VR d. Polynome kein Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
das der Vektorraum der Polynome auf [mm] \IR [/mm] P, also [mm] (P(\IR), \parallel [/mm] . [mm] \parallel) [/mm] kein Banachraum ist, sehe ich ein und verstehe die Begründungen, außer die mit dem Satz von Baire, wie wir das im Tutorium hatten. Wir haben [mm] P_n [/mm] den Unterraum mit Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n betrachtet. [mm] P=\bigcup_{n\in \IN}^{}P_n [/mm] . wir haben ein Polynom vom Grad n+1 gefunden, dass beliebig nah an Polynom in [mm] P_n [/mm] liegt, aber ich verstehe nicht, wie man hier mit dem Satz von Baire argumentiert, wieso ist das dann ein Widerspruch zu dem? Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> das der Vektorraum der Polynome auf [mm]\IR[/mm] P, also [mm](P(\IR), \parallel[/mm]
> . [mm]\parallel)[/mm] kein Banachraum ist, sehe ich ein und verstehe
> die Begründungen, außer die mit dem Satz von Baire, wie
> wir das im Tutorium hatten. Wir haben [mm]P_n[/mm] den Unterraum mit
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n betrachtet. [mm]P=\bigcup_{n\in \IN}^{}P_n[/mm]
> . wir haben ein Polynom vom Grad n+1 gefunden, dass
> beliebig nah an Polynom in [mm]P_n[/mm] liegt, aber ich verstehe
> nicht, wie man hier mit dem Satz von Baire argumentiert,
> wieso ist das dann ein Widerspruch zu dem? Ich hoffe, mir
> kann jemand helfen. Lg
Ich verstehe nicht so recht, wie der von Dir beschriebene Beweis mit dem Satz von Baire gehen soll.
Ich würde es so machen: wir nehmen an, P wäre ein Banachraum. Da die Unterräume [mm] P_n [/mm] endlichdimensional sind, sind sie abgeschlossen. Wegen
$ [mm] P=\bigcup_{n\in \IN}^{}P_n [/mm] $ folgt aus dem Satz von Baire, dass es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt , so dass [mm] P_N [/mm] eine offene Kugel enthält.
Dann ist aber [mm] P_N=P, [/mm] Widerspruch !
Dabei habe ich folgendes Lemma verwendet:
Lemma: Ist X ein normierter Raum und Y ein Unterraum, der eine offene Kugel enthält, so ist Y=X.
Kannst Du dieses Lemma beweisen ?
FRED
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