Urnenmodell Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Mi 11.11.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Beim Spiel Minesweeper werden vor Spielbeginn auf N [mm] \in \IN [/mm] Feldern M [mm] \in \IN [/mm] ununterscheidbare Minen zufällig verteilt, wobei auf jedem Feld maximal eine Mine platziert werden kann.
a) Welches Urnenmodell entspricht der Startsituation von Minesweeper?
Mit jedem Spielzug wird ein Feld aufgedeckt und festgestellt, ob darunter eine Mine liegt, oder nicht. Falls nicht, erhalten wir Informationen über Minen auf anderen Feldern.
b) Nachdem einige Spielzüge ausgeführt wurden, haben wir nun folgende Informationen: Für die n > 5 Felder [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} [/mm] ist noch nicht bekannt, ob sich darunter eine Mine befindet. Es bleiben m > 1 Minen für diese Felder übrig. Auf [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] befindet sich zusammengenommen genau eine Mine. Auf [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4} [/mm] befindet sich zusammengenommen ebenfalls genau eine Mine. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter [mm] x_{2} [/mm] eine Mine befindet? (Verinfache so weit wie möglich)
c) Wie b), aber diesmal befinden sich in [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] , [mm] x_{4} [/mm] zusammen genau zwei Minen und es gilm m > 2.
d) Wie b), aber zusätzlich wissen wir, dass sich auf [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] zusammen genau eine Mine befindet.
e) Erklären Sie, warum die Wahrscheinlichkeiten in b) und c) von n und m abhängen, die Wahrscheinlichkeit aus d) aber nicht. |
Guten Tag,
ich bräuchte zur obigen Aufgabe einen kleinen Denkanstoß.
zu a): Ich habe mir gedacht dass es auf jeden Fall ein Urnenmodell ohne Zurücklegen ist, und da die Minen ununterscheidbar sind dachte ich mir, dass es sich um das Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge handelt.
Stimmt meine Überlegung bis jetzt?
zu b): Da es sich um das Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge handelt, gilt ja die Formel für alle Möglichkeiten: [mm] \bruch{ n! }{ (n-m)!m! } [/mm] (Ich kriege den Bruch mit dem Formelsystem nicht schön als Formel geschrieben, gemeint ist:
(n!)/((n-m)!m!) ). Ich habe mir gedacht ich definiere das Ereignis A := "Es gibt eine Mine in [mm] x_{2} [/mm] . Und dann gilt P(A) = 1 - P( [mm] A^{c} [/mm] ). P( [mm] A^{c} [/mm] ) sind ja alle Wahrscheinlichkeiten so dass in [mm] x_{2} [/mm] keine Mine liegt. Kann man nun alle Möglichkeiten dazu als [mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-m)! * m!} [/mm] schreiben, da es ja ein Feld weniger gibt auf dem eine Mine liegen kann? Und wie könnte ich diese Möglichkeiten in Wahrscheinlichkeit ausdrücken?
Die anderen Aufgaben habe ich noch nicht geschafft, da ich die b) schon nicht richtig hinkriege...
LG, MinLi
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Stelle dir vor, du hast (noch) n Felder und willst darauf m Minen zufällig verteilen. Dazu legst du in eine Urne die m roten Minen (r) und n-m weiße Attrappen (w). Jetzt ziehst du der Reihe nach ohne Zurücklegen für die Felder [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] Minen/Attrappen aus der Urne und legst sie auf diese Felder. Ob für diese 4 Felder zu Anfang oder später gezogen wird, spielt für die Wahrscheinlichkeiten keine Rolle.
Nun betrachtest du nur die Ausfälle, die den Angaben entsprechen:
1. Fall: eine Mine liegt auf [mm] x_2. [/mm]
Dann liegen auf [mm] x_1, x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] nur Attrappen, die Ziehung war wrww + Restziehung. Die W. dafür war
[mm] \bruch{n-m}{n}*\bruch{m}{n-1}*\bruch{n-m-1}{n-2}*\bruch{n-m-2}{n-3}.
[/mm]
2. Fall: eine Attrappe liegt auf [mm] x_2. [/mm]
Dann liegen auf [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] oder auf [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] Minen, die Ziehung war also rwrw + Restziehung oder rwwr + Restziehung. Die W. dafür, dass eine dieser beiden Ziehungen erfolgte, war
[mm] \bruch{m}{n}*\bruch{n-m}{n-1}*\bruch{m-1}{n-2}*\bruch{n-m-1}{n-3}+\bruch{m}{n}*\bruch{n-m}{n-1}*\bruch{n-m-1}{n-2}*\bruch{m-1}{n-3}=2*\bruch{m}{n}*\bruch{n-m}{n-1}*\bruch{m-1}{n-2}*\bruch{n-m-1}{n-3}.
[/mm]
Wenn du nun weißt, dass einer der beiden Fälle vorliegt, wie groß ist dann die W., dass es der erste ist?
Zur Kontrolle: [mm] p=\bruch{n-m-2}{n+m-4}
[/mm]
(Test mit Extremfällen: Wenn es nur eine Mine gibt, muss sie auf [mm] x_2 [/mm] liegen: m=1 [mm] \rightarrow p=\bruch{n-3}{n-3}=1 [/mm] passt.
Wenn n=m+2 ist, können überhaupt nur 2 Felder ohne Minen sein. Wäre eine auf [mm] x_2, [/mm] müssten aber [mm] x_1, x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] frei bleiben, was unmöglich wäre [mm] \rightarrow p=\bruch{0}{2m-2}=0 [/mm] passt auch.)
Die anderen Aufgaben gehen ähnlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Do 12.11.2015 | | Autor: | MinLi |
Ok, ich habe es hingekriegt, Danke für deine guten Erklärungen
LG MinLi
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