] = ... = [mm] v_n [/mm] $ folgt: $ [mm] \lambda*v_1 [/mm] = [mm] \lambda*v_2 [/mm] = ... = [mm] \lambda*v_n [/mm] $
>> 4.) Seien $ [mm] \vec [/mm] v , [mm] \vec [/mm] w [mm] \in [/mm] W $.
>> Dann ist $ [mm] (\vec [/mm] v + [mm] \vec [/mm] w) [mm] \in [/mm] W $ (denn das bedeutet ja:
>> $ [mm] v_1+w_1 \leq v_2+w_2 [/mm] ... ) $
>Wieso ist das denn so? Da sollte ein Argument her
Das gilt, denn wegen $ [mm] v_1 \leq v_2 [/mm] $ und $ [mm] w_1 \leq w_2 [/mm] $ folgt mit
$ [mm] v_1 [/mm] + [mm] w_1 \leq v_2 [/mm] + [mm] w_1 [/mm] $ und $ [mm] v_2 [/mm] + [mm] w_1 \leq v_2 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] $ die Transitivität: $ [mm] v_1 [/mm] + [mm] w_2 \leq w_2 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] $
>> 5.)
>Das "=" ist falsch
>Es ist $ [mm] v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n) [/mm] $
>Hier musst du schauen, ob auch $ [mm] (v_1+w_1)(v_n+w_n) [/mm] $ 0 ist oder nicht
>Tipp: Suche ein Gegenbsp. ..
Wie wäre es mit v = (1, 0) und w = (0, 1) sodass 1*0 = 0*1 = 0 in W ist, aber v+w = (1,0)+(0,1) = (1+0, 0+1) = (1,1) wegen 1*1 = 1 nicht in W ist?
>War nur auf die Schnelle - mögen andere es ergänzen ...
>Gruß
>schachuzipus
Das war doch sehr ausführlich, also herzlichen Dank schonmal!
Gruß zurück :)
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Hallo nochmal,
leider ist nicht so gut zu erkennen, was Zitat und was Zitat vom Zitat usw. ist ...
Ich versuche mal durchzublicken ...
> Hallo!
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> > Handelt es sich um Untervektorräume von [mm]R^n[/mm] ?
>
> Ja
>
> > 3.)
> > Und [mm]\lambda\vec v = \lambda(v_1) \in W[/mm]
> > Denn das
> bedeutet: [mm]\lambda \cdot{} v_1 = \lambda \cdot{} v_2 = ...[/mm]
>
> Also..
> Zu zeigen: [mm]\lambda[/mm] * v = [mm]\lambda (v_1, v_2,[/mm] ..., [mm]v_n)[/mm] =
> [mm](\lambda*v_1, \lambda*v_2,[/mm] ..., [mm]\lambda*v_n) \in[/mm] W$ , d.h.:
> [mm]\lambda*v_1[/mm] = [mm]\lambda*v_2[/mm] = ... = [mm]\lambda*v_n.[/mm]
>
> Und das tut es, denn aus [mm]v_1 = v_2 = ... = v_n[/mm] folgt:
> [mm]\lambda*v_1 = \lambda*v_2 = ... = \lambda*v_n[/mm]
Genauso musst du argumentieren
>
> >> 4.) Seien [mm]\vec v , \vec w \in W [/mm].
> >> Dann ist [mm](\vec v + \vec w) \in W[/mm]
> (denn das bedeutet ja:
> >> [mm]v_1+w_1 \leq v_2+w_2 ... )[/mm]
>
> >Wieso ist das denn so? Da sollte ein Argument her
>
> Das gilt, denn wegen [mm]v_1 \leq v_2[/mm] und [mm]w_1 \leq w_2[/mm] folgt
> mit
> [mm]v_1 + w_1 \leq v_2 + w_1[/mm] und [mm]v_2 + w_1 \leq v_2 + w_2[/mm] die
> Transitivität: [mm]v_1 + w_2 \leq w_2 + v_2[/mm]
Jau, das wollte ich hören!
>
>
> >> 5.)
> >Das "=" ist falsch
> >Es ist [mm]v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n)[/mm]
> >Hier musst du schauen, ob auch [mm](v_1+w_1)(v_n+w_n)[/mm] 0 ist
> oder nicht
> >Tipp: Suche ein Gegenbsp. ..
>
> Wie wäre es mit v = (1, 0) und w = (0, 1) sodass 1*0 = 0*1
> = 0
> in W ist
Das ist doch die reelle 0, die ist nicht in W, aber es sind $v$ und $w$ in W !!
> , aber v+w = (1,0)+(0,1) = (1+0, 0+1) = (1,1)
> wegen 1*1 = 1 nicht in W ist?
Tippitoppi!
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> >War nur auf die Schnelle - mögen andere es ergänzen ...
>
> >Gruß
> >schachuzipus
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> Das war doch sehr ausführlich, also herzlichen Dank
> schonmal!
>
> Gruß zurück :)
Jo, weiter so!
Gruß
schachuzipus
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Hallöchen!
Du hast mir sehr geholfen und den grauen Tag verschönert
Das mit den Zitaten tut mir leid. Wie bringe ich denn zwei Zitier-Ebenen mit ein?
Du schreibst:
> Das ist doch die reelle 0, die ist nicht in W, aber es sind $ v $ und $ w $ in W !!
Vielen Dank dafür - auch hier hatte ich gemeint: "v und w sind in W", habe natürlich aber was ganz anderes geschrieben. Das sollte nicht mehr passieren..
Gruß!
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