Vandermondesche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] t_1, [/mm] ... , [mm] t_{n+1}[/mm] [mm]/in \IR [/mm]. Dann heisst
[mm]V:=\begin{pmatrix}
1 & t_1 & ... & t_1^n \\
1 & t_2 & ... & t_2^n \\
...& ... & ... & ... \\
1 & t_{n+1} & ... & t_{n+1}^
n \end{pmatrix}[/mm] Vandermondesche Matrix (zu den Zahlen [mm]t_1, ..., t_{n+1}[/mm]) und det (V) heisst Vandermondesche Determinante.
Beweise, das für die Vandermondesche Determinante gilt:
[mm]det (V)= \produkt_{i=1}^{n} \produkt_{j=i+1}^{n+1} (t_j - t_i) [/mm]. |
Hallo!
Nachdem ich von euch zu meinem ersten Beitrag so schnell gute Tips erhalten habe - hier nun etwas anspruchsvolleres (glaub ich):
Ich habe bisher keine Idee zur Lösung, allerdings eine Beobachtung. Wenn ich die Matrix richtig interpretiere, ist die Matrix nicht quadratisch, sondern um eine Zeile Länger?
Fragen:
1. Wie interpretiere ich (also in Worten) diese Produkt- Formel?
2. Welche Beweismethode bietet sich an? Ich tippe mal auf Induktion?
Ich freue mich über jede Antwort.
Hana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mo 23.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Hana!
> Es seien [mm]t_1,[/mm] ... , [mm]t_{n+1}[/mm] [mm]/in \IR [/mm]. Dann heisst
> [mm]V:=\begin{pmatrix}
1 & t_1 & ... & t_1^n \\
1 & t_2 & ... & t_2^n \\
...& ... & ... & ... \\
1 & t_{n+1} & ... & t_{n+1}^
n \end{pmatrix}[/mm]
> Vandermondesche Matrix (zu den Zahlen [mm]t_1, ..., t_{n+1}[/mm])
> und det (V) heisst Vandermondesche Determinante.
>
> Beweise, das für die Vandermondesche Determinante gilt:
>
> [mm]det (V)= \produkt_{i=1}^{n} \produkt_{j=i+1}^{n+1} (t_j - t_i) [/mm].
>
> Hallo!
> Nachdem ich von euch zu meinem ersten Beitrag so schnell
> gute Tips erhalten habe - hier nun etwas anspruchsvolleres
> (glaub ich):
>
> Ich habe bisher keine Idee zur Lösung, allerdings eine
> Beobachtung. Wenn ich die Matrix richtig interpretiere, ist
> die Matrix nicht quadratisch, sondern um eine Zeile
> Länger?
Doch, sie ist schon quadratisch:
- Du hast $n + 1$ Spalten, da in jeder Spalte die Potenzen $1 = [mm] t_i^0$, $t_i [/mm] = [mm] t_i^1$, $t_i^2$, \dots, $t_i^n$ [/mm] stehen, also $n + 1$ Stueck.
- Du hast $n + 1$ Zeilen, weil du $n + 1$ [mm] $t_i$s [/mm] hast.
> 2. Welche Beweismethode bietet sich an? Ich tippe mal auf
> Induktion?
Ja, Induktion ist hier eine gute Wahl :)
Fuer den Induktionsschritt formst du die Matrix mit Zeilenumformungen etwas um und machst dann (wenn du in einer Zeile/Spalte nur noch ein oder zwei Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ hast) Lagrange-Entwicklung nach der entsprechenden Zeile/Spalte; dabei bleibt eine Vandermonde-Determinante kleinerer Groesse uebrig.
LG Felix
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Ahh! Stimmt ja .. ich hatte die Einsen übersehen - dann ist sie natürlich quadratisch. Das probier ich gleich mal aus.
Merci soweit.
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Ich habs raus! Das war aber mal ein geaste 8) .. soviele Indizes..
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Di 17.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich muss die selbe Aufgabe lösen und habe folgende Schritte gemacht:
det [mm] \pmat{ 1 & t_1 & t_1^2 & . . . & t_1^n^-^1 \\ 1 & t_2 & t_2^2 & . . . & t_2^n^-^1 \\ 1 & t_n_+_1 & t_n_+_1^2 & . . . & t_n_+_1^n^-^1}
[/mm]
= det [mm] \pmat{ 1 & t_1 - t_n_+_1 & t_1(t_1-t_n_+_1) & . . . & t_1^n (t_1-t_n_+_1) \\ 1 & t_2 - t_n_+_1 & t_2 (t_2-t_n_+_1) & . . . & t_2^n (t_2 - t_n_+_1) \\ 1 & t_n - t_n_+_1 & t_n (t_n - t_n - t_n_+_1) & . . . & t_n_+_1^n (t_n - t_n_+_1) \\ 1 & 0 & 0 & . . . & 0 }
[/mm]
= [mm] (-1)^n^+^1 [/mm] det [mm] \pmat{ t_1 - t_n_+_1 & t_1 (t_1 - t_n_+_1) & . . . & t_1^n (t_1 - t_1_+_1) \\ t_2 - t_n_+_1 & t_2 (t_2- t_n_+_1) & . . . & t_2^n (t_2 - t_n_+_1) \\ t_n - t_n_+_1 & t_n (t_n - t_n_+_1) & . . . & t_n_+_1^n (t_n - t_n_+_1) }
[/mm]
[mm] =(-1)^n (t_1 [/mm] - [mm] t_n_+_1) (t_2 [/mm] - [mm] t_n_+_1) [/mm] . . . [mm] (t_n [/mm] - [mm] t_n_+_1) [/mm] det [mm] \pmat{ 1 & t_1 & . . . & t_1^n \\ 1 & t_2 & . . . & t_2^n \\ 1 & t_n & . . . & t_n_+_1}
[/mm]
= [mm] (t_n_+_1 [/mm] - [mm] t_1) (t_n_+_1- t_2) [/mm] . . . [mm] (t_n_+_1 [/mm] - [mm] t_n [/mm] ) [mm] \produkt_{1 \le i
= [mm] \produkt_{1 \le i
Ist das so richtig ?
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:36 Di 17.05.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ich muss die selbe Aufgabe lösen und habe folgende Schritte gemacht:
det [mm] \pmat{ 1 & t_1 & t_1^2 & . . . & t_1^n^-^1 \\ 1 & t_2 & t_2^2 & . . . & t_2^n^-^1 \\ 1 & t_n_+_1 & t_n_+_1^2 & . . . & t_n_+_1^n^-^1}
[/mm]
= det [mm] \pmat{ 1 & t_1 - t_n_+_1 & t_1(t_1-t_n_+_1) & . . . & t_1^n (t_1-t_n_+_1) \\ 1 & t_2 - t_n_+_1 & t_2 (t_2-t_n_+_1) & . . . & t_2^n (t_2 - t_n_+_1) \\ 1 & t_n - t_n_+_1 & t_n (t_n - t_n - t_n_+_1) & . . . & t_n_+_1^n (t_n - t_n_+_1) \\ 1 & 0 & 0 & . . . & 0 }
[/mm]
= [mm] (-1)^n^+^1 [/mm] det [mm] \pmat{ t_1 - t_n_+_1 & t_1 (t_1 - t_n_+_1) & . . . & t_1^n (t_1 - t_1_+_1) \\ t_2 - t_n_+_1 & t_2 (t_2- t_n_+_1) & . . . & t_2^n (t_2 - t_n_+_1) \\ t_n - t_n_+_1 & t_n (t_n - t_n_+_1) & . . . & t_n_+_1^n (t_n - t_n_+_1) }
[/mm]
[mm] =(-1)^n (t_1 [/mm] - [mm] t_n_+_1) (t_2 [/mm] - [mm] t_n_+_1) [/mm] . . . [mm] (t_n [/mm] - [mm] t_n_+_1) [/mm] det [mm] \pmat{ 1 & t_1 & . . . & t_1^n \\ 1 & t_2 & . . . & t_2^n \\ 1 & t_n & . . . & t_n_+_1}
[/mm]
= [mm] (t_n_+_1 [/mm] - [mm] t_1) (t_n_+_1- t_2) [/mm] . . . [mm] (t_n_+_1 [/mm] - [mm] t_n [/mm] ) [mm] \produkt_{1 \le i
= [mm] \produkt_{1 \le i
Ist das so richtig ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 19.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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