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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 26.04.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Es K ein Körper und n [mm] \in \IN, [/mm] weiterhin sei [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ... , [mm] x_{n} \in [/mm] K
Zeigen sie, dass für die sogenannte Vandermonde-Determinante gilt:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n-1} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n-1} } [/mm] = [mm] \produkt_{k
Tipp: vollständige Induktion nach n; Entwicklung |
Hallo zusammen,
ich habe mich jetzt einige Stunden mit dieser Aufgabe beschäftigt und komme aber ab einem gewissen Punkt nicht weiter. Ich denke ungefähr zu wissen, was noch passieren müsste, weiss aber nicht genau wie ich dies ausdrücken soll und bin mir auch nicht wirklich sicher, ob mein Ansatz, meine Idee richtig ist. Also:
I.A. (n=2)
det [mm] \pmat{ 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} } [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \produkt_{k
I.V. wäre also:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n-1} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n-1} } [/mm] = [mm] \produkt_{k
= ( [mm] x_{n}- x_{n-1})( x_{n}- x_{n-2})...( x_{n}- x_{1})( x_{n-1}- x_{n-2})...( x_{n-1}- x_{1})...( x_{2}- x_{1})
[/mm]
z.zg. bleibt also:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} \\ 1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & ... & x_{n+1}^{n} } [/mm] = [mm] \produkt_{k
= ( [mm] x_{n+1}- x_{n})( x_{n+1}- x_{n-1}...( x_{n+1}- x_{1})( x_{n}- x_{n-1})...( x_{n}- x_{1})...( x_{2}- x_{1})
[/mm]
dazu I.S. (n [mm] \mapsto [/mm] n+1):
wähle j=1
dann:
det [mm] \pmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n} \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n} \\ 1 & x_{n+1} & x_{n+1}^{2} & ... & x_{n+1}^{n} } [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1} a_{i1} [/mm] det [mm] A_{i1} [/mm]
, wobei [mm] A_{ij} [/mm] der Matrix entspricht, welche aus der ursprünglichen Matrix durch weglassen der i-ten Zeile und j-ten Spalte hervorgeht.
weiterhin:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1} a_{i1} [/mm] det [mm] A_{i1} [/mm] = ... [mm] =\begin{cases} det A_{11}- det A_{21}+ det A_{31}- ... + det A_{n+1 1}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ det A_{11}- det A_{21}+ det A_{31}- ... - det A_{n+1 1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Meiner Meinung nach würde jetzt die Entwicklung der einzelnen Determinaten darauf hinaus laufen, dass alle folgendes Produkt gemeinsam haben:
( [mm] x_{n+1}- x_{n})( x_{n+1}- x_{n-1}...( x_{n+1}- x_{1})( x_{n}- x_{n-1})...( x_{n}- x_{1})...( x_{2}- x_{1})
[/mm]
Das würde bedeuten, dass man dieses Produkt ausklammern kann und als 2.Faktor bleibt eine "Mischung aus Summen und Differenzen" stehen, welcher logischerweise 1 ergeben müsste damit der Induktionsschritt gewünschtes Ergebnis hervorbringt.
Die Schwierigkeit für mich liegt jetzt darin zu zeigen, dass beschriebenes der Fall ist. Muss ich dazu jetzt wenigstens für eine Determinate [mm] A_{i1} [/mm] die Entwicklung darstellen und meine Schlussfolgerungen dann aus dieser stellen oder gibt es noch einen einfacheren Weg!?
Ist mein Ansatz überhaupt der richtige?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schon mal im Voraus.
Gruß, Patrick
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Guten Tag oeli1985.
Hier ein kleiner Denkansatz. Du kannst mithilfe von Spaltenoperationen die oberste Zeile der MAtrix auf die Form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0 }
[/mm]
bringen, indem du von der i-ten Spalte, das [mm] x_{1} [/mm] fache der (i-1)ten Spalte abziehst für alle i=2,...,n. Dadurch erhälst du eine Matrix der Form.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 &...&0 \\ 1 & x_{2}-x_{1}&(x_{2})^2-x_{2}*x_{1}&...& (x_{2})^{n}-(x_{2})^{n-1}*x_{1} \\ \vdots & \vdots&\vdots& ...& \vdots\\ 1&x_{n}-x_{1}&(x_{n})^{2}-x_{n}*x_{1}&...&(x_{n})^{n}-(x_{n})^{n-1}*x_{1}}
[/mm]
Nun kannst du nach der ersten Zeile entwickeln und bekommst eine Matrix der Form:
[mm] \pmat{ x_{2}-x_{1}&(x_{2})^2-x_{2}*x_{1}&...& (x_{2})^{n}-(x_{2})^{n-1}*x_{1} \\ \vdots & \vdots& ...& \vdots\\ x_{n}-x_{1}&(x_{n})^{2}-x_{n}*x_{1}&...&(x_{n})^{n}-(x_{n})^{n-1}*x_{1}}
[/mm]
Nun kannst du ein wenig ausklammern( nämlich dass was du nur ausklammern kannst  ), und danach kannst du die Linearität benutzen.
ICh hoffe dir hat das geholfen.
MfG
Rugby-Rulez
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