Vandermondsche Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
für
[mm] V_{2}(x_{0},x_{1},x_{2}):=\vmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\1 & x_{2} & x_{2}^{2}}
[/mm]
zeige man
[mm] V_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{0})*(x_{2}-x_{0})*(x_{2}-x_{1})
[/mm]
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Guten Morgen!
Muss ganz ehrlich gestehn ich häng schon viel zu lange daran- wirklich schwierig kann es ja nicht sein- gibt nur einen Punkt, aber ich bin grad echt zu dumm das zu zeigen.
Egal wie ich es drehe ich bleib immer bei folgendem Ergebnis hängen:
[mm] x_{2}^{2}*(x_{1}-x_{0})+2*x_{0}*(x_{2}-x_{0})-x_{1}^{2}*(x_{2}-x_{1})
[/mm]
Danke schonmal für eure Hilfe!
Ps Hoffe das mit den Formeln klappt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mo 05.05.2008 | | Autor: | JustSmile |
Ich bin mir nicht mehr ganz sicher, aber ich meine, dass im Buch
Lineare Algebra I von Falko Lorenz
deine komplette gesuchte Lösung steht (Kapitel zu Determinanten)! Wies genau geht weiß ich nicht mehr, war nur etwas komplizierter soweit ich weiß.
lg
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[mm]\vmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} }[/mm]
[mm](-1)*Zeile1 + Zeile2 \to Zeile2[/mm]
[mm](-1)*Zeile1 + Zeile3 \to Zeile3[/mm]
(Determinante ändert sich nicht)
[mm]= \vmat{ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 0 & x_{2} - x_{1} & x_{2}^{2} - x_{1}^{2} \\ 0 & x_{3} - x_{1} & x_{3}^{2} - x_{1}^{2} }[/mm]
Entwickeln nach 1. Spalte:
[mm]= 1*\vmat{x_{2} - x_{1} & x_{2}^{2} - x_{1}^{2} \\ x_{3} - x_{1} & x_{3}^{2} - x_{1}^{2} } + 0*|...| + 0*|...|[/mm]
[mm]= 1*\vmat{x_{2} - x_{1} & (x_{2} - x_{1})*(x_{2} + x_{1}) \\ x_{3} - x_{1} & (x_{3} - x_{1})*(x_{3} + x_{1}) }[/mm]
Determinante für 2x2-Matrizen anwenden:
[mm]=(x_{2}-x_{1})*(x_{3}-x_{1})*(x_{3}+x_{1}) - (x_{3}-x_{1})*(x_{2}-x_{1})*(x_{2}+x_{1})[/mm]
Ausklammern der jeweils beiden ersten, gleichen Faktoren bringt
[mm]=(x_{2}-x_{1})*(x_{3}-x_{1})*\left((x_{3}+x_{1}) - (x_{2}+x_{1})\right)[/mm]
[mm]=(x_{2}-x_{1})*(x_{3}-x_{1})*(x_{3}-x_{2})[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Goldschatz |
Oh vielen Dank für die schnelle Antwort!
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Hallo Goldschatz!
> für
> [mm]V_{2}(x_{0},x_{1},x_{2}):=\vmat{ 1 & x_{0} & x_{0}^{2} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\1 & x_{2} & x_{2}^{2}}[/mm]
>
> zeige man
>
> [mm]V_{2}(x_{0},x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{0})*(x_{2}-x_{0})*(x_{2}-x_{1})[/mm]
Hättest du nicht auch einfach mit der Regel von Sarrus die Determinante berechnen können, und gleichzeitig den zu zeigenden Term ausmultiplizieren, da fällt dann ein Term direkt weg, und der Rest ist genau die Determinante, die man mit Sarrus errechnet. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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