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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 15.11.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des [mm] R^{3}?
[/mm]
a) Alle Vektoren der Form (x1, x2, x3) mit x2= x1+x3
b) Alle Vektoren der Form (x1,x2,x3) mit x1x2x3=0
I meinem Skript habe ich die drei UVR Kriterien gefunden:
[mm] U\not= [/mm] 0
Für alle v, w [mm] \in [/mm] U gilt, v+w [mm] \in [/mm] U (abgeschlossenheit bzgö der Addition)
Für alle [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] v\in [/mm] U, gilt [mm] \lambda [/mm] * v [mm] \in [/mm] U
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ich weiß aber leider nicht so recht wie diese Überprfüung jetzt genau funktioniert:
vielleicht kann mir ja jemand einen Ansatz oder ähnlich geben...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
> [mm]R^{3}?[/mm]
>
> a) Alle Vektoren der Form (x1, x2, x3) mit x2= x1+x3
> b) Alle Vektoren der Form (x1,x2,x3) mit x1x2x3=0
Wie sehen die Mengen jeweils aus?
a) [mm] U_1:=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3|x2= x1+x3\}=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3|x1+x3-x_2=0\}
[/mm]
b) [mm] U_2=\{\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}\in\IR^3|x_1*x_2*x_3=0\}
[/mm]
> I meinem Skript habe ich die drei UVR Kriterien gefunden:
> [mm]U\not=[/mm] 0
Du meinst [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
Überprüfen wir also [mm] U_1 [/mm] einmal darauf hin. Hier überprüft man, ob der Nullvektor in der Menge [mm] U_1 [/mm] liegt. Ist [mm] \vektor{0 \\ 0\\0}\in{U_1}? [/mm] Also, gilt 0+0-0=0? Natürlich, also ist [mm] \vektor{0 \\ 0\\0}\in{U_1} [/mm] und damit [mm] U_1\not=\emptyset.
[/mm]
> Für alle v, w [mm]\in[/mm] U gilt, v+w [mm]\in[/mm] U (abgeschlossenheit bzgl der Addition)
Du nimmst dir also zwei Vektoren [mm] v=\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3},w=\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3}\in{U_1}. [/mm] Da [mm] v,w\in{U_1} [/mm] gilt doch: [mm] v_1+v_3-v_2=0 [/mm] und [mm] w_1+w_3-w_2=0. [/mm] Gilt dann auch [mm] v+w=\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}+\vektor{w_1 \\ w_2\\w_3}=\vektor{v_1+w_1 \\ v_2+w_2\\v_3+w_3}\in{U_1}? [/mm] Du musst also prüfen, ob [mm] (v_1+w_1)+(v_3+w_3)-(v_2+w_2)\stackrel{\mathrm{\red{?}}}= [/mm] 0
> Für alle [mm]\lambda \in[/mm] K, [mm]v\in[/mm] U, gilt [mm]\lambda[/mm] * v [mm]\in[/mm] U
Jetzt nimmst du dir ein [mm] \lambda\in\IR [/mm] und [mm] v\in{U_1}. [/mm] Ist dann [mm] \lambda*\vektor{v_1 \\ v_2\\v_3}=\vektor{\lambda*v_1 \\ \lambda*v_2\\ \lambda*v_3}\in{U_1}? [/mm] Du musst also überprüfen, ob
[mm] \lambda*v_1+\lambda*v_3-\lambda*v_2\stackrel{\mathrm{\red{?}}}=0
[/mm]
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 15.11.2009 | | Autor: | julmarie |
Super danke, dass hat mir total geholfen.. hab das jetzt alles überprüft... und a) ist ein Untervektorraum..
vielen Dank.. dann kann ich jetzt auch die anderen Aufgaben lösen :)
Schönen Sonntag noch!
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