VIertelkreis rotieren < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 So 18.12.2005 | | Autor: | Jewelz |
| Aufgabe | Gegeben seien $f(x)= [mm] \wurzel{-(x+0,5)}$ [/mm] und $g(x)= [mm] e^{- \bruch{1}{4}x}$.
[/mm]
a) Skizzieren Sie die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatenkreuz.
b) Rotieren beide Graphen im 2. Quadranten im Intervall $I=[-3;0]$ um die x- Achse, so entsteht ein Gefäß.
Bestimmen Sie
(1) Das Fassungsvermögen;
(2) Den Glasverbrauch bei Fertigung aus Glas [mm] ($F(x)=-2e^{-0,5x}+c$).
[/mm]
c) Das Gefäß soll einen Glasfuss erhalten, dessen Krümmung einem Viertelkreis mit Radius 1 entspricht.
Bestimmen Sie die Gleichung der "Fuß"-Funktion und berechnen Sie den zusätzlichen Glasverbrauch. |
Hallo. Also zu a und b habe ich keine Fragen... Aber c. Der Viertelkreis rotiert nicht direkt an der x-Achse sondern um 1 nach oben verschoben. Wie lautet das Integral zur berechnung dieses Fußes? ( Er soll quasi wie ein längs durchschnittenes Rad aussehen...
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 So 18.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo Jewelz
Hier mein Vorschlag:
Vergleiche das Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn das Bild zutrifft, kann die Berechnung des Fusses folgendermassen aussehen:
1. Gleichung des Kreises mit Radius 1 und Mittelpunkt im Nullpunkt: [mm] $x^2+y^2=1$
[/mm]
2. Gleichung des Kreises, je um eine Einheit nach rechts und oben verschoben:
[mm] $(x-1)^2+(y-1)^2=1 \gdw (y-1)^2=1-(x-1)^2=1-x^2+2x-1=2x-x^2 \Rightarrow [/mm] y= [mm] \wurzel(2x-x^2)+1$ [/mm] für den oberen Halbkreis
3. Rotationsvolumen:
$V= [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1} {(f(x))^2 dx}=\pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1} {(\wurzel(2x-x^2)+1)^2 dx}= \bruch{\pi}{6}(3\pi+10)$
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:36 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Jewelz |
Hallo, Dominik!
Zunächst mal vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen, und mich auf das gestoßen, was die ganze Zeit vor mir lag. Das einzige was mir noch unklar ist, ist wie du auf den Ausdruck hinter dem Integral kommst; [mm] \bruch{ \pi}{6}(3 \pi+10)... [/mm] Wenn ich das Integral ausrechne, erhalte ich [mm] \bruch{5}{3}\pi.
[/mm]
Ausserdem: Aus dem Aufgabentext geht ja nicht ganz klar hervor, wie der Fuß aussieht. Ich dachte zunächst, so wie du ihn dargestellt hast... Könnte aber auch ein Kreis mit dem Mittelpunkt (0/2) sein, dessen rechtes unteres Viertel im Interval I=[0/1] rotiert wird.
Meine vermutung zur Berechnung dieses Fußes: [mm] V_{Gefäß}=V_{1}-V_{2}
[/mm]
Zunächst den Zylinder unter dem Gefäß:
[mm] V_{1}=\pi*r^{2}*h [/mm] ,also:
[mm] \Rightarrow V_{1}=\pi*2^{2}*1
[/mm]
[mm] \gdw V_{1}=4*\pi
[/mm]
Dann die Hälfte des Volumens des Kreises im Interval [0/1] abziehen:
[mm] 2V_{2}=\pi \integral_{0}^{1} {(\wurzel{1-x^{2}}+2) dx}
[/mm]
KAnnst du dir das Vorstellen? Hast du eine andere, bessere Idee?
Danke, danke, danke!
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