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| Aufgabe | Bestimmen sie jeweils das Bild und das Urbild von $M$ unter f in den folgenden Fällen:
$a) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] |x| , M:= [-1,1]$
$b) f: [mm] \IR^{\*} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1+ [mm] \frac{1}{x}, [/mm] M [mm] :=\IR^{\*}_{+}$ [/mm] |
$a) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] |x| , M:= [-1,1]$
$f([-1,1])= [0,1]$
[mm] $f^{-1}([-1,1])= [/mm] [0,1]$
beim urbild bin ich mir nicht so sicher ,da es ja durch den betrag nicht möglich ist negative zahlen abzubilden
$b) f: [mm] \IR^{\*} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1+ [mm] \frac{1}{x}, [/mm] M [mm] :=\IR^{\*}_{+}$
[/mm]
[mm] $f(\IR^{\*}_{+})= [/mm] [1,2]$
[mm] $f^{-1}(\IR^{\*}_{+})$ [/mm] da hab ich leider auch keine ahnung...Hilfe :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo forestdumb!
> Bestimmen sie jeweils das Bild und das Urbild von [mm]M[/mm] unter f
> in den folgenden Fällen:
>
> [mm]a) f: \IR \to \IR, x \mapsto |x| , M:= [-1,1][/mm]
>
> [mm]b) f: \IR^{\*} \to \IR, x \mapsto 1+ \frac{1}{x}, M :=\IR^{\*}_{+}[/mm]
>
> [mm]a) f: \IR \to \IR, x \mapsto |x| , M:= [-1,1][/mm]
>
> [mm]f([-1,1])= [0,1][/mm]
> [mm]f^{-1}([-1,1])= [0,1][/mm]
>
> beim urbild bin ich mir nicht so sicher ,da es ja durch den
> betrag nicht möglich ist negative zahlen abzubilden
Es ist
[mm] f^{-1}([-1,1]):=\{x\in\IR\colon f(x)\in[-1,1]\}=\{x\in\IR\colon |x|\in[-1,1]\}.
[/mm]
Schreibe zum Beispiel
[mm] f^{-1}(1):=\{x\in\IR\colon f(x)=1\}.
[/mm]
ausführlich aus. Fällt dir etwas (bzgl. deiner Behauptung) auf?
Übrigens: Was ist mit dem Bild von [mm] $M\$ [/mm] unter [mm] $f\$?
[/mm]
> [mm]b) f: \IR^{\*} \to \IR, x \mapsto 1+ \frac{1}{x}, M :=\IR^{\*}_{+}[/mm]
>
> [mm]f(\IR^{\*}_{+})= [1,2][/mm]
>
> [mm]f^{-1}(\IR^{\*}_{+})[/mm] da hab ich leider auch keine
> ahnung...Hilfe :/
Schreibe das mal (analog zur obigen Aufgabe) ausführlich auf.
Vielleicht hilft es dir auch mit
[mm] M:=\IR^{\*}_{+}=(0,\infty)
[/mm]
zu arbeiten.
Gruß
DieAcht
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du hast ja geschrieben
$ [mm] f^{-1}([-1,1]):=\{x\in\IR\colon f(x)\in[-1,1]\}=\{x\in\IR\colon |x|\in[-1,1]\}. [/mm] $ das problem in meinem Gehirn momentan ist,dass ich denke dass der betrag ja nicht $f(x)$ an nimmt die negativ sind ,also ist mein problem wie soll mann z.bsp $-1 $ darstellen,wenn es ja eh $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$. Sorry wenn ich irgendwelche hinweise über sehen hab,aber ich raff das momentan nicht,was ich obeng eschildert hab.
das bild f([-1,1])=[0,1] also das hab ich las bild raus bei der a
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Ich habe dir doch empfohlen
[mm] f^{-1}(1):=\{x\in\IR\colon f(x)=1\}\qquad(\star)
[/mm]
zu betrachten, damit du erkennen kannst, dass deine Behauptung
[mm] f^{-1}([-1,1])=[0,1]
[/mm]
falsch ist. Schreibe also [mm] \qquad(\star) [/mm] ausführlich aus.
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Ich habs mal handschriftlich aufgeschrieben
Bitte hier : https://www.dropbox.com/s/xobqlm5lu4u4ldm/20150501_194216.jpg?dl=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Fr 01.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Es ist
[mm] f^{-1}(1):=\{x\in\IR\colon f(x)=1\}=\{x\in\IR\colon |x|=1\}=\{-1,1\}.
[/mm]
Du behauptest
[mm] f^{-1}(M)=f^{-1}([-1,1])=[0,1].
[/mm]
Siehst du es jetzt?
Zu deiner zweiten Frage: Es ist
[mm] f^{-1}(-1):=\{x\in\IR\colon f(x)=-1\}=\{x\in\IR\colon |x|=-1\}=\emptyset.
[/mm]
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das bild und urbild der funktion ist $[-1,1]$
b) müsste dann ja $
[mm] f^{-1}(\IR^{\*}_{+})=(0,\infty)$
[/mm]
also auch $
[mm] f(\IR^{\*}_{+})= (0,\infty)$
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:14 So 03.05.2015 | | Autor: | forestdumb |
ist das nicht gut so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das bild und urbild der funktion ist [mm][-1,1][/mm]
es geht hier um $f [mm] \colon \IR \ni [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] f(x):=|x| [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
In der Tat ist
[mm] $f^{-1}([-1,1])=f^{-1}([0,1])=[-1,\,1]\,.$
[/mm]
Lieferst Du bitte einen Beweis dafür?! (Wie zeigt man eine Mengengleichheit?)
Aber keineswegs ist
[mm] $f([-1,\,1])=[-1,\,1]\,.$
[/mm]
Wie sollte das gehen? Insbesondere gäbe es dann ja ein [mm] $x_0 \in [/mm] [-1,1]$ mit
[mm] $f(x_0)=|x_0|=-1\,.$
[/mm]
Das ist also Unsinn!
Rechts gehört $[0,1]$ hin. Beweis bitte!
>
> b) müsste dann ja $
> [mm]f^{-1}(\IR^{\*}_{+})=(0,\infty)$[/mm]
> also auch $
> [mm]f(\IR^{\*}_{+})= (0,\infty)$[/mm]
Ich habe ebensowenig, sicher auch wie andere, nochmal Lust, die Aufgabe
rauszusuchen. Schreibe bitte zu den aktuellen Rechnungen auch die
Aufgabe dazu.
Bspw. so, wie ich es jetzt mache: Ich habe einfach Deine Ausgangsfrage
nochmal geöffnet, habe mit der Maus die Funktion der Aufgabe b) markiert,
dann kopiert und füge sie hier nochmal ein:
$ b) f: [mm] \IR^{*} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1+ [mm] \frac{1}{x}, [/mm] M [mm] :=\IR^{*}_{+} [/mm] $
P.S. Wenn Du für jede Aufgabe eine eigene Frage erstellst, wird das auch
übersichtlicher. Wobei das hier auch noch geht...
Aber jetzt kann ja eine andere Person noch was zu Teil b) sagen...
P.P.S. Für [mm] $f\,$ [/mm] aus Aufgabenteil a) kann man direkt
[mm] $f^{-1}([-1,1])=f^{-1}([0,1])$
[/mm]
schreiben, weil [mm] $f(\IR)=[0,\infty)$ [/mm] ist...
Na, vielleicht doch noch etwas genauer: Ist $a [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ eine Abbildung, so
gilt für alle $W [mm] \subseteq [/mm] Z$
[mm] $a^{-1}(W)=\{x \in D\mid a(x) \in W\}=\{x \in D \mid a(x) \in \,(a(D) \cap W)\,\}=a^{-1}(a(D) \cap W)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> das bild und urbild der funktion ist [mm][-1,1][/mm]
Siehe Marcel.
> b) müsste dann ja [mm]f^{-1}(\IR^{\*}_{+})=(0,\infty)[/mm]
Begründung?
> also auch [mm]f(\IR^{\*}_{+})= (0,\infty)$[/mm]
*Ich* finde aber bspw. kein [mm] x_0\in(0,\infty) [/mm] mit [mm] f(x_0)=\frac{1}{2}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist
>
> [mm]f^{-1}(1):=\{x\in\IR\colon f(x)=1\}=\{x\in\IR\colon |x|=1\}=\{-1,1\}.[/mm]
>
> Du behauptest
>
> [mm]f^{-1}(M)=f^{-1}([-1,1])=[0,1].[/mm]
>
> Siehst du es jetzt?
>
>
> Zu deiner zweiten Frage: Es ist
>
> [mm]f^{-1}(-1):=\{x\in\IR\colon f(x)=-1\}=\{x\in\IR\colon |x|=-1\}=\emptyset.[/mm]
das ist zwar eine Konvention, aber die habe ich noch nie gut gefunden.
Ich schreibe immer
[mm] $f^{-1}(\red{\{\black{1}\}})$
[/mm]
für obiges Urbild.
[mm] $f^{-1}(1)$ [/mm] wirklich NUR, wenn [mm] $f^{-1}$ [/mm] die Umkehrfunktion (der bijektiven
Funktion [mm] $f\,$) [/mm] ist.
Ebenso schreibe ich den Nullraum auch als [mm] $\{0_V\}$ [/mm] und nicht [mm] $0_V\,,$ [/mm] mir hat
sich der Sinn der Klammerersparniss nie erschlossen. Wenn ich etwa mehrmals
von dem Nullraum reden muss, dann definiere ich mir etwas, etwa [mm] $NR:=\{0_V\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 03.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel!
Ich habe in der letzten Zeit wohl ein bisschen zu viel englische
Literatur gelesen. Dort wird in der Regel "fiber" benutzt und aus
Faulheit schreibt man dann die Mengenklammern nicht mehr mit.
Trotzdem hast du Recht und der Hinweis ist gut, insbesondere weil
ich dieses Jahr *genauer* arbeiten wollte.
Beste Grüße
DieAcht
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