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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:41 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Mal eine Wettbewerbsaufgabe, die Kombinatorik und elementare Zahlentherorie verbindet:
In einer Urne liegen $n$ Kugeln, weiße und schwarze. Wir ziehen mit einem Griff zwei Kugeln. Wenn die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "man zieht ein gemischtes Paar" genau [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist, was kann man dann über den Inhalt der Urne aussagen?
Viel Spaß!
Stefan
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Hallo.
Ich habe mir folgenden Ansatz überlegt:
Die Anzahl Möglichkeiten aus n Kugeln zwei Kugeln auszuwählen (unabhängig von der Reihenfolge in der man sie zieht) beträgt
[mm]\bruch{n!}{(n-2)!*2!} = \bruch{n*(n-1)}{2}[/mm]
Die Anzahl der Fälle in denen man ein gemischtes Paar ziehen würde beträgt (wieder unabhängig von der Reihenfolge in der man die 2 jeweiligen Kugeln zieht):
[mm]w*s[/mm]
w = Anzahl d. weissen Kugeln
s = Anzahl d. schwarzen Kugeln
[mm]n = w+s[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit ein gemischtes Paar zu ziehen ist somit:
[mm]\bruch{2ws}{(w+s)*(w+s-1)}[/mm]
Es muss also gelten
[mm]\bruch{2ws}{(w+s)*(w+s-1)} = \bruch{1}{2}[/mm]
[mm]4ws = w^2+2ws+s^2-w-s[/mm]
[mm]w^2-w*(2s+1)+s*(s-1) = 0[/mm]
[mm]w = s + \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{4s^2+4s+1}{4}-s^2+s}[/mm]
[mm]w = s + \bruch{1}{2} \pm \bruch{\wurzel{8s+1}}{2}[/mm]
Jetzt müsste man noch zeigen wann 8s+1 eine Quadratzahl ist...
MfG
Jan
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Hallo Stefan.
Ich habe da noch etwas herausgefunden:
[mm]8s+1[/mm] ist für alle [mm]s = \bruch{z*(z+1)}{2}[/mm]
eine Quadratzahl da
[mm]4z^2+4z+1 = (2z+1)^2[/mm]
Mit 8s+1 lässt sich also das Quadrat jeder ungeraden Zahl darstellen.
[mm]w = s + \bruch{1}{2} \pm \bruch{\wurzel{8s+1}}{2}[/mm]
[mm]w = \bruch{z^2+3z+2}{2}[/mm]
bzw.
[mm]w = \bruch{z^2-z}{2}[/mm]
je nachdem ob man addiert oder subtrahiert.
Der zweite Fall ist allerdings etwas ungünstig, da das Ergebnis mit z=1 (bzw. s=1) keinen Sinn ergibt (Im zweiten Fall geht man davon aus, dass es mehr Schwarze Kugeln gibt).
[mm]n = w + s = \bruch{2z^2+4z+2}{2} = \bruch{2*(z+1)^2}{2} = (z+1)^2[/mm]
n kann also den Wert jeder Quadratzahl (bis auf [mm]1^2=1[/mm]) annehmen.
[mm]w = \bruch{z^2+3z+2}{2} = \bruch{(z+1)(z+2)}{2}[/mm]
[mm]s = \bruch{z*(z+1)}{2}[/mm]
Oder eben umgekehrt:
[mm]s = \bruch{z^2+3z+2}{2} = \bruch{(z+1)(z+2)}{2}[/mm]
[mm]w = \bruch{z*(z+1)}{2}[/mm]
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:14 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Jan!
Sehr, sehr schön! 
Ich hatte auch raus, dass $n$ eine Quadratzahl sein muss, konnte es aber ausgehend von deiner Rechnung nicht zeigen. (Ich habe die Tasache, dass $n$ eine Quadratzahl sein muss, ähnlich, aber eben nicht genau gleich, gezeigt.) Dir ist das aber sehr gut gelungen, das auch ausgehend von deinem Ergebnis zu zeigen.
Dafür allerhöchsten ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]") !!
Wirklich, ich bin echt beeindruckt. Und finde es echt super, dass wir jetzt so viele begabte junge Mathematiker im Forum haben. Allein dafür hat sich das Wettbewerbs-Forum schon gelohnt.
Beantworte doch mal ein paar Fragen von Hilfsbedürftigen im Forum, damit ich dich für unser Projektteam vorschlagen kann.
Liebe Grüße
Stefan
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(Schreibe ich, weil sie gerade online ist und weil sie mir letzte Woche die ganze Zeit von den tollen Olympia-Hessen vorgeschwärmt hat. Immer dieser Lokalpatriotismus... 