Urne Whkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Urne befnden sich a weiße, b schwarze und c rote Kugeln. Der Urne werden nacheinander alle Kugeln entnommen und ihre Farbe notiert. Man beweise:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste weiße Kugel vor der ersten schwarzen Kugel gezogen wird, betragt
[mm] \bruch{a}{a+b} [/mm] |
Hallo,
ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und wäre glücklich über jegliche Hilfe.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> In einer Urne befnden sich a weiße, b schwarze und c rote
> Kugeln. Der Urne werden nacheinander alle Kugeln entnommen
> und ihre Farbe notiert. Man beweise:
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste weiße Kugel
> vor der ersten schwarzen Kugel gezogen wird, betragt
>
> [mm]\bruch{a}{a+b}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll und wäre glücklich über jegliche Hilfe.
>
> Danke
Hallo,
die roten Kugel in der Ziehungsfolge können völlig ignoriert werden, da sie weder das Ereignis noch das Gegenereignis beeinflussen.
Übrig bleibt:
Unter der Bedingung, dass weiß oder schwarz gezogen wird (a+b Möglichkeiten), soll die erste Kugel weiß sein.
Gruß Abakus
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Hmm, das ist ja jetzt sozusagen eine Zusammenfassung der Aufgabe gewesen, aber wie beweise ich diesen Satz denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hmm, das ist ja jetzt sozusagen eine Zusammenfassung der
> Aufgabe gewesen, aber wie beweise ich diesen Satz denn?
Es gibt (a+b) Möglichkeiten für die erste Kugel. Wie viele davon sind günstig?
Da du in deinen Profilangaben deinen mathematischen Hintergrund nicht angegeben hast, kann man dir nicht entsprechend antworten.
Je nachdem, ob diese Frage aus Klasse 8, Klasse 12 oder dem Studium kommt, wird man andere Lösungswege erwarten. Meiner ist elementar.
Wenn du studierst oder in Sek II bist, wird man möglicherweise einen Nachweis mit der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit verlangen.
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Mathematik im Grundstudium müsste eig bei mir stehen...
Aber mit der Formel kann ich leider nichts anfangen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Mathematik im Grundstudium müsste eig bei mir stehen...
> Aber mit der Formel kann ich leider nichts anfangen :(
Also seid ihr noch beim Urschleim, und es wird einfach die Anzahl der günstigen Möglichkeiten a dürch die Anzahl aller Möglichkeiten (a+b) geteilt (mit der Argumentation, dass wir die Anzahl c nicht brauchen).
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Urschleim finde ich gut :D
Ja, was mache ich also jetzt damit?
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Hallo xxela89xx,
> Urschleim finde ich gut :D
> Ja, was mache ich also jetzt damit?
Nichts mehr. Es ist alles gesagt und gerechnet.
Die wesentliche Einsicht, dass alle Kugeln, die weder schwarz noch weiß sind, zu dieser Wahrscheinlichkeit nichts beitragen. Du kannst auch noch d gelbe und e blaue sowie f schweinchenrosane Kugeln mit in die Urne kippen, es bleibt so, wie es ist:
Irgendwann kommt beim Ziehen eine Kugel, die schwarz oder weiß ist. Davon gibt es halt a+b. Das ist die Zahl der hier zu betrachtenden möglichen Fälle. Günstige Fälle gibt es hier aber nur a, nämlich die Zahl der weißen Kugeln.
also ist die Wahrscheinlichkeit
[mm] p(\text{1.weiß vor 1.schwarz)}=\bruch{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}}=\bruch{a}{a+b}
[/mm]
Mit dieser Grunddefinition von Wahrscheinlichkeit kommt man ziemlich weit. Der Urschleim ist halt überall. 
Grüße
reverend
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Das wars? Das ist der Beweis für dieser Aufgabe? Und ich überlege hier noch 10 Stunden -.-
Aber danke, alleine wäre ich da nicht draufgekommen.
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Hallo nochmal,
> Das wars? Das ist der Beweis für dieser Aufgabe?
Ja, das wars schon. Im Prinzip schon seit der ersten Antwort von Abakus.
Nur - ein Beweis ist das nicht, sondern nur die Ermittlung einer Wahrscheinlichkeit.
> Und ich
> überlege hier noch 10 Stunden -.-
> Aber danke, alleine wäre ich da nicht draufgekommen.
So ist das am Anfang. Ein Hauptziel jedes Studiums ist zu wissen, wann man mit einer Aufgabe eigentlich fertig ist.
Ehrlich wahr.
Dann viel Erfolg beim Waten im Urschleim. Er ist übrigens vernünftig dosiert sogar essbar. Manche gewöhnen sich nie an den Geschmack, andere sind süchtig danach. Jeden Morgen eine Definition, mittags ein Lemma, und abends wenigstens einen kleinen Beweis...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 04.11.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Danke für die hilfreichen Tipps. Ich hoffe, dass ich irgendwann auch zu denen gehören werde, die süchtig danach sind :p
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxela89xx!
(Sicherlich ist a,b>0 vorausgesetzt (oder zumindest einer der beiden Werte >0).)
Ich bin anderer Meinung als meine Vorredner. Vermutlich ist dies eine Aufgabe aus einer Stochastik-Vorlesung. Da soll vermutlich gerade das präzise Arbeiten mit einem mathematischen stochastischen Modell eingeübt werden. Daher wird die von den anderen vorgeschlagene Lösung zumindest durch Modellierung einer Grundmenge und Angabe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ihr zu lösen sein.
Das könnte hier so aussehen:
Wir denken uns die weißen und schwarzen Kugeln von 1 bis a+b durchnummeriert, wobei die weißen Kugeln die Nummern 1 bis a und die schwarzen Kugeln die Nummern [mm] $a+1,\ldots,a+b$ [/mm] erhalten.
Als Grundmenge wählen wir [mm] $\Omega:=\{1,\ldots,a+b\}$, [/mm] wobei [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] dafür steht, dass als erste schwarze oder weiße Kugel die Kugel Nummer [mm] $\omega$ [/mm] gezogen wird.
Da alle $a+b$ schwarzen und weißen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, als erste nicht rote Kugel gezogen zu werden, können wir eine Laplace-Verteilung auf [mm] $\Omega$ [/mm] annehmen, die mit P bezeichnet sei.
Das Ereignis, dass die erste gezogene schwarze oder weiße Kugel eine weiße Kugel ist, ist gegeben durch [mm] $E=\{1,\ldots,a\}$.
[/mm]
Somit gilt: [mm] $P(E)=\bruch{|E|}{|\Omega|}=\bruch{a}{a+b}$.
[/mm]
Also lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{a}{a+b}$.
[/mm]
Das war jetzt eine Präzisierung der vorgeschlagenen Lösung.
Die umgangssprachliche Formel [mm] "Wahrscheinlichkeit=$\bruch{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}$" [/mm] ist nicht die "Grunddefinition" von Wahrscheinlichkeit, sondern nur für Laplace-Experimente, also solche, bei denen alle Ausgänge die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, anwendbar.
Viele Grüße
Tobias
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