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| Aufgabe | Ein Portfolio besteht aus einer long Position in einer Call-Option auf eine dividendenlose Aktie.Für den Call gelte
T=1, K=50, r=2%. Das Underlying habe in t=0 den Wert [mm] S_0=50 [/mm] und die implizite Vola betrage [mm] \sigma_{impl}=40%.
[/mm]
Wir schreiben die Bewertungsformel des Calls in Abhängigkeit von den drei Variablen [mm] x_1,x_2,x_3, [/mm] die sich hier auf den Wert des Underlyings, den Wert der impliziten Volatilität und den Zinssatz beziehen:
[mm] PV(x_1,x_2,x_3)=x_1\cdot \Phi(d_1)-K\cdot e^{-x_3\cdot T}\cdot \Phi(d_2)
[/mm]
wobei
[mm] d_{1,2}=\frac{ln(x_1/K)+(x_3\pm 0,5 \cdot x_2^2)\cdot T}{x_2\cdot \sqrt{T}}
[/mm]
Für die Aktie und die implizite Vola verwenden wir die logarithmische Änderung als Risikofaktor, während für den Zinssatz die absolute Änderung herangezogen wird.
Die Sensitivitäten der Risikofaktoren lauten
[mm] \triangle _1=\Phi(d1)\cdot S_0
[/mm]
[mm] \triangle_2=S_0\cdot \sqrt{T} \phi(d_1)\sigma_{impl}
[/mm]
[mm] \triangle_3=K\cdot T\cdot e^{-rT}\Phi(d_2) [/mm] |
also ist mein
Kurs: [mm] x_1=S_0\cdot e^y_1
[/mm]
Vola: [mm] x_2=\sigma \cdot e^y_2
[/mm]
Zinssatz: [mm] x_3=r+y_3
[/mm]
Zur Berechnung der Zufallsvariabeln [mm] P&L_{lin} [/mm] wird folgende Formel verwendet:
[mm] P&L_{lin}&=\sum_{i=1}^n \triangle_i\cdot R_{\triangle t,i}
[/mm]
[mm] &=\triangle_1\cdot R_{\triangle t,1}+\triangle_2\cdot R_{\triangle t,2}+\triangle_3\cdot R_{\triangle t,3}
[/mm]
Nun scheitere ich an der Berechnung der [mm] \triangle:
[/mm]
[mm] \triangle_1=\Phi(d_1)\cdot S_0=\Phi(d_1)\cdot [/mm] 50
Für [mm] d_1 [/mm] benötige ich [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3
[/mm]
[mm] x_1=S_0\cdot e^y_1=50\cdot e^{y_1}
[/mm]
Hier weiß ich nicht, was mein [mm] y_1 [/mm] ist oder ist bereits mein [mm] x_1 [/mm] falsch?
Für [mm] \triangle_1 [/mm] soll 29,94 raus kommen.
Vielen vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 01.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Dein [mm] $\sigma$ [/mm] ist völlig daneben. Das müssen 40% sein, nicht 40. Dann funktioniert auch die Rechnung:
[mm] $x_1$ [/mm] ist der Wert des underlying, also [mm] S_0=50,
[/mm]
[mm] $x_2$ [/mm] die impl. Vola, also 0.4 (!)
[mm] $x_3$ [/mm] der risikolose Zinssatz, also 0.02.
Für [mm] $d_1$ [/mm] ergibt sich damit 0.25.
ciao
Stefan
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