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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Di 22.11.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Eine Maus ist in einem Käfig mit n Türen eingesperrt. Genau eine dieser Türen öffnet sich bei Berührung durch die Maus.
(a) Die Maus habe ein Gedächtnis, d.h. sie versucht es bei jeder Tür nur einmal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse
A: Die Maus findet die Tür beim k-ten Versuch
B: Die Maus ist nach dem k-ten Versuch immer noch gefangen.
(b) Berechnen Sie P(A) und P(B) unter der Voraussetzung, dass die Maus kein Gedächtnis hat. |
aaaaah, die Aufgabe macht mich wahnsinnig!!!
ich bekomm das nicht ordentlich modelliert.
zu (a)
man habe eine Urne mit n nummerierten Kugel (=die Türen). Die Kugel mit der 1 ist rot (=offene Tür) und die Kugeln von 2 bis n sind schwarz (=geschlossene Türen). Man kann also die geschlossenen Türen unterscheiden.
dann hat man folgende Ergebnismenge:
[mm]\Omega =\{ \left(a_1 ,...,a_k\right) | a_i \not= a_j ; i \not= j \}[/mm]
#[mm]\Omega = \bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
#[mm]A = (n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) = \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!}[/mm]
oder?
dann wäre [mm]P(A) = \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!}*\bruch{(n-k)!}{n!} =\bruch{n-k}{n} [/mm]
aber das passt nicht mit meinen "logischen" Überlegungen zusammen.
Ich kann mir das ja als Baumdiagramm vorstellen und für jede Tür die Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren. Dann komme ich auf folgende Wahrscheinlichkeit:
[mm] \bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n-1}*...*\bruch{n-k+1}{n-k+2}*\bruch{1}{n-k+1}[/mm]
das müsste [mm]\bruch{(n-1)!}{n!} = 1/n [/mm] sein
aber das ist nicht das Selbe..............
ich versteh das nicht und hasse es!![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo ella87,
> Eine Maus ist in einem Käfig mit n Türen eingesperrt.
> Genau eine dieser Türen öffnet sich bei Berührung durch die Maus.
>
> (a) Die Maus habe ein Gedächtnis, d.h. sie versucht es bei
> jeder Tür nur einmal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
> für die Ereignisse
>
> A: Die Maus findet die Tür beim k-ten Versuch
> B: Die Maus ist nach dem k-ten Versuch immer noch
> gefangen.
>
> (b) Berechnen Sie P(A) und P(B) unter der Voraussetzung,
> dass die Maus kein Gedächtnis hat.
> aaaaah, die Aufgabe macht mich wahnsinnig!!!
> ich bekomm das nicht ordentlich modelliert.
>
> zu (a)
> man habe eine Urne mit n nummerierten Kugel (=die Türen).
> Die Kugel mit der 1 ist rot (=offene Tür) und die Kugeln
> von 2 bis n sind schwarz (=geschlossene Türen). Man kann
> also die geschlossenen Türen unterscheiden.
>
> dann hat man folgende Ergebnismenge:
> [mm]\Omega =\{ \left(a_1 ,...,a_k\right) | a_i \not= a_j ; i \not= j \}[/mm]
>
> #[mm]\Omega = \bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
>
> #[mm]A = (n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) = \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!}[/mm]
>
> oder?
>
> dann wäre [mm]P(A) = \bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!}*\bruch{(n-k)!}{n!} =\bruch{n-k}{n}[/mm]
Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten k Versuche der Maus fehlschlagen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
>
> aber das passt nicht mit meinen "logischen" Überlegungen
> zusammen.
> Ich kann mir das ja als Baumdiagramm vorstellen und für
> jede Tür die Wahrscheinlichkeiten miteinander
> multiplizieren. Dann komme ich auf folgende Wahrscheinlichkeit:
>
> [mm]\bruch{n-1}{n}*\bruch{n-2}{n-1}*...*\bruch{n-k+1}{n-k+2}*\bruch{1}{n-k+1}[/mm]
>
> das müsste [mm]\bruch{(n-1)!}{n!} = 1/n[/mm] sein
Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau die k. Tür die richtige ist . Das ist auch intuitiv klar: An der k. Stelle wird letztendlich zufällig eine Tür geöffnet und die WSK, dass es sich dabei um die richtige handelt ist bei insgesamt n Türen natürlich 1/n.
>
> aber das ist nicht das Selbe..............
>
> ich versteh das nicht und hasse es!
Die Wahrscheinlichkeiten gehören eben zu unterschiedlichen Ereignissen, aber es sind genau diese beiden Ereignisse, deren WSK berechnet werden sollte.
Das hast Du doch gut gemacht! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
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